задание для работы. Кон-т_TOE_ВО_compr. Лекция 11 постоянный ток

• Название: Лекция 11 постоянный ток
• Анкор: задание для работы
• Дата: 13.02.2023
• Размер: 257.88 Kb.
• Имя файла: Кон-т_TOE_ВО_compr.docx
• Тип: Лекция; #934688
• страница: 15 из 21

t =

0

0 001

0.002

0 003

0.004

0 005

0 006

0 007

0.008

0 009

0.01001

0.01101

0.01201

0.01301

001401

0.01501

П) =

-0.156

-0.206

-0.227

-0.219

-0.183

-0.124

-0 049

0.036

012

0.196

0.255

0.291

03

0.282

0.237

0.171



Рис. 4.36

§4.4 Переходные процессы в цепи второго порядка

Рассмотрим цепь второго порядка представленную на рис. 4.37 с параметрами: Е = 50В, R - 1 ООм, L = 0.1 Гн, С - 40мкФ.

Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференциальных уравнений:

+и_с+/•_/? =£* —> L — + Ri + u_c=E. i = C—;


Первое слагаемое это и_св = 4 -ехр(/>|/) + А₂ ехр(р₂О^св°бодная со­ставляющая. Она зависит только от параметров схемы, а также от на­чальных и конечных запасов энергии. Эта составляющая решения не за­висит от формы воздействующего напряжения.

Второе слагаемое это w_w/, = u_c(oo) принуждённая составляющая. Она зависит от внешнего воздействия и имеет форму этого воздействия. Очевидно, что в нашем случае она определяется как u_lip = i/_c(oo) - Е.

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, отражающих невозможность мгновенного изменения начальных запасов энергии в конденсаторе и в катушке.

Для определения констант интегрирования используем независи­мые начальные условия и_с(0) = 0, i_L(0) = 0.

м^(0) — 0 — /4| + А₂ + Е\ / к z_A(O)-f^(O+)-C^-O = C'(^_lp₁ + Л₂р,).

dt

Откуда следует, что

. (4)

P₂Pl P2Pl

Теперь можно записать окончательное решение

и_г(0 = —ехр(р/)+ ^Р,£ exp(p₂t)+E = ———(-р₂е^р1 + р,е^А' )■

Р2-Р1 Р2-Р1 “ Р2Р\

Определим корни характеристического уравнения входящие в решение u_c\t) Р\^ Р2 через входное сопротивление схемы.

1 CL • р + RC• р +1 _А 2 п/> 1 _Л /с\

pL + н R — — 0 —> CL - р 4- RC • р 4" 1 — 0. (5)

Ср Ср

В результате решения уравнения получаются корни:

-h±4o -RC±J(RC)²-4LC R If R f Г

^1,2 2а 2CL 2L LC (6)

г- о 1

Где о = — показатель затухания контура, со_о - - .— угловая часто-
та незатухающих колебаний, при выполнении условия (Oq > б² имеем

Здесь со_Г6, частота свободных колебаний,

Корни уравнения определяются параметрами цепи и могут прини­мать следующие возможные значения (рис. 4.38).

Дискриминант равен нулю. Кони вещественные, отрицательные и _{тг с} R

кратные. Критический режим р^ ₂ =“'О = - —

u_c(/) = £(l + 8/)e"⁵' + Е.

• Дискриминант положительный. Корни вещественные отрицатель­ные и неравные. Апериодический режим р_{} 2} = -6± Jb² -со^ ;

U_c (0 = —/ ^Е (Р\ ^еР:‘ - Р-> ^qP}> ) + С.

• Дискриминант отрицательный. Корни комплексно-сопряжённые, с отрицательной вещественной частью. Колебательный режим

=-d±j(0„.


u_c(t)-Ee-⁶'
_cos(w,,60 + Sin(w_rsr) + E .




p₁₌p₂=-6

+1

“ ^св

Puc. 4.38. Расположение корней на комплексной плоскости.

Примеры определения корней характеристического уравнения в
Mathcad



-456.2341361360570100)

-182.6547527528318788^
R 10 С:=60-10 ⁶ L:=0.2

(R+Lp)-2R I , p : + + R solve ,p —►

R+Lp+2R Cp









(R+ Lp)-2 R J_

R + E-р + 2-R {"'’P

2 2

5 R С р + 3 R Ср L + 3R+ Lp

(3-R + Lp)Cp

Р“

-456.234")

-182.655)

С- 100 ю ⁶

L:=0.1







_Л (R+LP)R I

P := +

R+LP+R CP

R solve, Р —>

(-275) - 156.12494995995995515

.(-275) + 156.1249499599599551Н




Р-

-275- 156.125

-275 + 156.125iJ

(R+LP)R I

+ + R

R+LP+R CP

3R²CP + 2R-C P²L+ 2-R + LP

(2R+ LP)CP


Примеры определения корней характеристического уравнения и
зависимых и независимых начальных условий

Пример: Определить независимые/} (0),(/_с(0) и зависимые начальные
условия (/_£(0+),/_с(0+). Определить корень характеристического урав-




²2Я₊^Д

2

(У_С(О) = /_£(О)Я = -.
_{1 .Определяем независимые начальные условия /}(0)5}С/_с(0).

2.
Определяем зависимые начальные условия (7_Z (0+),/’_с(0+) из схемы после коммутации (см. документ Mathcad).


3.
Определяем корень характеристического уравнения из схемы после коммутации (см. документ Mathcad).

Документ Mathcad

ORIGIN:= 1

АААЛАЛААЛЛАА

Определи гь напряжение па конденсаторе.

Е?= 100 R 10 L:- 0.1 Г;-5010⁶

Е 2R(Lp + R) I

U_nD := - Z р) := — + R +

^пр 3 З-R + bp Ср

Корни характеристического уравнения

solve,р Г(—416.62)-162.451'


р •- Z(p)


float, 5


(-416.61) + 162.45i_


' -416.67- 162.45^

_ч -416.67+ 162.451J

Независимые начальные условия ^Е п ^Е '^Lo 1R ^Ьс0‘ 2

Зависимые начальные условия

^Е“ ^иС0⁺ *Lo*^r ’Lo"^{5 U}C0"⁵⁰ ’R0“ ⁱCO^:"^,RO"^,Lc

Пос гоя иные интегрирования

- I ( ^иС0" ^ипр


^<АП

Л)


р.ЗЗЗ-81.2211^
t 8.333+ 8l.22liJ


со - 162.45 U_np - 33.333

	ч । y 1	*Lo *np
		UL0 । < L J

^цсо+ 'Lo^R 2R


^UL0^ ^F“ ‘R0^R


pit pj-t

i(t):=A_re + Aye ‘


t = 3.O31x 10 ³ t:-0,0.0l-T..T-IC

I

|Rc(_P)|


-0.417 + 0.716i>

-0.417-0.7l6iJ

§4.5 Операторный метол расчёта переходных процессов

Операторный метод (преобразование Лапласа) расчета переходных процессов используется для того, чтобы обыкновенные дифференци­альные уравнения с постоянными коэффициентами (в пространстве оригиналов) преобразовать в алгебраические (в пространстве изображе­ний). Очевидно, что алгебраические уравнения решаются проще. После решения алгебраического уравнения над полученной функцией (изо­бражением) производится обратное преобразование Лапласа, получает­ся оригинал. Полученный оригинал это функция, которая и буде1 ре­шением дифференциального уравнения.

Любой функции можно сопоставить её преобразование Лапласа

F{p)^]f{t)e^p,dt, (7)

О

здесь F(p) изображение, /'(/) оригинал. Выражении (7) записыва­ют ещё и в операторной формеF(p) = L[/(/)] •

Приведём изображение нескольких часто встречающихся функций. Определим изображение константы - /’(/) = A (const):

⁰⁰ j

F(p) = A\e-t>'dt=-— |;=-.
о Р Р


F(p) = f e^(l'e^p‘dt
О
Найдем изображение экспоненциальной функции - f(t) = e^al:

р - а ° р - а

Изображение экспоненциальной функции поможет нам найти изобра­жения синусоидальной косинусной функций- sin(cof), cos(cof). Для это­го запишем эти функции через формулу Эйлера. Далее осуществляем следующую цепочку преобразований:


sin( cat) =

2J

cos( cot)
if I I I _ I \ p + jeo - p + jeo co
2j\p-jco /?+ jeo] 2j\ p² +co² J р²+ш²'

Определим изображение производной функции /(f), имеющей dt

изображение F(p)