Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы

• Название: Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы
• Анкор: Praktikum_po_mat.doc
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 7.87 Mb.
• Имя файла: Praktikum_po_mat.doc
• Тип: Контрольные вопросы; #6276
• страница: 15 из 19

4. МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
Присоединим к множеству N еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0. Полученное множество называется множеством целых неотрицательных чисел и обозначается N₀ или Z₀. Таким образом, N₀= N {0}.

Относительно числа 0 условились, что оно меньше любого натурального числа, а арифметические операции в случае, когда одна из компонент равна нулю, определяются равенствами:

(а  N) а + 0 = 0 + а = а; (а  N) а – 0 = а;

(а  N) а  0 = 0  а = 0; (а  N) 0 : а = 0;

Кроме того, будем считать, что:

0 + 0 = 0; 0  0 = 0; 0 – 0 = 0; а – а = 0.

Можно, используя отношение «непосредственно следовать за», понятий, введенных относительно множества N₀ и вышеприведенных равенств, сформулировать определения множества N₀, сложения и умножения на множестве N₀ (аналогично соответствующим опреде­лениям на множестве N).
Теорема 12.

Деление на нуль невозможно.

Доказательство.

Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0.

Рассмотрим случай, когда а  0. Предположим, что частное таких чисел существует, т.е. ( сN_о)а = с  0, откуда а = 0. Пришли к противоречию с условием, значит, частное чисел а  0 и b = 0 не существует.

Пусть теперь а = 0. Предположим опять, что частное чисел а = 0 и b = 0 существует, т.е. ( сN_о) такое, что выполняется равенство 0 =с  0, истинное при любых значениях с. Таким образом, частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое целое неотрицательное число, т.е. результат деления определяется не единственным образом. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль невозможно.

______________________________________________________________________

Определение 10. Пусть а – целое неотрицательное число, а b – число натуральное. Разделить а на b с остатком – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а = bq + r, причем 0 r < b (q называют неполным частным, r – остатком).

___________________________________________________________________________________________________
Например: а) при делении 26 на 3 получим неполное частное 8 и остаток 2, 26 = 3 8 + 2; б) при делении 0 на 4, q = 0, r = 0, 0 = 4  0 + 0; в) при де­лении 1 на 5 получим неполное частное 0 и остаток 1, 1 = 5 0 +1.

Если такая пара чисел q и rсуществует, то единственна ли она для заданных чисел а иb. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 13. Для любого целого неотрицательного числа а и нату­рального b существуют целые неотрицательные числа q иr, такие, что а = bq + r, причем 0  r < b. Эта пара чисел q иr- единственная для заданных а и b.

Задача 15.

Числа а иbпри делении на 7 дают соответственно остатки 2 и 6. Какой остаток получится, если разделить на 7 произведение аb?

Решение.

Число а при делении на 7 дает в остатке 2 и поэтому имеет вид: а = 7q+ 2, qN_о. Аналогично b = 7р + 6, р N_о. Рассмотрим произведение этих чисел:

аb= (7q + 2)(7р + 6) = 49рq + 14р + 42q + 12 = 7  (7рq + 2р + 6q + 1) + 5= 7t+ 5.


t

Итак, ab = 7t + 5, tN₀

Таким образом, установлено, что произведение чисел а иbпри делении на 7 дает в остатке 5.
Контрольные вопросы

1. 
   Объясните, почему не существует значение выражения 5:0?
   
2. 
   Дайте понятие деления с остатком. Разделите с остатком: а) 33 на 8; б) 47 на 5; в) 11 на 17.
   
3. 
   Сформулируйте теорему о существовании и единственности пары чисел q и r при делении а на b.
   
4. 
   Известно, что при делении т на п получили неполное частное qи остаток 15. Известно также, что одно из чисел т, п и qравно 12. Какое?
   

Упражнения

330. Разделите на 6 с остатком каждое из чисел от 6 до 19. На какие классы разбивается данное множество в зависимости от остатков, получаемых при делении на 6?

331. Найдите частное и остаток при делении а на b, результат запишите в виде: а = bq + r, если:

а) а = 59, b =13;

б) а = 225, b=15;

в) а = 780, b= 37.

332. При делении с остатком числа а на bполучили частное q и остаток r. Найдите:

а) а, если b = 12, q = 4, r = 7;

б) b, если а = 118, q = 9, r = 1;

в) а, если b = 7, q = 15, r = 3;

г) b, если а = 237, q = 15, r = 12.

333. На множестве A = {х\х N, 1  0  100} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 10». На какие классы разобьются числа множества А при помощи данного отношения? В каком классе окажутся 37; 94; 100?

334. На сколько классов разбивается множество N при помощи отношения:

а) «иметь один и тот же остаток при делении на 2»;

б) «иметь один и тот же остаток при делении на 8».

Почему возможно такое разбиение?

Назовите по одному представителю из каждого класса разбиения множества N в случае б).

335. Одно число на 68 больше другого. При делении одного из них на другое с остатком в частном получится 6 и в остатке 8. Найдите эти числа.

336. При делении с остатком числа а на 4 в остатке получается r. Представьте число а в виде bq +r, если:

а) r =3; б) r = 2; в) r = 1; г) r = 0.

337. Какой вид имеет число а, если при делении на 6 оно дает в остатке: а) 2; б) 4; в) 0 ? Какие еще остатки могут получиться при делении числа а на 6?

338. Назовите 3 натуральных числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1. Как называются эти числа и каков их общий вид?

339. При делении чисел а и bна 12 получается один и тот же остаток 9. Какой остаток получится при делении на 12 числа а) а + b; б) а – b; в) аb

340.Сформулируйте, используя отношение «непосредственно следовать за» и соответствующие аксиомы, определения:

а) множества целых неотрицательных чисел;

б) сложения на множестве N₀;

в) умножения на множестве N₀.

341. Рассматривая множество целых неотрицательных чисел, запишите свойства операций:

а) сложения;

б) умножения;

342. Докажите свойства операций, о которых говорится в № 345.

343. Докажите, что если числа а и bне делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то число а b + 1 делится на 3. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

344. Число а при делении на 3 дает остаток 1. Какой остаток при делении на 3 дадут числа а², а³?

345.Число а при делении на 3 дает остаток 2. Какой остаток при делении на 3 дадут числа а², а³?
5. СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ НАТУРАЛЬНЫХ И ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Из аксиом Пеано, из определения отношений «больше», «меньше» и их свойств следуют свойства множеств а натуральных N и целых неотрицательных N₀ чисел:

1. 
   В множестве N (или N₀) существует наименьший элемент 1 (0) (следует из первой аксиомы Пеано А₁).
   
2. 
   В множестве N (или N₀) не существует наибольшего элемента (доказывается методом от противного с использованием аксиомы А₂). Этим объясняется бесконечность множеств N и N₀.
   
3. 
   Ни для одного натурального (или целого неотрицательного) числа а не существует такого натурального числа n, что а < n < а + 1. Это свойство называется свойством дискретности множества натуральных чисел (или N₀), а числа а и а+1 называют соседними.
   
4. 
   Любое непустое подмножество натуральных чисел (или N₀) содержит наименьшее число.
   
5. 
   Если М – непустое подмножество множества натуральных чисел (или N₀) и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.
   
6. 
   Множество N₀ (или N) – линейно упорядоченные множества, т.е. для их элементов имеют место следующие утверждения:
   

0 < 1 < 2 < 3 <…< n < n+1 <…

(1 < 2 < 3 < ... < n < n + 1 < ...).
Контрольные вопросы

1. 
   Сформулируйте свойства множества натуральных и целых неотрицательных чисел.
   
2. 
   Проиллюстрируйте свойства 4 и 5 на примерах.
   

Упражнения

346. Докажите 1 и 2 свойства множества натуральных чисел.

347. Укажите наибольший и наименьший элементы множества М, где М – множество четырехзначных чисел. Каким свойством множества N можно объяснить существование этих элементов?

348. 
     Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания:
     

а) запишите числа, которые больше 57 и меньше 62.

б) назовите предыдущее и последующее число к соответствующим числам 200 (700, 509, 799).

в) назовите самое большое и самое маленькое трехзначное (двузначное) число?

348. 
     Докажите, что множество целых неотрицательных чисел – линейно упорядоченное множество.
     
349. 
     Докажите свойство дискретности множества натуральных чисел.
     

По данной главе студент должен уметь:

• 
  показать, что множество натуральных чисел является моделью системы аксиом Пеано;
  
• 
  формулировать аксиомы, моделью которых является множество целых неотрицательных чисел, назвать число, которое играет в нем роль единицы;
  
• 
  составлять таблицы сложения и умножения натуральных чисел;
  
• 
  доказывать свойства операции сложения и умножения опираясь на аксиому индукции Пеано;
  
• 
  применять закон сложения и умножения при вычислении значений числовых выражений рациональным способом;
  
• 
  объяснять с помощью аксиом равенства 4 + 2 = 6 и 7 + 3 = 10;
  
• 
  проводить доказательства истинности предложений методом математической индукции.
  

V. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА, НУЛЯ И ОПЕРАЦИЙ НАД ЧИСЛАМИ
Литература [1] гл III §15; [2] гл. IХ §2,§ 3; [3] гл II §5.

1. ПОРЯДКОВЫЕ И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

В основу теории положены понятия конечного множества и вза­имно-однозначного соответствия.

Два конечных множества А и В называются равномощными, или равночисленными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

АВ А<>В.

Отношение «Множество А равночисленно множеству В» рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, отношение равночисленности является отношением эквивалентности и определяет разбиение совокупности всех конечных множеств на классы эквива­лентности.
В одном классе содержатся самые различные множества; общим для всех их является то, что все они равночисленны, то есть содержат одинаковое количество элементов. Например, в классе, содержащем множество {а; b}, содержатся такие множества, как множество глаз у человека, множество крыльев у птицы, множество диагоналей квадрата и так далее.

______________________________________________________________________

Определение 1. Натуральным числом называется общее свойство класса непустых конечных, равномощных (эквивалентных) друг другу множеств. Этим общим свойством является численность множеств. Численность множества А обозначается: п (А) или А

___________________________________________________________________________________________________

Если А₁А₂Аз...А_k, то п(А_]) = n(А₂) =...= n(А_k) = а (то есть все множества из одного класса). Получаемое в этом случае число а есть количественное натуральное число.

Добавляя к любому конечному множеству один элемент, не содержащийся в нем, получим новое множество, не эквивалентное исходному. Продолжая этот процесс, мы получим бесконечную последовательность не эквивалентных друг другу множеств и определенный ею ряд натуральных чисел, изображенный символами 1,2,3,4,...,n ,….

Число «нуль» также имеет теоретико-множественное истолкование – оно ставится в соответствие «пустому» множеству: 0 = n(), обозначим N₀=N - множество целых неотрицательных чисел.



Рассмотрим два конечных множества А и В. Пусть n(А)=а; n(В)=b.

______________________________________________________________________

Определение 2. Говорят, что а = b тогда и только тогда, когда множества А и В принадлежат одному и тому же классу, то есть АВ;

___________________________________________________________________________________________________

А В




a = b АВ

Если А и В неэквивалентны, то множества А и В принадлежат разным классам, а поэтому соответствующие им числа различны.

______________________________________________________________________

Определение 3. Говорят, что число а меньше числа b тогда и только тогда, когда множество А равномощно собственному подмножеству конечного множества В.

(а < b)  (AB₁, где В₁В; В₁ВВ₁)

___________________________________________________________________________________________________
Проиллюстрируем это определение, используя круги Эйлера-Венна



А В

В₁



или

В1

А - В

__________________________________________________________________________________

Определение 4. Отрезком натурального ряда N_а называется множество натуральных чисел, не превосходящих натуральное число а.

___________________________________________________________________________________________________

N_а = {х\х  N, х а}.

Например: N₄ = {х|х N, х4}={1,2,3,4}.

______________________________________________________________________

Определение 5. Множество А называется конечным, если су­ществует взаимно однозначное соответствие между элементами и некоторым отрезком N_a натурального ряда чисел.

___________________________________________________________________________________________________

Число а является количеством элементов множества А: а = п(А)