методические указания. методичские указания МОДЕЛИРОВАНИЕ В МАТКАДЕ 1. Методические указания для проведения лабораторных работ по дисциплине Моделирование систем и процессов

• Название: Методические указания для проведения лабораторных работ по дисциплине Моделирование систем и процессов
• Анкор: методические указания
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 1.02 Mb.
• Имя файла: методичские указания МОДЕЛИРОВАНИЕ В МАТКАДЕ 1.docx
• Тип: Методические указания; #685529
• страница: 17 из 19

w

таким

образом, чтобы команда А) выполнялась с наименьшей ошибкой.

	1	2	3	4	5	6
1	-2.151	-0.46	0.082	-0.165	0.5	-0.508
2	-0.259	-0.056	9.938·10-3	-0.02	0.06	-0.061
3	-0.019	-4.16·10-3	7.447·10-4	-1.497·10-3	4.523·10-3	-4.593·10-3
4	-1.164	-0.257	0.053	-0.101	0.279	-0.283
5	-1.33	-0.307	0.073	-0.131	0.33	-0.335
6	-0.368	-0.085	0.02	-0.037	0.092	-0.093
7	-1.003	-0.238	0.061	-0.107	0.255	-0.259
8	-0.127	-0.03	7.702·10-3	-0.014	0.032	-0.033
9	-1.778	-0.457	0.136	-0.229	0.486	-0.492
10	-1.192	-0.318	0.099	-0.165	0.337	-0.34

В результате мы получаем матрицу весов (ниже помещена только часть этой матрицы)
w 

7. 
   Программа
   

T 

for

i  1 m

_{ } 

_i _^T

_i w p


a  <sup>1

i 1  exp</sup>^_i

i

T  a T
высчитывает значения выходных величин Т, подсчитанных при полученным выше значениях матрицы весов.

8. 
   Далее приведены значения вычисленных Т и заданных выходных величин . Здесь же приведены максимальные абсолютная и относительная ошибки вычисления.
   

Задание.

1. 
   Изучить программу решения задачи.
   
2. 
   Набрать задачу, получить решение.
   
3. 
   Проиграть задачу для трех вариантов входных и выходных величин. Убедиться, что максимальная относительная ошибка во всех случаях составляет ме- нее одного процента.
   

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №17. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

Экспериментом называется совокупность опытов, объединенных единой целью, еди- ной системой ограничений в пространстве и времени.

Опытом можно считать реализацию на каком либо объекте некоторых условий, пра- вил. В результате опыта появляется то или иное событие. Появление события регистрирует- ся при помощи какого либо параметра, имеющего, как правило, численное выражение и наи- более полно характеризующее результат.

Любой технологический параметр, характеризующий результат, процесса, называется

выходом процесса.

Результат процесса зависит от условий его протекания, характеризуемых значением параметров, влияющих на процесс. Независимые параметры процесса называются факто- рами. Численное значение любого фактора должно устанавливаться независимо от других факторов.

В зависимости от числа учитываемых факторов в эксперименте различают однофак- торные и многофакторные эксперименты.

Из за погрешностей измерения выходы одного процесса при разных опытах отлича- ются один от другого. Все ошибки опыта делятся на три группы: грубые, систематические и случайные.

Планирование однофакторных экспериментов.

При планировании экспериментов для упрощения нормальных уравнений метода наи-

меньших квадратов часто принимают условие

N

_∑ x_i= 0

i=1

.План однофакторного эксперимента , составленный с учетом выполнения этого усло- вия, будет симметричным относительно центра эксперимента. Этот план дает возможность независимым образом определить коэффициенты линейного уравнения, т.е. будет ортого- нальным относительно коэффициентов линейного уравнения. Симметричный план преду- сматривает равномерное изменение исследуемого фактора от опыта к опыту:

C_i+1− C_i=λ=const

.где C_i – значение фактора в i-ом опыте в натуральной размерности,

C_{i+1 –} то же для последующего опыта4 λ – интервал варьирования фактора.

Если представить значение фактора в безразмерном выражении x _I и за точку отсчета принять С₀, то переход к новым координатам имеет вид::

_x= C_i− C₀

1 ^N

i _λ , где С₀- центр

C₀= _∑ C_i


N
i=1

эксперимента.

В результате преобразования факторы х_i становятся безразмерными.

Таким преобразованием переменной достигается симметричность плана и его ортого- нальность в отношении коэффициентов линейного уравнения.

Назначение координат центра эксперимента т интервалов варьирования факторов во многом определяют эффективность эксперимента.

Двухуровневые планы многофакторных экспериментов.

В многофакторном эксперименте можно учитывать только зависимость выхода от каж- дого из факторов, а

можно учитывать также зависимость выхода от взаимодействия нескольких факторов.

Если учитывается взаимодействие всех факторов, то многофакторный эксперимент

.называется полным.

Самым простым планом многофакторного полного эксперимент является план, в кото- ром исследуемые факторы изменяются лишь на двух уровнях: верхнем C ⁺ и нижнем C ^- .

i i

Такой план называется двухуровневым и обозначается ПФЭ2ⁿ , т.е. полный факторный

эксперимент двухуровневый , n- факторный.

Центр эксперимента ,

^Ci0

₌ ^C_i ^+C_i−

2

интервал варьирования
λ= ^{Ci− Ci}− =C− C

ⁱ 2 ⁱ


_i0^=C_i0^{− C}_i−

В безразмерном выражении верхний уровень фактора будет выражаться +1, нижний _1:

x= ^{Ci − Ci0}= ^{Ci− Ci0}=+1

λ_i C_i− C_i0


−
_x= ^C_i− ^{− Ci0}₌ ^C_i− ^{− Ci0}_{= − 1}


λ
ⁱ_i^C_i0^{− C}_i−

План ПФЭ2ⁿ можно представить таблицей.

Пример. Построить план ПФЭ2² для исследования влияния температуры в диапазоне 30

– 42 градуса Цельсия и величины pH в диапазоне от 5 до 7.

Найдем центр эксперимента
_λ= ^C₁ ^{− С}₁⁻ ₌ 42−30 _{= 6}

¹ 2 2

λ= ^{С2 − С2}− = ⁷⁻⁵ = 1

² 2 2

И интервал варьирования

C = ^{C1 +C1}− = ^{42 30} = 36

10 _{2 2}

C= ^{C2 +C2}− = ^{7 5} = 6,0 pH

20 _{2 2}

i	X1i	X2i	X1iX2i
1	-	-	+
2	-	+	-
3	+	-	-
4	+	+	+
Ci0	36	6
Λi	6	1

Здесь столбцы 2 – 3 отражают влияние отдельных факторов. Столбец 4 отражает меж- факторное взаимодействие.

Заполнение второго и третьего столбца в пояснениях не нуждается. Четвертый столбец заполняется по правилу перемножения содержимого второго и третьего столбцов: Если вто- рой и третий столбец имеют одинаковый знак, то в четвертом столбце ставится +, в против- ном случае -.

План полного двухфакторного эксперимента ПФЭ2² дает возможность вычислить че- тыре коэффициента уравнения регрессии:
y a₁  a₂ x₁  a₃ x₂  a₄ x₁ x₂

План полного трехфакторного эксперимента дает возможность вычислить восемь коэффициентов уравнения регрессии

y=a₁+a₂x₁ +a₃x₂ +a₄x₃ +a₅x₁ x₂ +a₆x₁ x₃ +a₇x₂ x₃ +a₈x₁ x₂ x₃

и т.д.

ЗАДАЧА. Методом наименьших квадратов рассчитать в Маткаде коэффициенты урав- нения по результатам выполнения представленного в таблице полного двухуровневого трехфакторного плана ПФЭ 2³. .

Рассчитывается восемь коэффициентов для уравнения:

y=a₁+a₂x₁ +a₃x₂ +a₄x₃ +a₅x₁ x₂ +a₆x₂ x₃ +a₇x₁ x₃ +a₈x₁ x₂ x₃

Таблица 1

I	Основные столбцы			Вспомогательные столбцы
	X1i	X2i	X3i	X1iX2i	X2iX3i	X1iX3i	X1iX2iX3i		Y1i	Y2i	Y3i
1	-	-	-	+	+	+	-		73	69	68
2	-	+	-	-	-	+	+		58	58	64
3	+	-	-	-	+	-	+		54	59	52
4	+	+	-	+	-	-	-		84	94	92
5	-	-	+	+	-	-	+		100	106	109
6	-	+	+	-	+	-	-		98	90	97
7	+	-	+	-	-	+	_		77	85	78
8	+	+	+	+	+	+	+		105	95	100

Здесь У – выход процесса. Произведено три повторности эксперимента.

1. 
   В начале программы набираем ^{ORIGIN 1}, что означает, что счет всех элементов дол- жен начинаться с единицы.
   
2. 
   По таблице создаем матрицу выходов У и матрицу входов Х:
   

_ 73



^ 58

_ 54

^ 84

Y  <sub>

</sub> 100

 <sup>98

</sup> 77



_ 105

69

58

59

94

106

90

85

95

68 _

64 _

52 _

92 ^



109 _

⁹⁷ 

78 ^

100 <sub>

</sub> 1 1



^ 1 1

_ 1 1

^ 1 1



^{X  } 1 1

 <sup>1 1

</sup> 1 1



_ 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 _

1 _

1 _

1 ^



1 _

^1 

1 ^

1 _

3. 
   Вычисляем среднее
   

MY_i  mean_Y  Y

 Y _

выходов: ^{i  1 8}

MY^T  ( 70 60 55 90 105 95 80 100)

i 1

60

i 2

i 3

4. 
   Задаем начальные приближения для коэффициентов:
   

a_i  1

a^T  ( 1 1 1 1 1 1 1 1 )

5. 
   Введя оператор given , формируем вычислительный блок. 6.Набираем выражение для метода наименьших квадратов:
   

8

_{ }MY  a  a  X  a  X  a  X  a  X  a  X  a  X  a  X _² 0

i  1

i 1 2

i 1

3 i 2

4 i 3

5 i 4

6 i 5

7 i 6

8 i 7

7. Решение ищем с помощью встроенной функции MINERR ( Минимальная ошибка): и получаем ответ

a  Minerr(a)

a^T  ( 81.875 0.625 4.375 13.125 9.375 1.875 4.375 1.875)
Записываем уравнение и сравниваем сначала визуально модель с объектом моделиро- вания.

Q  a  a  X

 a  X  a  X

 a  X  a  X

 a  X  a  X

i 1 2

i 1 3 i 2

4 i 3 5 i 4

6 i 5 7 i 6

8 i 7

7. 
   Вычисляем абсолютные W и относительные в процентах w ошибки модели
   

MY^T  ( 70 60 55 90 105 95 80 100)


i
w 

Q^T  ( 70 60 55 90 105 95 80 100)

W 100

i

W_i  MY_i  Q

ⁱ max(MY)
max( w)  1.002

max(W)  1.052 ^{ 6}


10
 6

_{  7 } 10



10
^ 4.616 ^{ 7 }

_ 4.397 10


^{ 7} 

^ 1.854

^{ 7} 

1.765 10

_ 10 _{ }  <sub>

 </sub> ^{ 6} _ ^ 1.052 10 ^{6 }

_ 1.104 10 _{ }  <sub>

</sub> ^{ 7} _ ^ 7.272 10 ^{7 }

7.636 10

W  _{ }

w  _{  }

^  <sup> 8 

</sup> 4.913 10 ^{8 }

5.159 10

 _ 

 _{ 7} 



 ^{6.653 10 7} 

 ^{6.986 10} 

 _ 

 _{ 7} 



_ 6.448 10 ⁷ _

_ 6.771 10 _{ } 

^  6

_ 1.002 10 ⁶ _

_ 1.052 10 _