Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы
 Скачать 7.87 Mb.
|
|
По теме данной главы студент должен уметь: - задавать множества разными способами; - устанавливать отношения между множествами и изображать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна; - доказывать равенство двух множеств; - выполнять операции над множествами и геометрически их иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна; - производить разбиение множества на классы с помощью одного или нескольких свойств; оценивать правильность выполненной классификации. II. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Литература: [1] гл. 1, §2, §3, §4
Определение 1. Высказыванием называют любое повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. _____________________________________________________________________________________________ Современная математическая логика включает в себя логику высказываний и логику предикатов. Высказывание принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д. Если высказывание А истинно, то записывают А – «И», если высказывание А ложно, то записывают А – «Л». Если заданы высказывания А и В, то из них можно составить новое высказывание, используя логические связки «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не». Такие высказывания называют составными, а входящие в них высказывания А и В – элементарными высказываниями. Логические связки (или логические операции) принято обозначать соответственно специальными символами (, , , , –). Составные высказывания, образованные из высказываний А и В, определяются следующими таблицами истинностей.
Два составных высказывания А и В называются равносильными, если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут А = В. Свойства составных высказываний:
Есть свойства, связывающие эти две операции: (АВ)С = (АС)(ВС) – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции; (АВ) С = (АС) (ВС) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции. Для отрицания высказываний можно записать равносильности: 1.  =А – любое высказывание А равносильно высказыванию
 .Эти отношения называют законами де Моргана. Операция импликации двух высказываний может быть выражена через операции отрицания и дизъюнкции: А В =  В.Для импликации высказываний имеет место закон контрапозиции: А В =  Все эти свойства доказываются с помощью таблиц истинности. Задача 1. Доказать равносильность А В = В. Составимтаблицу истинности для высказываний А В и В .
Совпадение истинностных значений высказываний А В и В доказывает их равносильность.___________________________________________________________ Определение 2. Предикатом(или высказывательной формой) называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание всякий раз при подстановке вместо переменных их значений из некоторого множества Х. _____________________________________________________________________________________________ В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные и т. д. предикаты (высказывательные формы), которые обозначаются, соответственно, так: А (х), В (х, у) и т. д. В пособии, мы, будем использовать термин – «предикат». Например, х > 3 – одноместный предикат, а х + у = 10 – двухместный предикат. При задании предиката обычно указывают его область определения X – множества, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат. Множество тех значений переменной из области ее определения, при подстановке которых предикат обращается в истинное высказывание, называется множеством истинности предиката. Обозначение – Т, Т Х. Конъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X, называется предикат А(х) В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х Х, при которых истинны оба предиката. Множество истинности конъюнкции предикатов есть пересечение множеств истинности образующих ее предикатов. Т а(х)В(х) =Т а(х) Т В(х). Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве называется предикат А(х) В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х X, при которых истинен хотя бы один из предикатов. Та(х)\/В(х) = Т А(Х) Т В(х) Отрицанием предиката А(х), заданного на множестве X, называется предикат  , истинный при тех и только тех значениях х X, прикоторых предикат А(х) ложен. = Х\ТА(Х); = Т'А(Х)Импликацией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х называется предикат А(х) В(х), обращающийся в ложное высказывание при подстановке вместо х таких значений а, для которых А(а) истинно, а В (а) – ложно; при остальных значениях х – предикат А(х) В(х) обращается в истинное высказывание. 2. ВЫСКАЗЫВАНИЯ С КВАНТОРАМИ Выражение «для всех х» («для любого х», «для каждого х») называется квантором общности и обозначается х. Выражение «существует такое х» («для некоторых х», «хотя бы для одного х», «найдется такое х») называется квантором существования и обозначается х. Высказывание, полученное из предиката Р(х) при помощи квантора общности, записывается в виде (х Х) Р(х) и читается: «Для любого (каждого, всякого) значения х из множества Х имеет место Р(х)n или «Любой (каждый, всякий) элемент х из Х обладает свойством Р ». Высказывание, полученное из предиката Р(х) при помощи квантора существования, обозначается ( х X) Р(х) и читается одним следующих способов: а) существует (найдется) такое значение х из X, что имеет место Р(х); б) хотя бы один (по крайней мере, один) элемент х из X обладает свойством Р. Длятого чтобы получить высказывание из многоместного предиката надо связать кванторами каждую переменную. Например, если Р (х,у) – двухместный предикат, то (хХ)(у Y) Р(х, у) – высказывание. Отрицание высказываний, содержащих кванторы Для построения отрицания высказываний с кванторами надо: 1) квантор общности заменить на квантор существования или наоборот; 2) предикат заменить его отрицанием. Таким образом,  ; .Если задана словесная формулировка высказывания с квантором, то нужно: 1) слово «любой» («каждый», «всякий», «все») заменить на слово «существует» («найдется», «некоторый», «хотя бы один»), и наоборот; 2) поставить перед глаголом частицу «не». Это правило сохраняется и в том случае, если высказывание содержит не один, а несколько кванторов, например:  .Для построения отрицания импликации полезна следующая формула:  =  | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
