задание для работы. Кон-т_TOE_ВО_compr. Лекция 11 постоянный ток

• Название: Лекция 11 постоянный ток
• Анкор: задание для работы
• Дата: 13.02.2023
• Размер: 257.88 Kb.
• Имя файла: Кон-т_TOE_ВО_compr.docx
• Тип: Лекция; #934688
• страница: 13 из 21

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

1. 
   Переходные процессы в простейших цепях. Нулевые началь­ные условия
   

Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного установившегося режима работы электрической цепи к дру­гому^ чем-либо отличающемуся от предыдущего, например величи­ной амплитуды, фазы, частоты или значениями параметров схемы.

Коммутация это процесс замыкания и размыкания выключате­лей. Переходные процессы обычно являются бысгропротекающими; длительность их составляет десятые, сотые, а иногда даже милиарные доли секунд. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд.

Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода электрической системы от одного энергетического состояния к другому, то есть это процесс перераспределения энергии между эле­ментами цепи.

Рассмотрим переходный процесс в простейшей цепи с источни­ком напряжения, индуктивностью и сопротивлением, соединёнными последовательно.

Пример: (£ = 100В, R - 100 Ом, L =0,4Гн ). Определим ток в цепи. Для этого запишем второй закон Кирхгофа для цепи после коммутации:

Ri(t) + L—-Е.
dt

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение первого по­рядка с постоянными коэффициентами. Общее решение i(t) такого уравнения записывается в виде суммы двух составляющих общего решения однородного уравнения z_ov(/)h частного решения неоднород­ного уравнения 1_Ч||(/)

¹(0='о.р(0 + »ч.н(0

Общее решение однородного уравнения легко найти разделив пе­ременные и осуществляя следующую последовательность действий:

г» ч т di ' г. ./ ч г di R , di

R • i (t) + 7L — — 0 —> R • i (j) -——L— —> dt —

dt dt L i(t)

_r

- — / ln(e)+ln(^) = ln(z) -> i_op(t) = Ae ^L .

Частное решение неоднородного уравнения это любое уравнение которое удовлетворяет уравнению, и его легко угадать, посмотрев на уравнение:

R-i(t) + L^-E,
dt

и если предположить, что ток постоянный то мы получаем:
R-i(t)+lJf = E -+ /_чи =Л

/ dt R

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравне­ния в виде:

Е
'(О-'о.рСО+'ч.нС/)-^ ^L +-.

Константу интегрирования А находим из начальных условий. В схеме до коммутации ключ был разомкнут и поэтому ток в цепи отсут­ствовал. Следовательно, мы можем записать:

i(0) = л + — -» А = —.

R R

Запишем окончательное выражение для тока:

Е Е е(

i(t) — е ^L ч— — — 1 — е ^L

R RR

k 7

В электротехнике общее решение однородного уравнения i_oу(/) на­зывают свободной составляющей i_cn(t) - A-e^pt, потому что эта состав­ляющая нс зависит от источника энергии внешнего воздействия. То есть она свободна от внешнего влияния и зависит от параметров цепи.

Частное решение неоднородного уравнения 1_{Ч Н}(/) в электротехнике называют принужденной составляющей i_np(/)« О^на зависит от источни­

ка энергии и полностью повторяет его функциональную зависимость от времени с неким коэффициентом пропорциональности. Например, если источник энергии постоянный, то принуждённая составляющая будет постоянной. Если источник энергии имеет синусоидальный вид, то и принуждённая составляющая будех иметь синусоидальный вад.

Если обрати ть внимание на решение то можно заметить, что свободная

составляющие бысгро затухает из-за наличия отрицательного сомножи­теля в показателе экспоненты /_св(/) =

рактеризует переходный процесс. Постоянную р = называют кор­


I L т - — - — \Р\ R


нем характеристического уравнения, а обратную её величинуназывают постоянной времени, (это время за которое ток

уменьшается в с = 2.71 раз, с'¹ = 0,367) После быстрого затухания сво­бодной составляющей остаётся только принуждённая составляющая это означает, что наступил установившийся процесс установившийся ре­жим работы цепи. Таким образом, можно сказать, что при установив­шемся режиме искомая величина (ток или напряжение) равна своей принужденной составляющей. Например, для нашего примера это мож­но записать так:

»•('=«)

Теперь, решим задачу используя физические соображения. Итак, величина искомого тока буде! состоять из суммы двух составляющих свободной и принужденной, первая из которых бысгро затухает и имеет экспоненциальный вид, а вторая повторяет форму внешнего воздейст­вия:

»(О-«с_В(') + 'пр-^'^+гпр-

Находим принуждённую составляющую в схеме после коммутации при / - оо,считая, что индуктивность является закороткой

/(/=оо) = / - —.

1. 
   ^{7 пр} R
   

Затем, используя начальные условия, находим константу интегрирова­ния А

i(Q) = A + — А--—.

R R

Записываем полученное решение

Ф)=’с_в0) + ^пр = ^'+'пр-

Теперь осталось найти корень характеристического уравнения р.

Корень характеристического уравнения находится через входное сопро­тивление схемы. Если сделать замену р-ръ и поставить в выражение доя сопротивления схемы то можно получить:

+ -> /? + Zp=0 = Z(p);

Z(co) - ycoZ.+ /?-О —> р--—.

L

Из которого легко получить корень характеристического уравне­ния. Приведем графическую зависимость результата

£f 4)

z_£(/) = — 1-е ¹ .

^L R

\ 7

Напомним, что напряжение на индуктивности определяется выражени- см и, (t)-L .

^L dt

Ток индуктивности Напряжение индуктивности

Рис. 4.2

Запишем последовательность действий для решения задачи на переходный процесс:

1. 
   Записываем решение в виде свободной и принужденной состав­ляющих
   

'(/) - '„(О + 'пр - ^Лс'^Р' + '(°⁰) ИЛИ »(0 = «св W + «пр - ^иеР' + «0^х) •

2. 
   Определяем принужденную составляющую в схеме после комму- тации и_пр = и(оо) или г_пр = г(оо)
   
3. 
   Определяем корень характеристического уравнения р через входное сопротивление Z(p) =0, в схеме после коммутации.
   
4. 
   Определяем константу интегрирования А из начальных условий.
   

Записываем окончательное решение и строим график.






Z(p)

/соС

+ Я +/? = 0-> р =

RC

4. 
   Находим константу интегрирования А из начальных условий. До коммутации ключ был разомкнут, и напряжение на конденсаторе от­сутствовало
   

и_с(0) = Я+£ = 0 -> А = -Е.

4. 
   Записываем окончательный результат:
   

1



--Ее ^RC +E = E \-e ^RC

«с<0-«_св(0 + %
—i

II • / X

Находим ток, через конденсатор, используя выражение z_r(/) = С—-— dt




JL_e RC¹ RC

Е “ ^z

RC

R



C i роим графические зависимости тока и напряжения для конден­сатора.

Напряжение на емкости

Рис. 4.4

§4.2 Классический метод расчета переходного процесса. Первый и второй законы коммутации. Понятия о зависимых и независимых начальных условиях

До сих пор мы рассматривали относительно простые задачи пере­ходного процесса с независимыми начальными условиями это задачи на определения тока переходного процесса через индуктивность и на­пряжения переходного процесса на ёмкое!и. Задачи определения тока переходного процесса через сопротивление или через источник напря­жения решаются сложнее. Для понимания сложных переходных про­цессов очень важно понимать, что такое зависимые и независимые на­чальные условия. Начнем рассмотрения этих понятий с первого и вто­рого законов коммутации.

В электрической цепи, нс может быть мгновенного изменения на­копленной в электрических и магнитных полях энергии

^(0-)=|Г(0+) = 1Г(0).

Так как энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля индуктивной катушки равны соответственно это означает, что в момент коммутации остаются неизменными напря­жения на обкладках конденсатора и токи в индуктивных катушках. Для перераспределения энергии требуется время это процесс инерцион­ный, нс мгновенный. Поэтому существуют два закона коммутации.

Первый закон (правило) коммутации - ток через индуктив­ность непосредственно до коммутации i_£(0-) равен току через ин­дуктивность после коммутации /_£(0+):

i_£(0-) = 4(0+) = i_£(0). (*)

Второй закон (правило) коммутации - напряжение на ёмкости непосредственно до коммутации и_с(0-) равно напряжению на ёмко­сти после коммутации м_с(0+):

u_c(0-) = u_r(0+) = a_c(0). (**)

Это есть независимые начальные условия. Независимыми они называ­ются потому, что независимо от того до или после коммутации мы их наблюдаем, они всё равно одинаковы и равны, и поэтому знаки и + в выражениях (*) и (**) опускают. Важно помнить, что независимые на­чальные условия определяются в схеме до коммутации. Таким обра­зом, существует только два независимых начальных условия это на­пряжение на конденсаторе и ток через индуктивность.

Иначе дело обстоит с зависимыми начальными условиями, напри­мер с током через ёмкое! ь или с током через источник напряжения:

i_c(0-)\i_c(0+), _г-_£(0-)\/_£.(0+).

или с напряжением на индуктивности или на источнике тока: m_i(0-)4w_£(0+), м₇(0-)\ы₇ (0+).

Зависимые начальные условия могут изменятся скачком непосред­ственно до и после коммутации. То есть их значения «зависят» от того наблюдаем мы их до или после коммутации. Зависимые начальные ус­ловия определяются в схеме после коммутации. (При этом в после- коммутационной схеме ёмкость заменяется на источник напряжения равный величине м_г(0) и направленный против ёмкостного тока, а ин­дуктивность заменяется на источник тока равный /_£(0) и направлен он по индуктивному току).

Запишем последовательность действий для определения зависи­мых начальных условий:

1. 
   Определяем независимые начальные условия в схеме до комму­тации ток через индуктивность/^(0) и напряжения на конден­саторе м_с(0).
   
2. 
   Заменяем в схеме после коммутации индуктивность £, источ­ником тока равным значению /_£(0), а емкость С источником на­пряжения равным значению м_г(0).
   

Далее находим интересующие нас зависимые начальные условия.

Теперь можно приступить к решению примеров с зависимыми и незави­симыми начальными условиями.

Пример:

Определить независимые и_г(0) и зависи­мые начальные условия i_K(0+), f_c(0+) для заданной схемы, если заданы величины: Е = 50 В. R = 1 ООм, С = бОмкФ.











«с(°) = т

25В.

Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации заменяем при этом ёмкость на источник напряжения:

i_E(0+) =

Е-и_с(0) Е-Е/2

А₌М₌₂.5А.

2R 20

i_E(0+) - = 2,5 - 5 - -2,5А.

Пример: Определить зависимые и j (0+), u_L (0+) и независимые /_£(0) начальные условия для за­данной схемы:

J =2А,/? =100м,£ = 0,1Гн.

Определяем независимые началь­ные условия в схеме до коммута­ции: /_£(0) = у = 1А.

Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации заменяем при этом заменяем индуктивность на источник тока равный i_£(0)=J/2 = lA.



Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутации:u,(0+)- J/? + — —-2-10+1-5-25В

⁷ 2 2

и, (0+) = -/?—-= 1-10-1-5 = 5B

в Mathcad

4) Определяем напряжение на индуктивности U(t):

u(t)Т/—i(t) u(t) = p-A-e^{p 1} = -^-L— -e^{p 1} = -Ee^{P 1} dt L R1



t

Puc. 4.11

Пример-2.

Ищем решения в виде:

u(t) = ucB(t) + unp = Ae^{f 1} + unp

1. 
   inp определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации : цпр :=Е unp 20 unp := F
   
2. 
   из ИНУ определяет константу интегрирования А в схеме до коммутации : u(-0) = и(0) = 0 = А + unp Aj- -imp А - -20
   
3. 
   Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации :
   

Z=RI+ — = Ср:- — Р--1.667Х10³

р-С ** RI-C

4. 
   Записываем окончательное решение и строим график i(t):
   

uft) Л-е^{Р 1} + unp т-Д- Т“6х 10 ⁴ t0, т-0.5.. 4 т

|р|

up) :=-F. e^p * + Е

4) Определяем напряжение на индуктивности U(t):

С = 6х1(Г⁵ i(t) := С —u(t) i(t) = С-р Л-е^Р ‘ СЕе^р ‘ = — -е^Р ’ dt CRI R1

и » “"Е p-t

t

					R2	Ri L
	"Гример- Гщем рс i(t) = icB(t inp on inp. RI- из HH i(-0) = i(0 Корен хле komn Z = RI + Запис A e1 t:= O,tOJ = 0 0.0033 0.0067 0.01 0.0133 0.0167 0.02 0.0233 0.0267	1 ШС ) + pc; E 4- R У ) = b X fyr R2 ЫВ< ?t j..4	ПИЯ в в inp = A- 1СЛЯСТ - inp - апреле; E R2+ — 2 арактс] ации: + p-L = гем око hinP £ 1(0 = 0.4 0.505 0.569 0.607 0.631 0.645 0.653 0.659 0.662	Puc. 4.15 иде: p t e + inp 1ринуждённую составляющую схеме после коммутации: 0.667 1яет константу интегрирования А в схеме до коммутации: •— = А + А : — inp А - -0.267 2 RI + R2 RI 2 R2+ — 2 мистического уравнения через входное сопротивление схеме по- 0 RI + R2+x-Lsolve,х -+-150 -150 нчатсльное решение и строим график i(t): :=-Дг т = 6.667х ю“3 |р|