лекции по математическому анализу. кубанский государственный аграрный университет мультимедийные лекции

• Название: кубанский государственный аграрный университет мультимедийные лекции
• Анкор: лекции по математическому анализу.docx
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 12.08 Mb.
• Имя файла: лекции по математическому анализу.docx
• Тип: Лекции; #6457
• страница: 4 из 21

Лекция 3.ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Числовые последовательности. Пределчисловойпоследовательности.

Пусть каждому натуральному числу nпоставлено в соответствие действительное число x_п. Тогда говорят, что задана последовательность чисел x₁, x₂, x₃, …, x_n, … .

Числа x₁, x₂, x₃, …, x_n, будем называть элементами (или членами)последовательности, x_n–общимчленомпоследовательности. Сокращенно последовательность обозначается .

Например:

1) 1, 3, 5, …, 2n – 1 – арифметическая прогрессия.

d = 2;x_n= 2n – 1; x₁₀₀ = 2 ·100 – 1 = 199.

d =x₂ – x_{1 =} x₃– x₂ = … – разность прогрессии.

2)– геометрическая прогрессия.

q= – знаменатель прогрессии.

x₅=;

3)

x_n= ;

Определение 1. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть существуют числа mиMтакие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам:



Пример:





В противном случаи последовательность {x_n} называется неограниченной.

Пример:

1, 2, 3, …, n – неограниченная последовательность.

Определение 2. Числоa называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого ε> 0найдетсячисло N (номер), зависящее от ε, такое, что для всех натуральных чисел n>Nвыполняется неравенство:



Тогда последовательность {x_n} называется сходящейся,и в этом случае пишут:



Пример:



Для любого















Так как , то

Пусть , тогда .

Следовательно 99.

Например:

, тогда .

Лекция 4.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Пусть функция y =f(x) определена в некоторойокрестностиx₀,кроме, может быть, самой точки x₀.

Определение. ЧислоA называется пределом функцииy =f(x) в точке x₀ (или при х →x₀), если для любого сколь угодно малого числа ε> 0найдетсятакоечисло δ> 0, что для всех х x₀, удовлетворяющих неравенству

│ х –x₀│< δ, выполняется неравенство│f(x) –А│<ε.

Или кратко:

ε> 0 δ > 0, x:│ х –x₀│< δ, х x₀> │f(x) –А│<ε.



Геометрический смысл предела функции заключается в следующем: число , если для любой ε – окрестности точкиAнайдется такая δ – окрестность точки x₀, что для всех х x₀ из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε – окрестности точки А.



Рис. 1

Пример:Доказать, что


Решение. Возьмем произвольное и найдем такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству, , выполняется неравенство, то есть .

Взяв , видим, что для всех x, удовлетворяющих неравенству, , выполняется неравенство , следовательно,


Пусть функция y =f(x) определена в промежутке (–; +).
Определение. ЧислоA называется пределом функцииf(x) при х , если для любого числа ε > 0существуеттакоечисло M = M (ε) > 0, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству │x│>M,выполняется неравенство │f(x) – А│< ε. В этом случае пишут f(x) = А.

Или кратко:

ε> 0 M> 0, │x│ >M> │f(x) –А│<ε.

f(x) = А.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно большойфункцией при х →x₀, если f(x) = .

Определение 2. Функцияf(x) называется бесконечно малой функцией при х →x₀, если f(x) = 0.


Основные теоремы о пределах функций.
Теорема 1. Предел постоянной величины равен самой постоянной:

c = c.

Теорема 2. Пределсуммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

= f(x)φ(x).

Теорема 3.Пределпроизведения двух функций равен произведению их пределов:

= f(x)φ(x).

Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на передел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

,  0.

Теорема 5. (О пределе промежуточной функции) Если в окрестности точки x₀выполняются неравенства:

и = = А, то .