Мет.указания по лабораторным работам. Лабораторная работа 1. 3 Основы теории погрешностей 3 Лабораторная работа 2. 11 Основы теории погрешностей 11

• Название: Лабораторная работа 1. 3 Основы теории погрешностей 3 Лабораторная работа 2. 11 Основы теории погрешностей 11
• Дата: 27.04.2023
• Размер: 0.72 Mb.
• Имя файла: Мет.указания по лабораторным работам.docx
• Тип: Лабораторная работа; #1093112
• страница: 8 из 14

Лабораторная работа №9.

«Численное решение алгебраических проблем собственных значений»

Цель: Изучить методы нахождения собственных значений матрицы.
Задание:

1. 
   Найдите наибольшее по модулю собственное число и соответствующий ему собственный вектор.
   
   1. 
      Степенным методом
      
   2. 
      Методом скалярных произведений
      

(В качестве начального взять вектор [1,1,1,1] или [1,0,0,0])

2. 
   Решить полную проблему собственных значений методом вращения Якоби;
   
3. 
   Используя среду MatLab проверить вычисления;
   

Варианты заданий:

№ варианта	Матрица А

Теоретический материал:

Рассмотрим матрицу в n - мерном вещественном пространстве векторов

.

1. Собственным вектором матрицы A называется ненулевой вектор, удовлетворяющий равенству

,

где - собственное значение матрицы A, соответствующее рассматриваемому собственному вектору.

2. Собственные значения матрицы A с действительными элементами могут быть вещественными различными, вещественными кратными, комплексными попарно сопряженными, комплексными кратными.

Степенной метод:

РМ-алгоритм.

Шаг 1. Ввести -матрицу А, задать -мерный вектор , вычислить и вектор ; положить .

Шаг 2. Вычислить вектор .

Шаг 3. Вычислить и .

Шаг 4.Вычислить отношения (координат векторов и ) при таких, что , где - некоторое задаваемое малое число (допуск).

Шаг 5. Подвергнуть числа тесту на сходимость.

Если обнаруживается совпадение требуемого числа знаков в и ( можно задавать произвольно), то работу алгоритма прекратить и за старшее собственное число принять усредненное (по ) значение , а за нормированный старший собственный вектор -вектор .

В противном случае – вернуться к шагу 2.

Метод скалярных произведений:

SP-алгоритм.

1. 
   Ввести: данную симметричную -матрицу А, произвольный -мерный начальный вектор , малое число (определяющее допустимую абсолютную погрешность искомого собственного числа ), число для начального сравнения (например, 0). Положить (счетчик итераций).
   
2. 
   Вычислить скаляры , и вектор .
   
3. 
   Вычислить (итерация нормированного вектора).
   
4. 
   Вычислить: и (скалярные произведения), , (приближение к нормированному собственному вектору), (приближение к собственному числу ).
   
5. 
   Если , положить и вернуться к шагу 3, иначе завершить работу алгоритма, считая , .
   

Метод вращений Якоби

Метод вращений Якоби применим только для симметрических матриц ( ) и решает полную проблему собственных значений и собственных векторов таких матриц. Он основан на отыскании с помощью итерационных процедур матрицы в преобразовании подобия , а поскольку для симметрических матриц матрица преобразования подобия является ортогональной ( ), то , где - диагональная матрица с собственными значениями на главной диагонали

.
Пусть дана симметрическая матрица A. Требуется для нее вычислить с точностью все собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Алгоритм метода вращения следующий:

Пусть известна матрица на k–й итерации, при этом для k=0 .

1. Выбирается максимальный по модулю недиагональный элемент матрицы ( = ) .

2. Ставится задача найти такую ортогональную матрицу , чтобы в результате преобразования подобия произошло обнуление элемента матрицы . В качестве ортогональной матрицы выбирается матрица вращения, имеющая следующий вид:

,

В матрице вращения на пересечении й строки и го столбца находится элемент где - угол вращения, подлежащий определению. Симметрично относительно главной диагонали ( -я строка, -й столбец) расположен элемент ; Диагональные элементы и равны соответственно , ; другие диагональные элементы остальные элементы в матрице вращения равны нулю.

Угол вращения определяется из условия :

причем если то .

3. Строится матрица



в которой элемент

В качестве критерия окончания итерационного процесса используется условие малости суммы квадратов внедиагональных элементов:



Если то итерационный процесс



продолжается. Если , то итерационный процесс останавливается, и в качестве искомых собственных значений принимаются .

Координатными столбцами собственных векторов матрицы в единичном базисе будут столбцы матрицы т.е.



причем эти собственные векторы будут ортогональны между собой, т.е.

Пример решение проблемы собственных значений в среде MatLab:

Поиск ненулевых решений системы АХ=λX в среде MatLab реализуется командами d=eig(A) или [X,d]=eig(A), где d - диагональная матрица собственных чисел, Х –матрица из нормированных собственных векторов. Например, задав матрицу

	1	2	3
A=	1	4	9
	1	8	27

командой [R,D]=eig(А) получаем:

R =

0.8484 0.7163 -0.1198 -0.5150 0.6563 -0.3295 0.1222 -0.2371 -0.9365

D=

0.2179 0 0 0 1.8393 0 0 0 29.9428

Возьмем другую матрицу

	13	16	16
A=	-5	-7	-6
	-6	-8	-7

с известными собственными значениями –3, 1, 1. Выполнив ту же команду [R,D]=eig(А), получаем:

R =

0.8265 0.0000 - 0.8729i 0.0000 +0.8729i -0.4082 -0.0000 + 0.2182i -0.0000 - 0.2182i -0.4082 -0.0000 + 0.4364i -0.0000 - 0.4364i

D=	-3.0 0 0 0 1.0000 + 0.00000003087268i 0 0 0 1.0000 - 0.00000003087268i

Обратите внимание на эффект погрешности (мнимая часть у ряда компонент собственных векторов весьма велика). Поэтому при значительных размерностях и особых случаях (кратные и близкие собственные значения) проверка качества поиска весьма желательна (достаточно проверить на близость к нулю значений A*R-R*D).
Содержание отчета:

1. 
   Титульный лист.
   
2. 
   Цель лабораторной работы.
   
3. 
   Исходные данные, указываемые в задании и необходимые для достижения поставленной цели.
   
4. 
   Расчетная часть: описание выполнения задания
   
5. 
   Проверка результатов в среде MatLab.
   
6. 
   Выводы и анализ полученных результатов.
   

Контрольные вопросы:

1. 
   Что такое собственное число матрицы и как оно вычисляется?
   
2. 
   Что такое собственный вектор и как он находится?
   
3. 
   В чем суть степенного метода;
   
4. 
   Алгоритм вычисления собственного значения и собственного вектора матрицы методом скалярных произведений;
   
5. 
   Метод вращений Якоби численного решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц
   
6. 
   Какими командами реализуется поиск ненулевых решений системы АХ=λX в среде MatLab;