лекции по математическому анализу. кубанский государственный аграрный университет мультимедийные лекции
 Скачать 12.08 Mb.
|
Лекция 8. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА.Функцию, восстанавливаемую по ее производной или дифференциалу, называют первообразной. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка F'(x) = f(x) или, что тоже, dF(x) = f (x)dx Например, F(x) = sinx является первообразной дляf(x) = cosx на всей числовой оси OХ, так как (sinx)' = cosx Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на [a;b], то функцияF(x) + С, где Cлюбое действительное число, также является первообразной для f(x)при любом значении C. Действительно (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x). Пример.  тогда  Определение.Если F(x) одна из первообразных для функции f(x) на [a;b], то выражение F(x) + С, где C произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функцииf (x) и обозначается символом ʃ f (x) dx (читается: неопределенный интеграл от f(x) на dx). Итак, ʃf(x)dx = F(x) + C , где f(x) называется подынтегральной функцией,f(x)dx‒ подынтегральным выражением, x ‒ переменной интегрирования, а символ ʃ‒ знаком неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.Из определения неопределенного интеграла следует, что: 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:  Действительно, F'(x) = f(x) и ʃ f(x) dx = F(x) + C. Тогда  2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению  Действительно,  3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная:  Действительно, F'(x) = f(x). Тогда,  4. Неопределенный интеграл от дифференциала равен дифференцируемой функции плюс произвольная постоянная:  .Действительно,  . Тогда, .5. Постоянный множитель k (k ≠ 0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:  6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:  Назовем график первообразной F(x)интегральной кривой. График любой другой первообразной F(x) + Cполучается параллельным переносом интегральной кривой F(x) вдоль оси OY. Пример.    Таблица основных интегралов                    |