В.К.Багазеев Основы горной геомеханики. Курс лекций Екатеринбург, 2021 удк 622. 831 Рецензенты Зотеев О. В. Вандышев А. М
 Скачать 4.36 Mb.
|
|
4.2. Представление напряжений в полярной системе координат В предыдущих лекциях мы представляли графически напряжения в прямоугольной (Декартовой) системе координат. Положение точки на плоскости определяется двумя координатами  , в трехмерном пространстве тремя координатами   . Во многих случаях, когда тело ограничено поверхностями кругового цилиндра и родиально нисходящимися плоскостями, плоскую задачу удобно рассматривать в полярной системе координат, в которой координаты точки определяются величиной полярного радиуса r и полярного угла θ (рис. 4.3).  Рис.4.3. Координаты точки М в прямоугольной системе координат x, y и в полярной системе r и θ Совместив полюс полярной системы координат (r, θ) с началом декартовой системы координат (  а полярную ось абцисс – с осью абцисс (рис.4.3), нетрудно установить связь между координатами произвольной точки M в этих двух системах координат:  ;  г .Обратные зависимости имеют вид  = ;   .Связь между напряжениями в декартовых и полярных координатах проследим на графиках (рис. 4.4):  Рис. 4.4. Напряжения на гранях призмы АВ: а – перпендикулярно полярному радиусу б – параллельно полярному радиусу.  после преображений  Сложив почленно первые две из формул 4.5 или 4.6, получим подтверждение известного свойства первого инварианта тензора напряжений при двухосном напряженном состоянии:  где  ,  – нормальные напряжения в прямоугольных координатах;  – нормальные родиальные;  нормальные тангенциальные напряжения в полярных координатах;   касательные напряжения в прямоугольных координатах;  касательные напряжения в полярных координатах.4.3. Расчет напряжений вокруг круглого ствола шахты Рассмотрим напряжения в поперечном сечении незакрепленного шахтного ствола круглой формы. Решение подобной задачи проведено в курсе сопротивления материалов в полярной системе координат (рис. 4.5)  Рис. 4.5. Напряженное состояние: а – кольца́; б – вокруг ствола шахты Получено уравнение (рис. 4.5. а)  Чтобы получить напряжения вокруг ствола (рис.4.5. б), в формуле (4.5) необходимо устремить внешний радиус кольца  к бесконечности, где  исходное напряженное состояние массива, можно для вертикального ствола принять  , Па;  коэффициент бокового распора (0 ; отпор крепи, Па; радиус выработки, м;где Р исходное напряженное состояние массива, для вертикального ствола шахты Р= коэффициент бокового распора,  удельный вес пород,  глубина рассматриваемого сечения ствола, отпор крепи, радиус выработки,  текущий радиус (расстояние от центра ствола до рассматриваемой точки), м. Для незакрепленного ствола:   Проанализируем важные закономерности распределения вокруг незакрепленного ствола (рис. 4.6): напряжения не зависят от упругих постоянных; на контуре  , концентрация  максимальна  Р=2, т.е. удваивается и не зависит от размеров ствола; напряжение и по мере роста быстро стремятся к  ; максимальное касательное напряжение  , вызывающее разрушение пород, быстро снижается до нуля и на расстоянии  равно только 11 % от его значения на контуре.  Рис. 4.6. График изменения напряжений вокруг ствола Напряжения вокруг сферической выработки в гидростатически нагруженном массиве   Эти формулы пригодны для приближенной оценки напряжений вокруг камер, сопряжений, забоев выработок. Лекция 8 4.4. Распределение напряжений вокруг горизонтальной выработки круглого сечения Решения о распределении напряжений вокруг горизонтальной круглой выработки получены также как и для ствола в полярной системе координат  . При одноосной нагрузке  в массиве пород (под которой понимаем первоначальное вертикальное нормальное напряжение) вокруг выработки действуют нормальные тангенциальные («окружные»), радиальные (по радиусу )напряжения и касательные напряжения   Рис. 4.7. Схема к расчету напряжений вокруг выработки круглого сечения при действии равномерно распределенной нагрузки Р: а – радиус выработки; r– радиус-вектор до рассматриваемой точки; θ – угол между радиус -вектором и направлением действия нагрузки. Величина напряжений в обозначениях рис. 4.7. рассчитывается по формулам: нормальные радиальные и тангенциальные   (4.12) касательные Коэффициент концентрации тангенциальных нормальных напряжений на контуре при и одноосной нагрузке  (4.13)  Например: в стенках выработки при одноосной нагрузке  , В приконтурной верхней части выработки радиальные напряжения меняют знак (на растяжение), коэффициент концентрации при  достигает  .Поскольку один из размеров подготовительных и капитальных выработок (обычно длина) во много раз превышает два других, объемная задача по вычислению напряжений и перемещений вокруг горизонтальной выработки сводится к плоской, т. е. к рассмотрению напряжений и перемещений вокруг поперечного сечения выработки. 4.5. Распределение напряжений вокруг горизонтальной горной выработки в упругой среде при двухосной нагрузке Под действием двух ортогональных нагрузок  компоненты напряжений определяются по формулам:   С учетом, что при гравитационном напряженном состоянии  при  ;  ;  (рис. 4.8). Формулы можно записать в следующем виде: нормальные напряжения (4.15)  касательные напряжения Большое значение имеют напряжения на контуре выработки, т. е. при : Соответствующий коэффициент концентрации напряжений   Рис. 4.8. Напряжения вокруг круговой горизонтальной выработки: а – радиус выработки, r – текущий радиус от центра под углом θ к горизонту, σr – нормальные радиальные напряжения, σθ – нормальные тангенциальные напряжения, Р – вертикальная нагрузка, λР – горизонтальное давление 4.6. Эпюры напряжений вокруг технологических выработок Концентрация напряжений в массиве вокруг выработок зависит от глубины их размещения, от величины вертикальных  и горизонтальных  нагрузок, их соотношения  формы и размеров выработок на рис. 4.9-4.11 приводятся эпюры напряжений вертикальных  горизонтальных  их суммы  нормальных тангенциальных напряжений. Рис. 4.9. Эпюры вертикальных σz, горизонтальных σx, и сумма σz + σxнапряжений на контуре сводчатой и трапециевидной формы поперечного сечения При гидростатическом напряженном состоянии, когда давление Р одинаково λ=1, на контуре выработки сжимающее напряжение σθ = 2Р, коэффициент концентрации напряжений Кσ=2 (рис.4.10).  Рис. 4.10. Распределение напряжений на контуре выработки при λ=1: а – эпюра, б – график, d – диаметр выработки При гравитационном напряженном состоянии (при  напряжение в кровле и боках выработки существенно различны. В районе кровли около 90 %) появляется область напряжений обратного знака  область растягивающих напряжений. Сжимающие напряжения принимают большие значения в боках выработки (рис. 4.11). Рис. 4.11. Распределение напряжений на контуре круглой выработки при 0˂λ˂1 П  ри естественном поле напряжений  (коэффициент Пуассона  максимальный коэффициент концентрации напряжений   Рис. 4.12. Распределение напряжений вокруг круглой выработки в естественном поле напряжений (λ=0,25) При действии гравитационно-тектонических сил при  максимальные концентрации напряжений наблюдаются в кровле горизонтальных выработок, а коэффициенты концентрации напряжений составляют  при  и  при  На расстоянии  от контура величина напряжений вокруг выработки снижается и до величины естественного напряжения. Это расстояние называется радиусом влияния выработки.Вычисления по формулам показывают, что для условий гидростатического напряженного состояния нетронутого массива уже на расстоянии (где d = 2α) значения и тангенциальных и радиальных составляющих отличаются от соответствующих компонент напряжений в нетронутом массиве не более чем на 5 %. Для других условий нагружения наблюдаются существенные различия в скорости затухания напряжений и по мере удаления от контура выработки. При этом, как правило, быстрее затухают те компоненты, которые имеют большие коэффициенты концентраций на контуре.Так, при наиболее быстро затухает тангенциальное напряжение в стенке выработки, уже на расстоянии  от контура оно отличается на 5 % от значения такового в нетронутом массиве. Остальные компоненты (в том числе и в кровле) затухают медленнее и указанного уровня достигают лишь на расстоянии  |