задание для работы. Кон-т_TOE_ВО_compr. Лекция 11 постоянный ток

• Название: Лекция 11 постоянный ток
• Анкор: задание для работы
• Дата: 13.02.2023
• Размер: 257.88 Kb.
• Имя файла: Кон-т_TOE_ВО_compr.docx
• Тип: Лекция; #934688
• страница: 17 из 21

00

J 5(/-/₀)/(/)Л=/(/₀).


Свойство функция Хевисайда:


0(г-г_о)-


при t₀;

при t > t₀.


->0'(Г)=б(Г),


ОС

J 5(х-х_о>/х = 0(х-х_о).


Преобразование Лапласа этих функций

£[8(0] = 1, £[0(0] = --

Р


Переходная функция Л(/) - это закон изменения во времени вы­ходной величины при измене­нии входной величины в виде единичной ступенчатой функ­ции (отклик (реакция звена) системы на единичное воздей­ствие). Единичная ступенчатая функция описывается следую­щим образом


0(/) =


О при / < 0: 1 при / > 0.

Решение дифференциального уравнения с единичной 0(t) правой ча­стью, есть переходная функция

+ л*(/) - 0(/) —> решением уравнения является /?(/), dt

тогда при произвольном воздействии f(t) имеем:

^Х(Г) / А Г, X >

+ х(/) -/(/)—> решением уравнения является функция: dt

/

л(/)-й(/)/(0) + |л'(т)/(/-т)Л.

о

При нулевых начальных условиях:

/

х(/) = Ja'(t)/(z-t)Jt.

о

Решение дифференциального уравнения с импульсной <У(г) правой ча­стью, есть функция Грина функция или весовая функция:

—----- + Л'(г) - 8(0 —> решением уравнения является w(0, dt

тогда при произвольном воздействии /(г) имеем:

Л(/) . _ч ... .

Fx(z) - / (/) -> решением уравнения является dt

/

х(/) - Л(/)/(0) +1и<т)/(/ - т)dx.

о

При нулевых начальных условиях:

,v(/) = о

§6.1.2. Импульсная переходная функции (весовая функция-функция Грина)

Связь между передаточной функцией и переходной функцией можно найти, используя следующие соотношения:

5(/)-0'(r) -> и-(г)-Л'(г);

0(r) - js(r)t/z —> A(r) - j и^?(г)Л,
о о

где

функция Грина и’(г)-это отклик-реакция системы на д'(г) воздействие переходная функция Л(7)-это отклик-реакция системы на 0(7) воздействие Напомню, что преобразование Лапласа:



> —, £[/'(/)] ->pF(p). Р



Следовательно, изображение переходной функции h(p) = —W(p). (И)

р

Пример 1:

Дано дифференциальное уравнение

.dx _Adx /лч /лч _А ^х(О) rfy(O) _л

5—z- + 4 — + 3х- v(f)+ 2-^-4 х(0)- у(0)-0,—— - - -0.

dr dt ’ dt dt dt

Определим передаточную функцию дифференциального уравнения.

1. 
   Запишем уравнение в операторной форме:
   

5р²Х + 4рХ + ЗХ ^Y + 2pY > (5р² + 4/? + з) X-(I + 2р)У.

(1 + 2о)

2. 
   Находим передаточную функцию: ]\ {р)-—
   

(5р² + 4р + 3)

Пример 2:

Дано дифференциальное .уравнение

, dx ,,.dx ... ... „ <Д-(0)

0,1——+ 10 — + 100л -/(0, *(0)-0,—— = 0.

dr dt dt

Определим передаточную функцию дифференциального уравнения и и/О-функцию Грина (весовую функцию).

Z(p)0.1р + 10-р + 1(Г

§4.7 Метод пространство состояний

Из всех известных методов расчета переходных процессов наибо­лее физическим является метод пространства состояний. Это г метод по­зволяет одновременно получать все интересующие нас величины токов и напряжений.

Переменные состояния представляют собой систему наи­меньшего числа независимых величин необходимых для полного оп­ределения поведения динамической системы. Переменные состоя­ния это токи индуктивностей и напряжения емкостей, именно они определяют состояние системы. В математической форме уравнения состояний для сложной цепи имеют вид:

— = Ал(О + В-Р(П, D(x,n = A x + B F(O . (10)

dt

x(r)- вектор состояния (размерность n);

л матрица состояния (размерность пЧп );

В • F(z) вектор столбец (размерность п);

D(xj) расширенная матрица.

Сначала рассмотрим составления уравнения состояния на про-

стсйших цепях первого порядка Определим напря­жение на конден­саторе после ком­мутации. Вектором состояния является напряжение на ем­кости. Запишем второй закон Кирхгофа.

U_c + RC^ = e(t).
dt

_п -


dU_c U_{c 1} e(t) dt RC RC
^{Перепишем это уравнение относительно производной —!} dt

> ‘-^ = AU_c + B(J)-D(U_c,t) dt

такой вид уравнения называется нормальным. Таким образом, диффе­ренциальное уравнение, разрешенное относительно производной назы­

вается нормальным.

Рис. 4.69

Рассмотрим еще один пример. Определим ток через индуктив­ность. В данном случае вектором состояния является ток через индук­тивность. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа.

i,R+L^--e(t).

^L dt

Разрешаем это уравнение относительно производной и получаем уравнение в нормальной форме

di, R . e(t)



at
— -

dt L L

Рассмотрим пример для цепи второго порядка. Вектором состояния являются переменные х⁷ (г) = |z_z (t\U_c(t)}. Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференци­альных уравнений:









^ul ^{+ и}с + i' R ⁼ Е

. dir п • г-

—> L —— + R • I, + и_с = Е,
dl

du .

If - If С If.

^{с L} dt ^L

Разрешим эту систему относительно производных, то есть запишем в

нормальном виде

di. R .

dt T'^L

dii _ 1 .

,dt c'^L'

— u_c+ —
L L

Выпишем матрицу состояния:



Что бы проверить правильность составление матрицы состояния, нам нужно проверит ее собственные числа

--Х



— = 0 LC


L L0-л.

.■> . R 1 _n

А. +Л—+ — = 0.

L LC

Если вес сделано правильно, то это уравнение совпадает с уравне­нием входного сопротивления схемы

о э R

—+I.P + R-0 -> pCL + pCR + \-0 -> р² + р-
Ср С

Проверим столбцевую матрицу



-L-RC

Рис. 4.71




Результат должен



дать принужденные составляющие напряженияна конденсаторе и ток через индуктивность

Рассмотрим числовой пример:

R = 10 Ом, L = 0,1 Гн, С = бОмкФ, Е = 50В.

— il.R Ue + L

2 2

-I (-iL)R+Uc

2 R

C:-6O-IO⁶

веденной на рисунке 4.72.



Пример 1. Определить ток i_L(j) индуктивности и напряжения м_с1(0’ ^ис2(0^на ёмкостных элементах после включения ЭДС, если £ = 100 В, /?!=20Ом, Я₂=1000м, С₁₌20мкФ, С₂=60мкФ, £ = 0,01Гн.

Решение. Для составления уравнения состояний эффективно использо­вать решающие функции программно-интсгрирующсй среды MathCAD, такие как Given и Find. Запишем уравнения, связывающие токи

(0» *С2(/) и напряжение u_L(t) с напряжениями на ёмкостях и током индуктивности. Для этого используются первый и второй законы Кирх­гофа. В нашем примере матрицы х(/), А и В - F(,v) буду! равны

= (1-узел);

(it

С₂^^--^ + )_£«) (2-узел):

i —- Л_Г| (') + «С2<0 -'/(')«! (сред, контур). at

После подстановки числовых значений получаем:

	-500	0	-5-Ю4		5-1О4'
А =	0	-166,667	1,667 104	, BF	0
	100	-100	-2-Ю3 >		0 к /