лекции по математическому анализу. кубанский государственный аграрный университет мультимедийные лекции

• Название: кубанский государственный аграрный университет мультимедийные лекции
• Анкор: лекции по математическому анализу.docx
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 12.08 Mb.
• Имя файла: лекции по математическому анализу.docx
• Тип: Лекции; #6457
• страница: 8 из 21

Экстремум функции (исследование функции на экстремум)

Определение. Точка x₀называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x), если существует δ − окрестность точки x₀, такая, что для всех x ≠ x₀ из этой окрестности выполняется неравенствоf (x)< f (x₀),

(f (x)< f (x₀)).

Определение.Значение функции в точках максимума (минимума) называют экстремумами функции (extmax, extmin).



Рис. 3



Рис. 4

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у = f(х) в точкеимеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть

Теорема (достаточное условие экстремума). Если функция у = f (х) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки (кроме, быть может, самой точки ) и при переходе аргументаx через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то ‒ точка максимума; если меняет знак с минуса на плюс, то ‒ точка минимума.

Определение. Точки, в которых производнаяравна нулю или не существует, называются критическими точками функции.

Пример.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.



Решение:

1) D (y) = R, то есть .

2)





Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервалы: (˗∞; 0), (0; 1) и (1; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:

x	(˗∞; 0),	0	(0;1)	1	(1;+∞)
	˗	0	˗	0	+
y		нет экстр.		min

Из таблицы видно, что в точке х = 0 нет экстремума, а х = 1 ‒ точка минимума. Минимум этой функции равен:

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной.

3) y(0) = 5, (0; 5) ˗ точка пересечения с OY.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b], либо на границе отрезка.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] необходимо:

1)найти критические точки функции в интервале (a, b);

2)вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x= а и х = b;

4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [0; 3].

Находим критические точки:

Эти точки лежат внутри отрезка [0; 3]; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

в точке x = 3 и в точке x = 0.