лекции по математическому анализу. кубанский государственный аграрный университет мультимедийные лекции
 Скачать 12.08 Mb.
|
Лекция 17.ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА.Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:  Теорема. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения  равняется сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравненияyи частного решения неоднородного уравнения. Для дифференциального уравнения второго порядка, у которого правая часть имеет специальный вид, применяются методы подбора формы записи частного решения  по виду  ,а затем метод неопределенных коэффициентов.Возможны следующие виды :1. Если многочлен n ‒ й степени.  где  ‒ многочлен, той же степени, что и  , но с неопределенными коэффициентами (A, B, C, D…), r‒ число корней характеристического уравнения, равных нулю, то есть r= 0, илиr= 1, илиr= 2.Пример.  Решение:          Подставим в исходное уравнение.      2. Если правая часть уравнения  , где α ‒ любое число, тогда , где r ‒ число корней характеристического уравнения, равных α, то есть r= 0, илиr= 1, илиr= 2.В частном случае  , то  , где A‒неопределенный коэффициент.Пример.  Решение:    3. Если  , aиb‒ действительные числа. ,где r ‒ число корней характеристического уравнения, совпадающих с (если D< 0) и r= 0(если D≥ 0).Пример.  Решение:  D= 0   Ответ:  . |