Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы

• Название: Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы
• Анкор: Praktikum_po_mat.doc
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 7.87 Mb.
• Имя файла: Praktikum_po_mat.doc
• Тип: Контрольные вопросы; #6276
• страница: 17 из 19

Задача 6.

Решить и объяснить выбор действий.

1. 
   В парке 9 кленов. Их на три больше, чем лип. Сколько лип в парке?
   
2. 
   На столе 6 чашек, их на 2 меньше, чем ложек. Сколько ложек на столе?
   

Решение.

1. Первый способ. Пусть А – множество лип в парке, число их надо найти, т.е. п(А) – ? В – множество кленов в парке, число кленов равно 9, т.е. п(В) = 9. Кленов на три больше, чем лип, это значит, что кленов столько же, сколько лип, и еще три. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:

B₁ – множество кленов, которых столько же сколько было бы лип, тогда В₁ А и n (B₁) = п(А);

B₂ – множество кленов из множества В, которые не вошли в В₁, т.е. В₂ В, В₁ В₂=  и В =В₁ В₂, причем п(В₂) = 3.

Надо найти п(А); п(А) = п(В₁). Изобразим множества схематичес­ки и выразим множество В₁через другие множества.
А –




В –




В₁ В₂

В₁ – разность множеств В и В₂, В₁ = В \ В₂, причем В₂ В, тогда п(В₁) = п(В\В₂) = п(В) - п(В₂) = 9 – 3 = 6, п(В₁) = 6, тогда п(А) = 6. В парке 6 лип.

Второй способ. Пусть A – множество лип в парке, число их надо найти, т.е. п(А) – ? В – множество кленов в парке, число их равно 9, т.е. п(В) = 9. Так как кленов на три больше, чем лип, то лип на 3 меньше, чем кленов. Введем в рассмотрение вспомогательные мно­жества:

А₁ – множество лип, в котором лип было бы столько же, сколько кленов, т.е. А₁В и п(А₁) = п(В) = 9;

А₂ – множество лип из А₁, которые не вошли в А, т.е. п(А₂) = 3, А₂ А₁, А₂А= , тогда A₁ = А  А₂.

Изобразим схематически множества и выразим множество А че­рез другие.


А₁ –



А А₂


В –

А – разность множеств А₁и А₂, А=А₁\A₂, причем, А₂ А₁, тогда п(А)= п(А₁\А₂) = п(А₂) –п(А₂)= 9 – 3 = 6.

В парке 6 лип.

2. Первый способ. Пусть А – множество чашек на столе, число чашек 6, т.е. п(А) = 6; В – множество ложек на столе, число ложек надо найти, т.е. п(В) – ? Чашек на 2 меньше, чем ложек, это значит чашек столько же, сколько ложек, но без 2. Введем в рассмотре­ние вспомогательные множества:

А₁ – множество чашек, в котором чашек было бы столько же, сколько ложек, тогда А₁ В и n(A₁) = п(В);

А₂ – множество чашек, которые не вошли во множество А, т.е. п(А₂) = 2; А₂ А₁, А  А₂ = , причем A₁ =А А₂.

Надо найти п(В); п(В) = п(А₁). Изобразим множества схематичес­ки и выразим множество А₁через другие.


А₁ –


А А₂
В –
А₁ – объединение множеств А и А₂, причем А  А2 =. А₁=А А₂, тогда п(А₁) = п(А А₂) = п(А) + п(А₂)= 6 + 2 = 8. т.к. п(В) = п(А₁), то восемь ложек на столе.

Второй способ. Пусть А – множество чашек на столе, число чашек 6, т.е. п(А) = 6; В – множество ложек на столе, число ложек надо найти, т.е. п(В) – ? Чашек на две меньше, чем ложек, тогда ложек на две больше, чем чашек. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:

В₁– множество ложек, в котором ложек столько же, сколько ча­шек, тогда В₁А и п(В₁)= п(А) = 6;

В₂ – множество ложек из В, которые не вошли в В₁, т.е. п(В₂) = 2, причем В₁ В₂=, В = В₁и В₂.

Изобразим схематически множества и выразим множество В че­рез другие.
А –


В –



В₁ В₂
В – объединение множеств B₁ и В₂, В = В_1 В₂, причем В₁B₂ = , тогда п(В) = n(B_1B₂) = n(B₁) + п(В₂) = 6 + 2= 8. На столе 8 ложек.

Задача 7.

Найти значение выражения и объяснить, какие свойства были при этом использованы:

53 + 119 + 47 + 31.

Первый способ.

Можно находить значение числового выражения в порядке выполнения действий, т.е.

1. 
   53 + 119=172;
   
2. 
   172 + 47 = 219;
   
3. 
   219 + 31=250.
   

Второй способ.

Можно найти значение этого выражения, используя свойства операции сложения.


Контрольные вопросы

1. 
   Дайте теоретико-множественное истолкование суммы двух целых неотрицательных чисел. Объясните, почему сумму чисел связывают с объединением непересекающихся множеств, а не множеств вообще.
   
2. 
   Запишите свойства операции сложения.
   
3. 
   Дайте определение разности через дополнение подмножества и через сумму, докажите их равнозначность.
   
4. 
   Запишите, используя символы, правила:
   

а) вычитания числа из суммы;

б) вычитания суммы из числа;

в) вычитания суммы из суммы.

Приведите примеры на применение этих правил.

5. 
   Запишите, используя символы, правила:
   

а) прибавления числа к сумме;

б) прибавления суммы к числу;

в) прибавления суммы к сумме.

Приведите примеры на применение этих правил.
Упражнения

362. Докажите свойства операций сложения:

а) коммутативность,

б) ассоциативность.

363. 
     Дайте теоретико-множественное истолкование свойств операции сложения:
     

а) сократимость,

б) монотонность,

в) 5-го и 6-го свойств.

363. 
     Дайте теоретико-множественное истолкование нижеуказанных правил. Приведите примеры заданий из учебников математики начальных классов, при выполнении которых можно пользоваться этими правилами:
     

а) правило вычитания числа из суммы;

б) правило вычитания суммы из числа;

в) правило вычитания суммы из суммы;

г) правило сложения суммы с суммой.

363. 
     Запишите нижеуказанные правила. Дайте теоретическое обоснование им, каждый шаг обоснуйте:
     

а) правило сложения числа с суммой;

б) правило сложения суммы с числом. Решить и объяснить выбор действий.

363. 
     а) У Саши было 6 значков, а у Лены 4 значка. Сколько значков у Саши и у Лены вместе?
     

б) У Саши было 6 значков, 2 значка он отдал Лене. Сколько значков осталось у Саши?

363. 
     а) Столяр сделал 8 книжных полок, а кухонных полок на 3 меньше. Сколько кухонных полок сделал столяр? Сколько всего полок сделал столяр?
     

б) На елке горели 10 зеленых лампочек, а красных на 4 меньше. Сколько красных лампочек на елке?

363. 
     а) На елку повесили 7 красных шаров, а синих на три больше. Сколько всего шаров повесили на елку?
     

б) Сережа вырезал 5 красных флажков, а зеленых на 4 больше. Сколько всего флажков вырезал Сережа?

363. 
     а) Для детского сада купили 10 кукол, 8 заводных машин, а мячей столько, сколько кукол и машин вместе. Сколько купили мячей? б) В одной вазе 5 апельсинов, в другой 7 апельсинов, а в третьей столько, сколько в первой и во второй вместе. Сколько апельсинов в третьей вазе?
     
364. 
     а) У пристани стояли 3 теплохода и 9 катеров. На сколько меньше было теплоходов, чем катеров?
     

б) В одном ряду 5 кустов смородины, а в другом 11 кустов. На сколько кустов смородины больше во втором ряду, чем в первом?

363. 
     а) В школьном саду 7 яблонь, это на 3 больше, чем груш. Сколько всего яблонь и груш в саду?
     

б) В букете было 4 красных пиона, их на 1 больше, чем розовых. Сколько всего пионов было в букете?

363. 
     а) Дети играли в слова. Катя написала 8 слов, это на 5 меньше, чем написала Ира. Сколько всего слов написали девочки?
     

б) В саду посадили саженцы. Вишен 4, их на три меньше, чем слив. Сколько всего саженцев посадили в саду?

363. 
     а) У Жени было 20 открыток. 4 открытки она отдала для школьной стенгазеты, 3 открытки подарила подруге. Сколько открыток осталось у Жени?
     

б) В трамвае ехали 42 человека. На остановке вышли 8 человек, а вошли 12 человек. Сколько человек стало в трамвае?

363. 
     а) Нина нашла 32 желудя, Катя на 6 желудей больше, чем Нина, а Оля на 9 желудей меньше, чем Катя. Сколько желудей нашла Оля?
     

б) Юннаты на первую грядку посадили 40 кустиков клубники, да вторую на 6 кустиков меньше, чем на первую, а на третью на 10 кустиков больше, чем на вторую. Сколько кустиков клубники юннаты высадили на третью грядку?

363. 
     Вычислить рациональным способом, объяснить вычисления.
     

а) 209 + 66 + 91+34 + 72;

б) 57 + 68 + 89 + 32+11+43;

в) 38+ 89+ 32+11;

г) (251 + 37) + (63+ 49);

д) (368 + 81) + (32 + 119);

е)179 – (39 +120);

ж)157 – (29 + 27);

з) (173 + 34) – (53+ 24);

и) 203 + 69 + 97 + 31+ 93;

к) 157 +178 + 74 + 43 +22.

3. УМНОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ЧИСЕЛ

______________________________________________________________________

Определение 10. Операция нахождения произведения целых не­отрицательных чисел называется операцией умножения.

___________________________________________________________________________________________________

Теоретико-множественное определение произведения. Пусть а = п(А), b = п(В).

______________________________________________________________________

Определение 11. Произведением чисел а и b называют число эле­ментов декартова произведения множеств А и В.

___________________________________________________________________________________________________

Символическая запись: а b= п (А  В). Имеет место теорема.

Теорема 2. Произведение двух любых целых неотрицательных чи­сел всегда существует и определенно однозначно.
Свойства операции умножения

1. 
   ( а, b N₀) а b = b а (коммутативности);
   
2. 
   ( а, b,c N₀) а  (bc)= (а b)c= abc(ассоциативности);
   
3. 
   ( а, b,c N₀) а b = acb = c а b= cba = c(сократимости);
   
4. 
   ( а, b,c N) а b < acb < c а b< cba < c(монотонности);
   
5. 
   Свойства дистрибутивности операции умножения относительно сложения слева и справа:
   

( а, b,c N) а  ( b + c) ab +ac;

( а, b,c N) (а + b) c = ac +bc;

6. Свойства дистрибутивности операции умножения относительно вычитания слева и справа:

( а, b,c N) а  ( b – c)= ab – ac;

( а, b,c N) (а – b) c = ac – bc;

Задача 8.

Доказать свойства:

а) коммутативность операции умножения;

б) дистрибутивность операции умножения относительно сложения.

Решение.

а) Докажем, что ( а, b N₀) а b = b а

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выражений, записанных в левой и правой частях этого числового равенства.

Пусть а = п(А); b= п(В), тогда аb = п (АВ),

а b = п (ВА).

Хотя декартово умножение не коммутативно (вообще говоря, АВ ВА), справедливо равенство п(АВ) = п (В  А). Чтобы доказать это, поставим в соответствие каждой паре (х, у) из АВ пару (у, х) из В  А, и наоборот, тогда между множествами A  В и В  А будет установлено взаимно однозначное соответствие и множества АВ и ВА будут равночисленны. Символически это записать так:



б) Докажем, что ( а, b,c N) а  ( b + c) ab +ac;

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выра­жений, записанных в левой и правой частях этого числового раве­нства. Пусть а = п(А); b= п(В); с = п(С), тогда b + с = п(В  С), если В  С=, а(b + с) = п(А (В  С)), аb = п (А  В); ас = п(АС), аb + ас = п((А В) (А С)), если (А В)  (АС) =.

Имеет место свойство дистрибутивности декартова умножения относительно объединения множеств, т.е.

А  (B С) = (АB) (АC).

Если множества равны, то и количество элементов их одинаково, т.е.

п(А(ВС)) = п((А В)(А С)). Символически это мож­но записать так:

А  (В  С) = (А  В)  (А  С) => п (А (В C) = п((А В)  (А  С)) => а(b + с) = аb + ас.

В школе используется определение умножения, основанное на понятии суммы одинаковых слагаемых.

______________________________________________________________________

Определение 12. Если а и b – целые неотрицательные числа, то:
ab = а + а+…+а при b>1;

bслагаемых

а  1 = а при b=1

а  0 = 0 при b = 0.

______________________________________________________________________

Первую строчку определения можно сформулировать так: произ­ведением чисел а и bназовем сумму bслагаемых, каждое из которых равно а. Из данного определения следует, что если множества A₁, А₂,...,А_bимеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А₁А₂ ...  А_bсодержит а  bэле­ментов.

Таким образом, произведение а  b равно числу элементов в объе­динении bмножеств, каждое из которых содержит по а элементов, и никакие два из них не пересекаются. Символически это можно запи­сать так:

А₁ А2 ...  А_b = А, причем А_iA_j = , где i j и i, j=1,2, ...,b

п(А₁) = п(А₂) =... = п(А_b)=a, тогда п(А) = п(А₁ А₂...  А_b) = п(А₁) + п(А₂) + ... + п(А_b)= а + а+ +... + а = аb. В начальном курсе математики определение произведения вво­дится по частям: сначала появляется определение «Сумму одинако­вых слагаемых называют произведением», например, 2 + 2 + 2 + 2 = 2 4, затем «При умножении любого числа на единицу получается то число, которое умножали», и запись а  1 = а и, наконец, «Произведе­ние любого числа и нуля считают равным нулю» и запись а  0 = 0.