Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы

• Название: Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы
• Анкор: Praktikum_po_mat.doc
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 7.87 Mb.
• Имя файла: Praktikum_po_mat.doc
• Тип: Контрольные вопросы; #6276
• страница: 18 из 19

Задача 9.

Используя определение произведения, докажите, что 43 = 12.

Решение.

Возьмем множество А, в котором четыре элемента, и множество В, в котором три элемента. Пусть это будут множества:

А = {а, b, с, d}, п(А) = 4 и B={m, n, k}, п(В) = 3.

Найдем декартово произведение множеств А и В: АВ - {(а, т), {а, п), (а, k), (b, т), (b, n), (b, к), (с, т), (с, n), (с, k), (d, т), (d, п), {d, к)}. Оно содержит 12 элементов, т.е. п (АВ) = 12. Следовательно, по определению, а = п (А);b = п(В), то аb= п{АВ) получим 43 = 12.

Задача 10.

Решить и объяснить выбор действия.

В 3 банки положили по 8 огурцов. Сколько всего огурцов в этих банках?

Решение.

Пусть А₁ – множество огурцов в первой банке, А₂ – множество огурцов во второй банке, А₃ – множество огурцов в третьей банке, причем п(А₁)=п(А₂)=п(А₃)=8.

А – множество всех огурцов в банках, тогда А =А₁ А₁ А₃, причем А₁А₂ = , А₁А₃ = , А₂А₃ = , тогда n(А)= n (A₁A₁A₃) = п (А₁) + п (А₂) + п (А₃) = 8 + 8 + 8 = 83 = 24. Или кратко, три раза по восемь – это:

8 + 8 + 8 = 83 = 24
3 раза
В трех банках 24 огурца.

Эта задача на уяснение смысла действия умножения.
Задача 11.

Решить и объяснить выбор действий (на смысл отношения «боль­ше в...» в прямой форме).

Сережа вырезал 2 треугольника, а квадратов в три раза больше, чем треугольников. Сколько квадратов вырезал Сережа?

Решение.

Пусть А – множество треугольников, которые вырезал Сережа, п(А) = 2. В – множество квадратов, которые вырезал Сережа, сколько их – надо найти, п(В) – ?

Квадратов в три раза больше, чем треугольников, это значит, квадратов 3 раза по столько, сколько треугольников. Схематически это можно изобразить так:



A B










B₁ B₂ B₃
АВ₁

В₂В₃ => п(А) = n(B₁) = п(В₂) = n(B₃) = 2.

Множество В – объединение множеств В₁, В₂ иВ₃, т.е. В = В₁ В2 В₃, причем В₁В₂= , В₁ В₃ = , В₂ В₃ = , тогда n (B) = n (В₁В₂ В₃) = п (В₁) + п (В₂) + п (В₃) = 2 + 2 + 2 = 23 = 6. Или кратко, квад­ратов в 3 раза больше, чем треугольников, т.е. квадратов три раза постольку, сколько треугольников, т.е. 3 раза по 2, а это 2 + 2 + 2 = 23 = 6.

Сережа вырезал 6 квадратов.

Задача 12.

Решить и объяснить выбор действий (на смысл отношения «меньше в...» в косвенной форме).

Для урока труда девочка принесла 6 листов красной бумаги, это в 2 раза меньше, чем зеленой. Сколько листов зеленой бумаги принесла девочка?

Решение.

Красной бумаги 6 листов, это в 2 раза меньше, чем зеленой, тогда зеленой бумаги в 2 раза больше, чем красной. Пришли к задаче, ана­логичной предыдущей, приводятся аналогичные рассуждения. Кратко: зеленой бумаги в 2 раза больше, чем красной, т.е. 2 раза по 6, и это можно записать 6 + 6 = 62 = 12.

Девочка принесла 12 листов зеленой бумаги.
Задача 13.

Вычислить рационально, объяснив вычисление: 7731 + 3123.

Первый способ. Можно найти значение выражения в порядке вы­полнения действий.

1)7731=2387; 2)3123=713; 3)2387 + 713 = 3100.

Второй способ. Можно найти значение выражения, пользуясь свойствами операций. Используя коммутативность умножения, можно поменять местами множители 77 и 31 или 31 и 23. Далее можно воспользоваться дистрибутивностью умножения относительно сложения слева или справа.
7731 + 31 23 3177 + 31  23 31(77 + 23) = 31 100 = 3100.
Контрольные вопросы

1. 
   Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств.
   
2. 
   Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через сумму.
   
3. 
   Дайте определение умножения, используемое в начальном курсе математики.
   
4. 
   Запишите свойство коммутативности умножения, дайте его теоретико-множественное истолкование.
   
5. 
   Запишите свойство ассоциативности умножения. Приведите пример на применение этого свойства.
   
6. 
   Запишите свойство дистрибутивности умножения относительно сложения. В каком виде используется это свойство при начальном обучении математике?
   

Упражнения

363. 
     Используя определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств, покажите, что:
     

а) 2  4 = 8; б)1 3 = 3; в) 0  5 = 0.

363. 
     Используя определение произведения целых неотрицательных чисел через сумму, покажите, что:
     

а) 2  4 = 8; б) 1  3 = 3; в) 0  5 = 0.

363. 
     Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются действием умножения:
     

а) На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 7 таких пальто?

б) Юннаты посадили 3 ряда березок по 5 березок в каждом. Сколько всего березок посадили юннаты?

363. 
     а) В пруду плавали 4 гуся, а уток в 3 раза больше. Сколько уток плавало в пруду?
     

б) В шкафу стояли 6 глубоких тарелок, а мелких в 2 раза больше. Сколько всего тарелок стояло в шкафу?

363. 
     а) В цирковом представлении участвовали 6 дрессированных собачек, их было в 3 раза меньше, чем дрессированных голубей. Сколько дрессированных голубей участвовало в представлении?
     

б) Коля поймал 8 рыб, в 2 раза меньше, чем Женя. Сколько рыб поймали оба мальчика?

363. 
     Решить разными способами:
     

а) Двум мальчикам раздали по 3 зеленых и по 4 красных круга каждому. Сколько всего кругов раздали этим мальчикам?

б) Для школьного зала купили новые стулья. 2 ряда по 5 стульев поставили на сцену и 8 рядов по 5 стульев поставили в зале. Сколько всего новых стульев поставили?

363. 
     Вычислить рациональными способами, объяснить вычисления.
     

а) 319+19-27;

б) 5718 –1837;

в) 4  17  5;

г) 487525;

д) (17+ 25) 4;

е) 13156 – 3613;

ж) 1728 + 17217;

з) 2  4  17  25;

и) (53 + 35) 2;

к)1875.

4. ДЕЛЕНИЕ

В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная умножению, поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь.

Если а b= с, то, зная произведение с и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.

В теоретико-множественной теории операция деления связана с разбиением множества на классы.

Пусть дано множество А и совокупность А₁, А₂,...A_bравномощных его подмножеств – разбиение множества А на классы, символи­чески это можно записать так:

А, А₁А₂... A_b,где А_i А,i= 1,2, ..., b.

Если выполняются условия:

1. 
   А_i, где 1 = 1,2,...,b;
   
2. 
   А_iA_j = , где i  j и i, j = 1,2,...,b;
   
3. 
   А_i  А₂ …_b = А
   

И n(A) = с, п(А₁) = n(A₂) = ... = п(А_b) = а, то п(А) = п(А₁)+п(А₂)+...+п(А_b) = a + a+…+a = a b
b

Получаем ab = с.

Рассмотрим две задачи. В первой – по количеству элементов множества А и числу равномощных классов требуется найти число элементов в каждом из классов А_iразбиения множества. Во второй – по количеству элементов множества А и каждого из равномощных классов А_iтребуется определить количество классов разбиения.
Задача 14.

Известно: число элементов множества А, п(А) = с, число равномощных классов – b. Найти: число элементов в каждом классе, п(А_i) = а –?

Так как ab = с, то а = с : bили п(А_i) = п(А) : b, где i = 1, 2, ..., b.

Итак, частное от деления числа элементов множества А на число равномощных классов обозначает число элементов в каждом из равномощных классов.

Эта задача на деление на равные части.
Задача 15.

Известно: число элементов множества А, п (А) = с, число элементов в каждом из равномощных классов, п (А_i) = а. Найти: число клас­сов – b.

Так как ab = с, то с : а = bили п(А):п (А_i) = b.

Итак, частное от деления числа элементов множества А на число элементов, в каждом из равномощных классов обозначает число рав­номощных классов.

Эта задача на деление по содержанию.

Теоретико-множественное истолкование можно дать и делению с остатком. Напомним, что разделить натуральное число а на нату­ральное число bс остатком – это, значит, найти такие целые неотрица­тельные числа q и r, что

а = bq + r, где 0  r < b.

Пусть а = п(А) и множество А разбито на множества А₁, А₂,... А_q, D, В так, что множества А₁, А₂,... А_qравночисленны, а множество Dсодер­жит меньше элементов, чем каждое из множеств А₁, А₂,... А_q.Тогда, если п(А₁) = п(А₂) = ...= п(А_q) = b, а п(D) = r, то а = bq+ r, где 0 r < b, причем число q(равночисленных множеств) является неполным час­тным при делении а на b, а число r(число элементов в D) – остатком при этом делении.
Задача 16.

Решить и объяснить выбор действий.

У бабушки было 10 морковок. Она связала их в пучки по 5 морко­вок в каждом. Сколько получилось пучков?

Решение:

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств. А – множество морковок, которые были у бабушки, п(А) = 10. А₁, А₂,...А_b – разбиение множества А на классы. А_i– множество морковок в каждом классе (пучке), А₁ А₂… А_b, п(А_i) = 5. Надо найти число классов b. п(А) = 10 = с; п(А_i) = 5 = а, т.к. аb = с, то b = с:а или b = п(А): n(А_i) =10:5 = 2.

Получилось 2 класса, т.е. 2 пучка.

Задача 17.

Решить и объяснить выбор действий.

12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько карандашей у каждого?

Решение.

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств. А – множество всех карандашей. п(А) = 12. А₁, А₂, А₃ – разбиение множества A на классы. А₁А₂А₃, число равномощных классов b = 3.

Найти: число элементов в каждом из равночисленных классов, п(А_i) = а – ?, с = п(А) = 12, b = 3, а – ?

Т.к. с = а b, то а = с: b = 12: 3 = 4 или п(А_i) = п(А): b, п(А_i) =12:3=4.

В каждом классе 4 элемента, каждый ученик получил по 4 каран­даша.

Эта задача на деление на равные части.

Задача 18.

Обоснуйте с теоретико-множественной позиции выбор действия при решении задачи.

13 ложек разложили на столы, по 4 ложки на каждый. На сколько столов положили ложки и сколько ложек осталось?

Решение.

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств. А – множество всех ложек, п(А) = 13 = а, А_i – множество ложек на одном столе.

А₁А₂ ... А_q, n(A₁) = п(А₂) =...= п(А_q) = 4 = b, q – число равно­численных множеств (число столов) - надо найти.

D – множество ложек, которые остались, п(D) = r – число ложек, которое надо найти.

А = (А₁ А₂ ...A_q) D.

п(А) = (А₁ А₂ ...A_q) +n(D), (А₁ А₂ ...A_q) D = .

а = bq+r, т.е. 13 = 4q + r.

Чтобы найти qи r, надо выполнить деление с остатком 13 на 4, 13 : 4 = 3 (ост. 1), 13 = 43 + 1.

Ложки положили на 3 стола, и одна ложка осталась.

Задача 19.

(это задача на отношение «меньше в...») Решить.

Оля нашла 8 подосиновиков, а белых грибов в 2 раза меньше. Сколько белых грибов нашла Оля?

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств.

А – множество подосиновиков, которые нашла Оля, п(А) = 8. В – множество белых грибов, в котором белых грибов столько же, сколько подосиновиков, В А, тогда п(В)= 8.

В 2 раза меньше равносильно разбиению множества В на 2 равно­численных непересекающихся подмножества В₁и В₂, где В₁ В₂; В₁B₂ = иB₁B₂ = B.

Решение: п(В) = п(B₁B₂) = п(B₁) + п(B₂) = 2п(B₁)

8 = 2  п(В₁), тогда п(В₁) = 8 : 2 = 4.




A -



B -

B₁ B₂
Оля нашла 4 белых гриба.