Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы

• Название: Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы
• Анкор: Praktikum_po_mat.doc
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 7.87 Mb.
• Имя файла: Praktikum_po_mat.doc
• Тип: Контрольные вопросы; #6276
• страница: 7 из 19

3. ОТНОШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДОВАНИЯ

И РАВНОСИЛЬНОСТИ

Рассмотрим импликацию предикатов А(х)  В(х).

Если, множество истинности импликации совпадает с ее областью определения, то говорят, что предикат В(х) логически следует из предиката А(х), и предикат В(х) называют необходимым условием для предиката А(х), предикат А(х) – достаточным условием для В(х).

В этом случае импликацию записывают так: А(х) => В(х). Это возможно тогда и только тогда, когда Т_А(Х) Т_В(Х).

Если из А(х) следует В(х) и из В(х) следует А(х), то говорят, что предикаты А(х) и В(х) – равносильны и записывают А(х) В(х). Это возможно тогда и только тогда, когда Т_А(Х)= Т_В(Х).В этом случае А(х) является необходимым и достаточным условием для В(х), а В(х) – необходимое и достаточное условие для А(х).

2. 
   СТРОЕНИЕ ТЕОРЕМЫ. ВИДЫ ТЕОРЕМ
   

Теоремы часто формируются в виде импликаций: если А(х), то В(х) для каждого х, т.е. (х  х)А(х)В(х), где х  X.

1. 
   Из разъяснительной таким образом части, в которой описывается множество записывается хХ;
   
2. 
   условия теоремы (предикат А(х));
   
3. 
   заключения теоремы (предикат В(х)).
   

Часто в формулировке теоремы описание множества Х не выделяется, а только подразумевается.

По отношению к теореме А(х)  В(х) можно сформулировать теорему:

а) обратную данной В(х)  А(х);

б) противоположную данной ;

в) обратную противоположной .

Согласно закону контрапозиции, теоремы А(х)  В(х) и равносильны¹.

Некоторые теоремы могут быть сформулированы в виде А(х)  В(х), где х  X. Доказательство таких теорем сводится к доказательству двух взаимно обратных теорем: А(х)  В(х) и В(х)  А(х), одна из которых выражает необходимость, а другая –достаточность

Задача 2.

Среди следующих предложений выделить высказывания, преди­каты: установить, истинны или ложны высказывания, а для предика­тов найти множества истинности:

а) Енисей – река сибирская;

б) любой человек имеет сестру;

в) 2х + 5х – 4;

г) х² – 4 = 0;

д) хотя бы одно из чисел 1, 2, 3, 4 является решением уравнений х – 4 = 0;

е) 2х – 5 < 3;

ж) сколько вам лет?

Решение.

а) это – истинное выказывание;

б) т.к. есть люди, не имеющие сестер, это ложное высказывание;

в) это выражение, содержит переменную, но не является предикатом, т.к. не становится высказыванием при конкретных значениях х ;

г) это одноместный предикат от х, истинный при х = 2 или х = – 2

д) это истинное высказывание;

е) это предикат, чтобы найти множество истинности, решим неравенство, получим 2х < 8 и х < 4, тогда Т= (– , 4), если область определения Х = R;

ж) это предложение не является высказыванием, как и любое вопросительное предложение.

Задача 3.

Студент перед экзаменом сказал, что он ответит на первый или на второй теоретический вопрос и решит задачу. В каком случае его высказывание будет ложным? (Перечислите все возможные случаи.)

Решение.

Для ответа на вопрос выявим логическую структуру данного вы­казывания. Через А обозначим высказывание: «студент ответил на первый вопрос», через В: «студент ответил на второй вопрос», через В«студент решил задачу». Тогда высказывание студента примет вид: (А  В)  С.

В задаче требуется указать все случаи, когда это высказывание ложно. Так как это конъюнкция, то, по определению, она будет лож­ной в том случае, когда хотя бы одно из высказываний ложно. Таким образом, высказывание (А  В)  С ложно, если ложно высказывание А  В или высказывание С.

Далее выясним, когда будет ложно высказывание А  В . Так как это дизъюнкция, то, по определению, она ложна лишь в одном случае, когда ложны оба высказывания А и В.

Таким образом, получим, что высказывание (А  В)  С ложно в тех случаях, когда:

а) А – «Л» и В – «Л», т.е. когда студент не ответил ни на первый, ни на второй вопросы;

б) С – «Л», т.е. когда студент не решил задачу;

в) А – «Л», В – «Л», С – «Л», т.е. когда студент не ответил ни на один вопрос или не решил задачу.

Задача 4.

На множестве Х= {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} заданы два предиката – А(х): «х - нечетное число», В(х): «число х кратно 3».

а) Сформулировать предикат А(х)  и найти его множество истинности.

б) Изобразить множества истинности предикатов А(х) и В(х) с помощью кругов Эйлера и заштриховать множество истинности предиката А(х)  .

Решение.

а) Сформулируем предикат – «число х не кратно 3».

Сформулируем конъюнкцию предикатов А(х)  : «х – нечетное и не кратное 3 число». Найдем множества истинности предикатов А(х), В(х), . Т_А= {5, 7, 9, 11, 13, 15}. Т_В = {6, 9, 12,15}; = Х\Т_В = {5, 7, 8, 10, 11, 13, 14). Найдем множество истинности конъюнкции А(х)  по формуле

{5, 7, 11, 13}.

б) Множество Х – универсальное для множеств Т_Аи Т_В. Круги для множеств Та и Т_В пересекаются, т.к. множества имеют общие эле­менты. Множество истинности предиката А(х)  показано на рисунке штриховкой.



Задача 5.

Запишите на языке логики предикатов следующие высказывания:

а) некоторые действительные числа являются рациональными;

б) всякое число, кратное 6, кратно 3.

Решение.

а) Пусть А(х):«х является действительным числом», В(х):«х – рациональное число». Тогда высказывание а) можно записать (х)А(х)В(х).

б) Пусть А(х): «х кратно 6»;

В(х): «х кратно 3»;

Высказывание б) имеет вид: (х) А(х) В(х).

Задача 6.

Пусть А(х): «х – простое число», В(х): «х – четное число», С(х): «х – целое число», Д(х, у): «х делит у».

Сформулировать словами следующие высказывания, записанные на языке логики предикатов и определить, какие из них истинные и какие ложные.

а) (х) А(х) В(х),

б) (х) (у) С(х) С(у)  Д(х, у).

Решение

Высказывание а): «любое простое число есть число четное» ложно, т.к., например, 3 – простое число, но оно нечетное. Высказывание б) «существует такое целое число х, что для любого целого числа у, х делит у» – истинно, т.к., например, 1 делит любое целое число.
Задача 7.

Построить отрицание высказывания и прочитать его.

а) (х N) х5,

б) (хZ)(уZ)х+у = 3.

При построении отрицания будем пользоваться равносильностями.

,

а)

Любое натуральное число х не кратно 5

б) 3.

Существует целое число х, что при любом целом уравнение х + у = 3 не имеет решения.

Задача 8.

На множестве Х= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} заданы предикаты А(х): «х 4» и В(х): «х 2».

а) выяснить, какой из предикатов логически следует из другого, записать этот факт, используя символ =>;

б) прочитать полученную импликацию со словами «необходимо», «достаточно».

Решение.

а) Найдем множества истинности предикатов. Т_А= {4, 8}; Т_В= {2,4, 6, 8}; Та  Тв, следовательно, А (х) => В(х), предикат В(х) логически следует из предиката А(х).

б) х 4 => х 2 = А(х) => В(х), т.к. предикат В(х) логически следует из А(х), то В(х) – необходимое условие для А(х), а А(х) – достаточное условие для В(х). Для того, чтобы х4 необходимо, чтобы х 2. Для того, чтобы х 2, достаточно, чтобы х 4.

Задача 9.

Дана теорема: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник – параллелограмм». Сформулируем теоремы, являющиеся обратной и противоположной данной.

Решение.

Выделим условие и заключение данной теоремы. Условие: «В четырехугольнике х две противоположные стороны равны и параллельны».

Заключение: «Четырехугольник х параллелограмм».

Меняя местами условие и заключение, получим теорему, обратную данной: «Если четырехугольник х – параллелограмм, то в четырехуголь­нике х две противоположные стороны равны и параллельны».

Заменяя условие и заключение исходной теоремы их отрицания­ми, получим теорему, противоположную данной: «Если в четырех­угольнике х две противоположные стороны не равны или не парал­лельны, то четырехугольник х не параллелограмм».
Контрольные вопросы

1. 
   Сформулируйте определение высказывания.
   
2. 
   Сформулируйте определение отрицания высказывания и запи­шите его таблицу истинности.
   
3. 
   Сформулируйте определение операции конъюнкции (дизъюн­кции) двух высказываний и запишите ее таблицу истинности.
   
4. 
   Сформулируйте определение операций импликации (эквиваленции) двух высказываний и запишите ее таблицу истинности.
   
5. 
   Дайте определение логического следования.
   
6. 
   Какие формулы называют равносильными?
   
7. 
   Сформулируйте определение предиката. Приведите примеры предикатов Р(х) и Q(х), чтобы один из них был логическим следствием другого.
   
8. 
   Дайте понятие кванторов общности и существования.
   
9. 
   Пусть утверждение имеет форму логического следования А => В. Какое условие будет необходимым (достаточным) для другого?
   
10. 
    Даны предикаты А(х) и В(х). А(х): Число х делится на 10. В(х): «Число х делится на 5».
    

1. 
   Верно ли, что А(х) => В{х)?
   
2. 
   Верно ли, что В(х) => А(х)?
   
3. 
   Верно ли, что А(х)  В(х)?
   

Упражнения

139. Выясните, могут ли быть одновременно истинными следующие утверждения: «Учащийся А решил задачу, а учащийся В – нет» и «Хотя бы один из учащихся А, В и С не решил задачу».

140. Даны два предложения: «Число а не кратно ни 2, ни 3, ни 5» и «Число а кратно 2 и 3 и не кратно 5». Выясните, являются ли они отрицаниями друг друга. Если нет, постройте отрицание каждого из них в утвердительной форме.

141. Катя сказала, что в следующем году она будет заниматься гимнастикой или фигурным катанием, посещать кружок английского языка, а также петь в хоре. В каком случае можно считать ее высказывание истинным? В каком случае ее высказывание будет ложным? (Перечислите все возможные ответы).

142. Маша сказала подруге, что летом поедет отдыхать в спортивный лагерь, а также пойдет в поход с классом или с родителями. В каком случае ее высказывание будет ложным? (Перечислить все возможные ответы).

143. Запишите два числа, при подстановке которых в предложение «Число а больше 15 или кратно 3 и 7» последнее будет истинным. (Ответ обоснуйте). Может ли это число быть 12? Почему?

144. Нарисуйте две фигуры, для которых предложение «Фигура явля­ется четырехугольником и имеет равные диагонали или стороны» будет ложным. Ответ обоснуйте.

145. Выясните значение истинности высказывания: «8 М», если М – множество целых чисел, кратных 3, или четных однозначных. Ответ обоснуйте.

146. Ученик сказал: «Завтра я встану в 7 ч. утра, до занятий в школе, подготовлюсь к контрольной работе по математике и хотя бы к одному из уроков по физике или химии». Можно ли считать его высказывание истинным, если он встал в 7 ч. утра и подготовился к двум урокам?

147. Студент решил в каникулы прочитать не менее двух книг, сходить в театр или на концерт и, если выпадет снег, съездить за город на лыжную прогулку. В каком случае можно считать, что он свое решение не выполнил.

148. Перечислите все возможные случаи, в которых будет истинно высказывание: «Завтра утром я отправлюсь в лес на лыжную про­гулку, а вечером пойду в театр или кино».

149. Найдите значения истинности следующих высказываний:

а) |3 – 5| = |3| – |5|;

б) = – 4;

в) 3,7 N,

г) R;

д) объединением множеств А = {а, b, с} и В = {с, d) является множество С ={а, b, d}

е) {9, 12, 14, 17} = {17, 9, 12, 14};

ж) 2³ > 3².

150. Объясните, почему предложения а) – д) являются высказываниями, а е) – з) – предикатами:

а) 3 ∙ 4 + 5 > 17;

б) 9 ∙ 3 + 1 = 4;

в) (9 – 5) (9 + 5) = 56;

г) хотя бы одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5 является решением уравнения х² – 1 = 0;

д) для любого натурального числа n верно неравенство 3n + 2 > 0;

е) 3n + 13 = 5;

ж) 3у + 5 < 12;

з) ху = ух.

151. Среди следующих предложений укажите высказывания и предикаты, поясните ответ:

а) 2 – натуральное число;

б) произведение чисел 2 и 7 равно 15;

в) 2³² > 3¹²;

г) х = 11 является решением неравенства 2х – 1 > 5;

д) разность чисел х и 3 равна 7;

е) график функции у = х² симметричен относительно оси ординат.

152. На множестве N задан предикат С (х): «число х – делитель 12». Сформулируйте высказывания С (4), С (5), С (8) и найдите их значения истинности.

153. Предикат «х > у» задан на множестве RxR. Назовите две пары чисел, при подстановке которых в предикат получается: а) истинное высказывание; б) ложное высказывание.

154. На множестве Zзадан предикат В (у): «у + 3 < 5». Принадлежат ли его множеству истинности числа –2; 10; ? Ответ поясните.

155. Изменится ли множество истинности предиката А (х) : х² – 4x – 5 = 0», если в качестве возможных значений переменной х рассмотреть; а) множество R; б) множество N?

156. Среди следующих предложений выделить высказывания, преди­каты, установить, истинны или ложны высказывания, а для пре­дикатов найти множества истинности:

а) 3 – простое число;

б) 2 + 9 = 15;

в) х³ –5х + 3;

г) 3х + 5 = 17;

д) который час?

е) разность чисел х и 3 равна 9;

ж) х = 5 является решением неравенства 3х – 2 > 10;

з) х² + 5х + 6 > 0;

и) х + у = у + х;

к) (7 + 2) (7 – 2) = 53.

157. На множестве Х= {1,2,3,4,..., 20} заданы предикаты А(х):«число х делится на 5 с остатком», В(х): «число х – простое», С(х): «число х – нечетное», Д(х): «число х кратно 3».

Сформулируйте следующие предикаты, найдите их множества истинности и изобразите их с помощью кругов Эйлера.

а) А(х) С(х);

б) В(х) С(х);

в) Д(х);

г) В(х)А(х);

д) Д(х)В(х);

е)А(х)

ж) С(х);

з)Д(х);

и) Д(х);

к) А(х).

158. Запишите на языке логики предикатов следующие высказывания:

а) некоторые натуральные числа являются однозначными,

б) каждое натуральное число является целым,

в) найдется такое натуральное число х, что х > 3,

г) любое четное натуральное число больше или равно 1,

д) существует натуральное число, кратное 6,

е) некоторые параллелограммы являются ромбами,

ж) сумма любых двух натуральных чисел есть число натуральное,

з) существуют правильные многоугольники,

и) некоторые параллелограммы имеют центр симметрии,

к) сумма любых трех последовательных натуральных чисел кратна 3.

159. Сформулируйте отрицание высказываний для заданий из № 160 установите, что истинно – само высказывание или его отрицание.

160. На множестве Z заданы высказывательные формы Д(х): «х – делитель числа 15» и Е(х): «х – делитель числа 45». Докажите, что ис­тинно высказывание: Д(х) => Е(х). Сформулируйте данное высказывание, используя слова «любой», «достаточно», «необходимо». Дана теорема: «Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы его противоположные стороны были попарно равны». Сформулируйте данную теорему при помощи слов «следует», «любой». Выясните, равносильна ли данной следующая теорема: «Из того, что в четырехугольнике про­тивоположные стороны попарно равны, следует, что этот четырехугольник – параллелограмм».

161. Выясните, равносильны ли следующие теоремы: «Для того чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы в нем были равны хотя бы два угла» и «В любом не равнобедренном треу­гольнике никакие два угла не равны между собой». Если нет, то сформулируйте для каждой из них равносильную ей теорему.

162. На уроке была доказана теорема: «Любое целое число, запись ко­торого оканчивается четной цифрой, делится на два». Можно ли на основании этого считать доказанной следующую теорему:

а) если число делится на 2, то его запись оканчивается четной цифрой;

б) если число не делится на 2, то его запись не оканчивается четной цифрой;

в) если запись числа не оканчивается четной цифрой, то число не делится на 2.

Ответ обоснуйте.

163. Запишите высказывания, используя символы математической логики. Укажите истинные высказывания:

а) умножение любых целых чисел коммутативно;

б) сложение любых натуральных чисел ассоциативно;

в) произведение двух любых целых неотрицательных чисел есть целое неотрицательное число;

г) существуют два целых неотрицательных числа, произведение которых равно нулю;

д) какое бы ни было натуральное число а, существует натураль­ное число b, такое, что а > b;

е) какое бы ни было натуральное число т, существует такое целое неотрицательно число n, что т  п = 0;

ж) произведение двух любых целых неотрицательных чисел больше каждого множителя;

з) во множестве целых чисел уравнение х + 6 = 1 имеет единственное решение;

и) сумма двух любых натуральных чисел больше каждого слагаемого или равно одному из них;

к) числа 7 и 12 не имеют общих делителей кроме 1 и – 1.

В задачах 166 – 171 вместо многоточия вставьте слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы получи­лись истинные высказывания:

164. Для того чтобы разность двух чисел была четной,..., чтобы обе компоненты вычитания были четными.

165. Для того чтобы натуральное число делилось на 45,..., чтобы оно делилось на 5.

166. Для того чтобы целое число делилось на 7,..., чтобы оно делилось на 14.

169.Для того чтобы натуральное число делилось на 6,..., чтобы оно делилось на 3.

167. Дана теорема: «В любом ромбе диагонали взаимно перпендикулярны». Сформулируйте данную теорему, используя слово «следует». Выясните, равносильно ли данной теореме утверждение: «Для того чтобы четырехугольник не был ромбом, необходимо чтобы его диагонали не были взаимно перпендикулярны».

168. Сформулируйте признак делимости на 5, используя обороты «тогда и только тогда, когда», «необходимо и достаточно». Выясните, какая из следующих теорем выражает необходимый, а какая – достаточный признак делимости на 5:

а) если число делится на 5, то его десятичная запись оканчивается цифрой 0 или 5;

б) если десятичная запись числа оканчивается цифрой 0 или 5, то число делится на 5.

169. Какие из следующих предложений являются предикатами, а какие высказываниями?

а) 5х – 2 = 4;

б) существует такое х, что х² > 4;

в) (х) х² + 2 = 0;

г) (х) (у) х² – у² = (х – у)(х +у);

д) 2х + 1< 2;

е) (х) (у) х у = 0;

ж) у = 15 является решением уравнения у² = 225.

170. Даны высказывания: А: «Наступает осень», В: «В саду цветет сирень», С: «На улице холодно», D: «мы пойдем гулять».

Сформулируйте высказывания, имеющие следующую логическую структуру:

а) А ,

б) ;

в) D

171. Нарисуйте окружность О(А, R) и поставьте точки А и В таким образом, чтобы высказывание:

а) (A О(А, R) (В  О(А, R) было истинным;

б) (AО(А, R) (В  О(А, R) было ложным;

в) (A О(А, R) (В О(А, R) было истинным;

г) (AО(А, R) (В О(А, R) было ложным. (Рассмотрите все возможные случаи.)

172. Найдите значение истинности высказывания (А  В)С на основании следующих данных:

а) В – «и», С – «и»;

б) A– «л»;

в) А – «и», В – «л»;

г) А – «л», С – «л».

173. Можно ли сделать вывод об истинности или ложности высказывания А  С), зная лишь, что: а) А – «л»; б) С – «и»; в) А – «и», В – «л»; г) В – «л», С – «и»?

174. Справедливо ли рассуждение: Если я пойду завтра на первую лекцию, то должен буду встать рано. Если пойду вечером в кино, то лягу спать поздно и рано не встану. Следовательно, я не пойду на первую лекцию или не пойду в кино.

175. На множестве Z заданы предикаты: A(х): «х > 12», В(x): «х < 30». Сформулируйте следующие высказывания и найдите их значения истинности:

а) В(12);

б) А(22) В(22);

в)

г) а(10)В(40);

д) .

176. На множестве X заданы предикаты С(x) иD(х). В каких случаях можно сказать, что аX принадлежит (не принадлежит) множеству истинности конъюнкции (дизъюнкции) предикатов и :

а) С(а) – «и», D(а) – «и»;

б) С(а) – «и», D(с) – «л»;

в) С(а) – «л», D(а) – «и»;

г) С(а) – «л», D(а) – «л»;

д) С(а) – «и»;

е) С(а) – «л»?

177. Докажите, что:

а) = Т_А  Т_в;

б) = Т_А  Т_в;

в) Т = Т´_А

178. На множестве М — геометрических фигур заданы предикаты В(х): «х – многоугольник», С(х): «х – параллелограмм», D(х): «х – круг», Е(х): «х – правильный многоугольник».

Сформулируйте характеристические свойства элементов множеств истинности следующих предикатов: В(х)С(х); В(х)D(х); Е(x)С(х); В (х)С(х); Е(х)С(х); С (x)D(x); ; ;;;. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества истинности предикатов В(х); С(х), D(x) и Е(х) и заштрихуйте множества истинности составных предикатов.

179. Сформулируйте отрицания следующих предложений:

а) х  3;

б) число 42 делится на 7 и на 3;

в) треугольник АВС правильный и равносторонний; г) четырехугольник АВСD не является ни трапецией, ни параллелограммом;

д) sin х ≥ 1;

е) погода испортится в субботу или в воскресенье;

ж) треугольнике АВС сумма углов больше 180⁰.

180. Составьте таблицы истинности для следующих высказываний: а) А (В С) ;

б) (А )(В А);

в) А (В );

г) А  (В ).

181. Запишите и докажите:

а) дистрибутивный закон конъюнкции относительно дизъюнкции;

б) дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции.

182. На множестве X учеников заданы предикаты: А (х): «ученик х спортсмен», В (х): «ученик – танцор», С (х): «ученик х любит рисовать».

а) Сформулируйте предикаты А (х)В(х); В(х); А(х)В(х)С(х); А (х).

б) Известно, что элемент х = В принадлежит множеству истинности предиката А(х) ((В(х) С (x)). Охарактеризуйте этого ученика.

в) Докажите, что элемент х = С, который не любит рисовать, не принадлежит множеству истинности предиката А(х) В(х) С(х), где х = С – ученик, который не любит рисовать.

183. На множестве X треугольников задан предикат Р(х): «треугольник х является равносторонним». а) Выявите логическую структуру высказывания «Всякий треугольник является равносторонним» и найдите его значение истинности; б) Сформулируйте высказывания, имеющие структуру: (xX); (х X) ;(хX) Р (х), определите значения их истинности.

184. Известно, что высказывание (х X) А(х) истинно. Следует ли отсюда истинность высказывания (xX) А(х)? Приведите пример.

185. Следует ли истинность высказывания (х X) Р(х) из истинности высказывания (xX) Р(х)? Ответ поясните?

186. Какие из следующих высказываний истинны, а какие – ложны? Запишите эти высказывания на языке логики предикатов.

а) для всех чисел х и у верно х у;

б) для всякого числа х существует такое число у, что х у;

в) для всякого числа у существует такое число х, что х у;

г) существует такое число х, что для всех у верно равенство х у;

д) существует число у такое, что для всех чисел х верно равенство х = 2у;

е) существуют такие числа х и у, что х = 2у.

187. Какие из высказываний, сформулированных в предыдущем задании, истинны, если х и у — натуральные числа?

188. Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) частное любых двух натуральных чисел есть число натуральное;

б) сумма любых двух последовательных чисел кратна 2;

в) всякое число, больше 10, больше 3;

г) любое натуральное число является решением неравенства х >0;

д) некоторые млекопитающие являются хищниками;

е) каждое из уравнений 2х – 8 = 0; х²= 16; x5 = 20; 3x + 8 = 20 имеет корень равный 4.

189. Построить отрицание следующих высказываний и установить, что истинно – само высказывание или его отрицание:

а) (хZ, yZ)x + y = 3;

б) (х,уZ)x3 y3(x + y) 3;

в) (х,уZ)х у у  х  х = у;

г) (х,уN)x7y5;

д) (х,у, zN) xyyzxz.

190. Запишите 5 таких чисел, что:

а) все они кратны 7;

б) некоторые из них кратны 5;

в) некоторые из них не кратны 5;

г) ни одно из них не кратно 3.

191. Пусть Х – множество всех четырехугольников и Р(х), Q(х) иR(x) соответственно обозначают следующие одноместные предикаты: «четырехугольник х – прямоугольник», «четырехугольник х ромб» и «четырехугольник х – квадрат».

Сформулируйте нижеприведенные высказывания и установите их значения истинности: а) (хХ) Р(х); б) (хХ) (Р)(х); в) (хХ) Р(х) R(х); г) (хХ) R(х)Q(х).

192. Даны предикаты: А(х): «х7»; В(х): «х14»;С(х): «х5»; D(х): «х15»; Е(х): «х30». Выяснить, какие из них связаны отношением логического следования.

193. Известно, что утверждения: а) А(х) => В(х); б) В(х) => А(х) истинны. В каком отношении находятся множества Т_Аи Т_В

194. На множестве X = {1, 2, 3, ..., 9} заданы предикаты А(х): «х  9», В(х): «х  5», С(х): «х – однозначное число». Сделайте соответствующие записи и докажите, что на множестве X: а) предикат А(х) логически следует из предиката В(х); б) предикат С(х) следует из предиката А(х).

195. Запишите следующие предложения при помощи символа =>: а) А(х) следует из В(х); б) В(х) следует из А(х); в) из D(х) следует С(х); г) из В(х) следует А(х); д) С(х) следует из D (х); е) из С(х) следует D(х).

196. Докажите, что каждое из нижеприведенных утверждений ложно:

а) если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то четырехугольник ромб;

б) если сумма двух чисел – четная, то оба слагаемые – четные числа;

197. На множестве R заданы предикаты Е(х): «х >11» иF(x): «х² >49».

а) Найдите множества истинности этих предикатов.

б) Выясните, в каком отношении находятся множества T_Еи Т_F.

в) Можно ли утверждать, что F(х) логически следует из Е(х) на множестве R?

198. Выясните, какие из следующих утверждений истинны, а какие ложны:

а) х :3 => х²9;

б) х² = 64 => х = 8;

в) (х – 4) (x + 2) = 0 => (x – 4) (х + 2) (x + 7) = 0;

г) x < 3 => х < 7;

д) х > 40 => x > 20.

199. Какие из следующих утверждений истинны, а какие – ложны?

а) х3 х5  х15

б) х0 х6 х36

в) х6 х8  х48

г) х7 х5  х35

200. Запишите следующие высказывания, используя символ =>:

а) А(х): «х > 5»;

б) В(х): «х² > 25;

в) С(х): «х > 5»;

г) Д(х): «х – 2 >7».

201. На множестве треугольников заданы предикаты Е(х): «в треугольнике x два угла равны» и F(x): «треугольник х – равнобедренный». Докажите, что F(х) следует из Е(х).

Сформулируйте высказывание Е(х) => F(х) с помощью термина:

1) «достаточно»; 2) «необходимо».

202. Сформулируйте высказывания со словом «следует»:

а) равенство диагоналей в треугольнике есть достаточное условие, чтобы четырехугольник был квадратом;

б) перпендикулярность диагоналей в четырехугольнике необходимо для того, чтобы четырехугольник был ромбом;

в) для делимости числа на 45 необходимо, чтобы оно делилось на 5;

г) равенство одного из множителей достаточно для того, чтобы произведение равнялось нулю:

203. Запишите следующие предложения, используя символ => или <=>:

а) для того, чтобы в одном и том же круге дуги были равны, …, чтобы стягивающие их хорды были равны;

б) чтобы четырехугольник был параллелограммом, …;

в) чтобы все его стороны были равны.

204. Вместо многоточия вставьте термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»:

а) для того чтобы произведение двух натуральных чисел делилось на 17, ..., чтобы хотя бы один из множителей делился на 17;

б) для того чтобы разность двух чисел была четной, ..., чтобы обе компоненты вычитания были четными;

в) для того чтобы деление было выполнимо в множестве натуральных чисел, .... чтобы делимое было больше или равно делителя;

г) для того чтобы дерево было вечно зеленым, ..., чтобы оно было хвойным;

205. Выделите условие и заключение в следующих теоремах:

а) если многоугольники равновелики, то их площади равны;

б) если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой;

в) если ас  , то .

206. Сформулируйте следующие теоремы в виде «Если..., то...», выделяя в каждой из них условие и заключение:

а) в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;

б) всякий прямоугольник имеет равные диагонали;

в) равные хорды стягивают равные дуги.

207. Даны теоремы:

а) если точка лежит на срединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов;

б) в ромбе диагонали делятся пополам.

Каждую из них сформулируйте при помощи терминов «достаточно», «необходимо».

208. В следующих теоремах выделите условие и заключение:

а) для того чтобы хАВ, достаточно, чтобы хА ;

б) для того чтобы поступить в институт, необходимо сдать вступительные экзамены хотя бы на 3;

в) для того чтобы в треугольнике АВС медиана ВД была высотой, необходимо, чтобы в треугольнике АВС стороны АВ и ВС были равны.

209. Если произведение двух натуральных чисел есть число нечетное, то их сумма есть число четное.

210. Сформулировать для данной теоремы обратное, противоположное и обратно противоположному утверждения.