Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы
 Скачать 7.87 Mb.
|
УПРАЖНЕНИЯ1. Даны числа 19;  ; 0; – 27; 5.4;  . Какие из них принадлежат множеству: а) целых чисел; б) целых неотрицательных чисел; в) рациональных чисел; г) действительных чисел? 2. Покажите на координатной прямой множество точек, координаты которых: а) меньше 4; б) больше 4; в) не больше 4; г) не меньше 4. 3. Изобразите на координатной прямой множество Х, если: а) Х = х/х R и – 2 ≤ х < 7; б) Х х/х R и – 2 ≤ х ≤ 7; в) Х =х/х R и х < 7; г) Х = х/х R и х ≥ – 2. 4. Задайте числовое множество описанием характеристического свойства элементов: а) (3;8); б) (– ;7]; в) (– ; -3]; г) [– 5,2; 0]; д)[– 8; +); е) (2,7; +); ж) [0; 7,8); з) (–4; 8]. 5. Задайте двумя способами множества точек координатной прямой (рис. 6) а)  6 б)  3,2 7 в)  – 3,7 г)  – 4 2,4 д)  – 8,2 – 4,3 е)  18 ж) 21 з)  – 3 0 Рис. 6 6. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них истинные: а) 3(3;12]; б) – 0,2 [– 0,3; 0]; в) 0(– ; 0]; г) 5(6; +); д) 75Q; е) 6,4Z; ж) – 7N; з) – 0,3Z. 7. Постройте прямую и отметьте на ней начало отсчета, единичный отрезок, точку А(5) и все точки, расстояние каждой из которых от точки А: а) равно 2; б) не больше 2; в) больше 2. 8. Отметьте на координатной прямой точку В(2) и укажите характеристическое свойство множества точек, изображенных на рис. 7  Рис. 7 9. Решите уравнения, используя понятие расстояния между двумя точками на координатной прямой: а) х = 3; б) 7 – а = 4; в) х – 4 = 3; г) р = – 2; д) х + 1 = 4; е) 7 + у = 1. 10. Покажите на координатной прямой множество решений неравенства: а) х ≤ 3; б) х > 4; в) х + 3 ≤ 1; г) х – 4 ≥ 2. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера высказывания из задач 11 – 20: 11. а) некоторые натуральные четные числа кратны 11; б) все числа, делящиеся на 10, делятся и на 5. 12. а) ни один параллелограмм не является трапецией; б) любой квадрат есть прямоугольник. 13. а) каждое из чисел, запись которых оканчивается цифрой 0, делится на 5; б) ни одно число, запись которого оканчивается цифрой 3, не делится на 6. 14. а) все квадраты являются четырехугольниками; б) некоторые равнобедренные треугольники являются прямоугольными. 15. а) все мальчики 5 «а» класса участвовали в туристическом походе; б) ни один мальчик 5 «а» не является неуспевающим учеником. 16. а) все равносторонние треугольники – равнобедренные; б) некоторые ромбы являются прямоугольниками. 17. а) любой квадрат есть ромб; б) некоторые трапеции являются четырехугольниками с прямым углом. 18. а) все девочки в классе сидят за первыми партами; б) некоторые числа, делящиеся на 3, делятся и на 9. 19. а) ни один мальчик не сидит за первой партой; б) некоторые числа, запись которых оканчивается цифрой 5, делятся на 3; 20. а) все мальчики в классе занимаются в кружке по рисованию; б) некоторые двузначные натуральные числа являются четными. 21. Перечислите элементы следующих множеств, задайте множества с помощью характеристического свойства: а) А – множество натуральных чисел, меньших 7; б) В – множество натуральных чисел, кратных числу 3 и меньших 20; в) С – множество натуральных делителей числа 26; г) Д – множество чисел, абсолютная величина которых равна 5. 22. Прочтите следующие записи и перечислите элементы каждого из множеств: а) А = {х/х N, хг= 16}; в) С = {х/х Z, |х| < 4}; б) В = {х/х N, х2< 9}; г)Д= {х/х Z, х< 9}. 23. Изобразите на числовой прямой следующие множества: а) А = {х/х R, х<9}; б) В={х/х R, х>4}. Изобразить множества с помощью кругов Эйлера. Определить отношения между множествами. 24. А = {х/хN ,х  10}, В = {х/хZ, х 2}, С= {х/х Z, х 5}.25. А = {х/х N, х 4}, В = {х/х N, х 12}, С = {х/х N, х 2}.
27.A = {х/х R , 5 < х < 10}, B = {х/х Z, 5 < х < 28}, С={х/х Z, x < 20} 28. A = {х/х R , х < 2}, B = {х/х Z, х < 2}, С= {х/х Z,- 2 < х < 1}. 29. A = {х/х Z , х 9}, B = {х/х N, х 9}, С= {х/х N, х 27}.30. А= {х/х Z , х 9}, B = {х/х N, х 9}, С = {х/х Z, х 27}.31. А = {х/х Z, х 6}, B = {х/х N, х 6}, С = {х/х Z, х 2 и х 3}.32. А = {х/х Zи – 2 < х < 8}, В= {х/х Zи – 1,5 < х < 7}, С = {х/х Rи х < 10}. 33.А = {х/х Zи х < 7}, В = {х/х Zи – 1 < х < 8}, С = {х/х Rи х < 10}. 34. Установите отношения между множествами А, В и С и изобразите их при помощи кругов Эйлера, если: а) А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, кратных 10, С – множество натуральных чисел, кратных 5; б) А – множество треугольников, В – множество прямоугольных треугольников, С – множество остроугольных треугольников; в) А – множество треугольников с углом 45°, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников; г) А – множество ромбов, В – множество пятиугольников, С – множество многоугольников, содержащих угол 60°. 35. Установите, в каком отношении находятся множества В иD, если: а) В = [3; 5], D = [4; 6]; б) В = (7;  ), D = [8; 12);в) В = (  ;0], D = [0, 7]; г) В = (–5;–1), D = (–1, 6). 36. В каком случае множества С иD пересекаются: а) С – множество четных однозначных чисел, D – множество нечетных однозначных чисел; б) С – множество четных однозначных чисел, D – множество чисел, кратных 3; в) С – множество прямоугольных треугольников, D – множество равнобедренных треугольников; г) С – множество прямоугольников с равными сторонами, D – множество квадратов? 37. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества Р и Q, если Р – множество равнобедренных треугольников, а Q есть множество: а) остроугольных треугольников; б) прямоугольных треугольников; в) равносторонних треугольников. 38. Дано множество С = {213, 45, 324, 732, 136}. Составьте подмножество множества С, состоящее из чисел, которые: а) делятся на 3; б) делятся на 9; в) не делятся на 4; г) делятся на 5. 39. А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество квадратов. Докажите, что В А и С В. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера. 40. Дано множество М = {к, l, m}. Образуйте все его: а) одноэлементные подмножества; б) двухэлементные подмножества; в) трехэлементные подмножества. Присоедините к полученным подмножествам пустое множество. Сколько всего подмножеств получили? 41. А – множество натуральных чисел, меньших 20; В, С, D и Е – подмножества множества А, такие, что В состоит из чисел, кратных 6, С – из чисел, кратных 2, D – из чисел, кратных 3, Е – из чисел, кратных 2 и 3 одновременно. Перечислите элементы множеств А, В, С, D и Е и укажите среди них равные множества. 42. М – множество натуральных решений неравенства 2 ≤ х < 7, K – множество натуральных решений неравенства 1 < х ≤ 6. Какие из следующих высказываний истинны: а) М К; б) К М; в) М = K? 43. Докажите, что А = В, если: а) А – множество двузначных чисел, кратных 9, В – множество двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 9; б) A – множество натуральных чисел, запись которых оканчивается нулем, В – множество натуральных чисел, кратных 10. 44. А – множество двузначных чисел; В – множество четных натуральных чисел; С – множество натуральных чисел, кратных 4. В каком из случаев, представленных на рисунке 8, изображены данные множества? Приведите примеры множеств А, В и С, если их изображение таково, как на рисунке 8.    а) б) в) Рис. 8 45. Найдите пересечение и объединение множества С = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} и множества D, если: а) D= {12, 14, 18, 20, 22, 24}; б) D = {14, 16, 18, 20}; в) D = {3, 4, 5, 6}; г) D= С. 46. Вместо многоточия поставьте «и» либо «или»: а) Элемент х принадлежит объединению множеств Р иQ тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству Р… множеству Q. б) Элемент х не принадлежит множеству Р Q тогда и только тогда, когда он не принадлежит множеству Р ... не принадлежит множеству Q. в) Элемент х принадлежит пересечению множеств Р иQ тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству Р ... принадлежит множеству Q. г) Элемент х не принадлежит пересечению множеств Р иQ тогда и только тогда, когда он не принадлежит множеству Р ... не принадлежит множеству Q. 47. Даны множества А и В. Сформулируйте условия, при которых А В , А В , А В = В, А В = В, если: а) А – множество учащихся класса, занимающихся в кружке по рисованию, В – множество мальчиков класса; б) А – множество девочек класса, В – множество отличников класса. 48. Укажите характеристическое свойство элементов множества Х = А В С, если A = (–3; 0], B =]–2, 2[, С = (0,  ).Верно ли, что: а) 0 X; б) –2 X; в) 27,3 X? 49. Укажите характеристическое свойство элементов множества М = А В С, если A = ( ;– 2), В = (–7;– 1], С = ( –3, ).Принадлежат ли множеству М числа: –3,7; 0; 12? 50. С – множество трапеций, D – множество параллелограммов, Е – множество четырехугольников, имеющих прямой угол. Постройте для данных множеств круги Эйлера, выделите штриховкой области, изображающие множества С D Е и СD Е, и задайте каждое из них описанием характеристического свойства. Для каждого случая сделайте отдельный чертеж. 51. Р – множество натуральных делителей числа 18, Q – множество натуральных делителей числа 24. Укажите характеристическое свойство элементов пересечения множеств Р и Q и перечислите его элемент 52. Найдите пересечение и объединение множеств К и М, если К – множество двузначных чисел, М – множество нечетных чисел. Верно ли, что: а) 21 К М; б) 32 К М; в) 32 K М; г) 7 К М; д) 7 К М; е) 135 K М? 53. Постройте круги Эйлера для множеств А, В и С и укажите характеристическое свойство элементов множества А (В С), если: а) А – множество правильных многоугольников, В – множество треугольников, С – множество четырехугольников; б) А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество четырехугольников; в) A – множество прямоугольных треугольников, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников; г) A – множество прямоугольных треугольников, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество треугольников. В каждом из случаев выделите на чертеже область, изображающую множество АВ С, и начертите фигуру, принадлежащую этому множеству. 54. Даны множества: А = {а, b, с, d, е}, В = {с, d, f, к), С = {b, с, d, f, m}. Перечислите элементы множеств К = (А В)С и Р = A (В С). Содержится ли элемент m в множестве К, а элемент f в множестве Р? 55. А – множество чисел, кратных 2, В – множество чисел, кратных 3, С – множество чисел, кратных 5. Укажите характеристическое свойство элементов множеств (А В) С и (А В) С. 56. Найдите разность множества А = {a, b, c, d, e} и множества В, если: а) В = {c, d, e, f, k, l}; б) В = {a, c, e}; в) B = {c, a, d, e}; г) B = {k, l, m}; д) В = {a, b, c, d, e, f, k}; е) В = . 57. Даны множества: Р – множество остроугольных треугольников, Q – множество равнобедренных треугольников, S – множество равносторонних треугольников. Укажите характеристическое свойство элементов множеств X = (Р Q) \ SиY = Q' (Р S). Установите, какие из треугольников, изображенных на рисунке 13, принадлежат множеству X, а какие – множеству Y. 58. Т – множество многоугольников, имеющих прямой угол, Р – множество квадратов, М – множество треугольников. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству X = Р (М \ Т). 59. Известно, что X – множество двузначных чисел, Е – множество четных натуральных чисел, У – множество натуральных чисел, кратных 4. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера и выделите штриховкой множество: а) А = XY Е, б) В = XY \ В; в) С = XY' E. Каковы характеристические свойства элементов множеств A, Bи С? 60. А – множество параллелограммов, В – множество треугольников, С – множество многоугольников с углом в 60°. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству X = А С В, и две фигуры, принадлежащие множеству Y = (С \ А) \ В. 61. Множество А состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество В – из натуральных чисел от 5 до 20. Перечислите элементы множеств А\ В и В \ А. 62. Р – множество двузначных чисел, Q – множество четных натуральных чисел. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера, отметьте штриховкой разность множеств Р иQ и укажите характеристическое свойство элементов, принадлежащих этой разности. Верно ли то, что Р \ Q содержит числа 21; 17? В следующих упражнениях изобразить множества А, В, С, Д на кругах Эйлера и заштриховать область, изображающую множество X. Задать множество Xсловесным способом, при необходимости ввести подходящее универсальное множество И. 63. А – множество четырехугольников плоскости, В – множество прямоугольников, С – множество четырехугольников со стороной 5 см. а) Х = (В\А) (А С); б) Х=(А В) и (А\С); в) Х = А(В С). 64. В – множество прямоугольников, С – множество ромбов, Д – множество четырехугольников, имеющих прямой угол. а) Х = Д (В\С); б) Х = (Д В) С. 65. А – множество прямоугольников, В – множество ромбов, С – множество параллелограммов со стороной 3 см: а) Х = А'(В\С); б) Х = (АВ)\С; в) Х = (А\С)В 66. А – множество прямоугольных треугольников, В – множество равносторонних треугольников, С – множество треугольников со стороной 3 см: а) Х = (А\ В) С; б) Х=(А\В)\С; в) Х=А' (В\С). 67. А – множество прямоугольных треугольников, В – множество равносторонних треугольников, С – множество треугольников со стороной 3 см: а) Х= (А С) (В С); б) Х= (А\С) В'. Найти А В, А В, А\В, В\А, и А,И= Rвследующих упражнениях. 68. Множества XиY являются подмножествами универсального множества, и XY. Изобразите их при помощи кругов Эйлера и выделите штриховкой множество: a) X' Y', б) X' Y', в) (XY)'; г) (XY)'. Для каждого случая сделайте отдельный чертеж. Есть ли среди этих множеств равные? 69. А – множество однозначных чисел, В – множество нечетных однозначных чисел, С – множество однозначных чисел, кратных 3. Изобразите множества А, В и С при помощи кругов Эйлера. Отметьте штриховкой (для каждого случая сделайте отдельный чертеж) множество: а) В'; б) С'; в) В' С'; г)В'С'; д) (В С)'; е)(ВС)'. Каково характеристическое свойство элементов каждого из этих множеств? Есть ли среди этих множеств равные? 70. А = (–, 3); В = (– 3, +). 71. А = 0, 5; В = (–3,2). 72. А = (– 3,7]; В = [5, 6). 73. А = (–, 5); В = (0, +). 74. А = 0, 5; В = (–3,0). 75. А = – 3,7); В = (1, 5. 76. А = – 2,7); В = (3, 5. 77. А = (–, 3); В = [3,10). 78. А = (0, 11); В = (–3, 7]. 79. А = (– 4, +); В = [0, 3). 80. А = [– 2,+); В = (0, 4]. В упражнениях 70 – 79 доказать, что для любых множеств А, В, С верны равенства. 81. А (ВС) = (АВ)(АС). 82. (А В) \С =А (В \С). 83. (АВ)\С= (А\С)(В\С). 84.(А\В) \С=(А\С)\В. 85. (А В)\С = В (А\С). 86. А = (А\В) (А В). 87. (А\В)'=А'(АВ). 88. (АВ)' = А'В1 89.(А В)' = А' В1 90.А (В С) = (А В) (А С).
а) (А \ В) В = ; б) (A \ В) (А В) = ; в) (A \ В) (А В) = А. 92. Докажите, что для любых множеств А, В и С верно равенство: a) (A \ В) (A \ С) = A \ (В С); б) A В \ С = А (B\С). |