лекции по математическому анализу. кубанский государственный аграрный университет мультимедийные лекции

• Название: кубанский государственный аграрный университет мультимедийные лекции
• Анкор: лекции по математическому анализу.docx
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 12.08 Mb.
• Имя файла: лекции по математическому анализу.docx
• Тип: Лекции; #6457
• страница: 6 из 21

Лекция 6. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

Производная функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции в общем виде:



Производная функции в точке x₀:



Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Пример 1.

y = C; где С = const

∆y = C – C = 0;



Пример2.





Производная степенной функции:







Механический смысл производной связан с производной от пути.

Производная от пути в некоторый момент времени равняется скорости в этот момент времени.

Sʹ (t₀) = U (t₀)или Sʹ_t = U

Sʹʹ (t₀) = Uʹ (t₀) = a (t₀)

Пример 3.

,

t₀ = 1c,

Решение:



U (t₀ = 1) =

Sʹʹ (t) =

a (t₀ = 1) = Sʹʹ (1) = 2 · 1 + 8 = 10 м/с²

Вывод:

Производная – это скорость изменения функции.
Геометрический смысл производной.


Рис. 1



Значение производной функции y = f (x)в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна .



Воспользовавшись уравнением прямой, получим уравнение касательной:



Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Из условия перпендикулярности двух прямых , получим уравнение нормали. Так как



Тогда уравнение нормали имеет вид:



Пример 4.

Найти уравнение нормали и касательной к параболе.



Решение:













– уравнение касательной.









Теорема. Пусть функции и – дифференцируемы в точке x. Тогда:

1) Производная суммы (разности) двух функций:



2) Производная произведения двух функций:



3) Производная частного двух функций:



4) Производная от переменной равна единице:



5) Производная сложной функции

Пусть , тогда является сложной функцией переменной x, а переменную и называют промежуточным аргументом.

Сложная функция– это зависимость двух и более функций друг от друга.

Производная сложной функции находится по формуле:

и

Пример_2_.___Пример_3'>Пример 5.







6) Производная обратной функции

Пусть функция строго монотонна в интервале , тогда для нее существует обратная функция .

Находится по формуле:



Пример 6.



Так как



Аналогично выводятся производные других функций.

7) Производные гиперболических функций.

Гиперболические функции определяются следующими формулами:









Производные гиперболические функции находятся по формулам:

1.

2.

3.

4.

Техника дифференцирования:

Пример 1.







Пример2.





Пример3.







Пример4.