книга. Микроэкономика базовая дисциплина, на которую опираются многие теоретические и практические учебные дисциплины в сис
 Скачать 1.46 Mb.
|
|
Связь теории потребления и теории производства Объект сравнения Теория потребителя Теория производителя Субъект Потребитель Производитель Особенность субъекта Вкусы Технология Целевой показатель Полезность Выпуск продукта Используемые факторы Продукты Ресурсы Производная целевой функции Предельная полезность Предельный продукт Свойство целевой функции Насыщение потребностей Падение производительности Линия уровня целевой функции Кривая безразличия Изокванта Глава 4. Производство 78 Принципиальное отличие теории потребителя от теории произво дителя состоит в том, что полезность субъективна и не может быть из мерена в какихлибо общепринятых единицах измерения, в то время как производственная функция измеряется в объективных едини цах — единицах продукта. При переходе к рассмотрению поведения производителей, выпускающих одновременно несколько разных про дуктов, аналогия между теориями производителя и потребителя пол ностью исчезает, поскольку не имеет смысла говорить о наличии у по требителя различных целевых показателей, выраженных в различных единицах полезности. Производственная функция Рассмотрим ситуацию, когда производится один продукт, при этом используются несколько ресурсов (факторов). Технология производ ства остается неизменной. Производственная функция — это зависимость объема выпуска про дукта от объемов используемых ресурсов: P = f(x 1 , x 2 , …, x m ), где P — объем выпуска продукта (англ. product — продукт), x j — затра ты (расход) jго ресурса, m — количество используемых ресурсов. Производственная функция может принимать только неотрицатель ные значения, в отличие от функции полезности потребителя. Обыч но полагают, что выпуск продукта равен нулю, если затраты всех ре сурсов равны нулю. Простейшая производственная функция P(x) описывает ситуа цию, когда используется один ресурс в количестве x. Если ресурс ис пользуется дискретно (работники, станки), то производственную Объект сравнения Теория потребителя Теория производителя Экзогенные параметры Цены продуктов, доход Цены ресурсов, издержки Достижимые наборы факторов Бюджетная линия Изокоста Относительная ценность факторов Предельная норма замещения Предельная норма технологического замещения Чистый результат Излишек потребителя Прибыль производителя Продолжение табл. 4.1 функцию обозначают также через P i , где i — количество израсходо ванных единиц ресурса. Предельный продукт — прирост выпуска продукта, полученный вследствие использования дополнительной единицы ресурса. Пре дельный продукт обозначают через MP и рассчитывают по формуле Связь теории потребления и теории производства 79 где MP — предельный продукт (англ. marginal product — предельный продукт), ∆P — прирост выпуска, вызванный использованием допол нительного объема ресурса ∆x сверх некоторых затрат x. Чтобы не пу тать предельный продукт MP с продуктом P, последний показатель называют также общим продуктом и обозначают через TP (англ. total product — общий продукт). Подчеркнем, что предельный продукт за висит от объема ресурса, использованного ранее до привлечения до полнительного объема данного ресурса, т.е. предельный продукт яв ляется функцией затрат ресурса x. Предельный продукт называют также предельной производительностью ресурса. В случае, когда ресурс используется непрерывно (продолжитель ность использования работников, станков), предельный продукт яв ляется производной производственной функции: MP = P ′(x), где P ′ (x) — производная производственной функции при затратах ре сурса в объеме x. В случае, когда ресурс потребляется дискретно, предельный продукт является разностью двух последующих объемов выпуска продукта: MP i = P i – P i–1 , где MP i — предельный продукт iй единицы ресурса, P i — выпуск про дукта при затратах i единиц ресурса, P i–1 — выпуск продукта при за тратах i–1 единиц ресурса. Предельный продукт может быть положительным, отрицательным или равным нулю. В первом случае использование дополнительной единицы ресурса приводит к увеличению выпуска продукта, а во вто ром случае — к его уменьшению. Выпуск продукта достигает макси мума, когда предельный продукт равен нулю. Главное свойство производственной функции определяют как за кон убывающей предельной производительности. Данный закон гласит, что начиная с некоторого объема затрат ресурса предельный продукт уменьшается с увеличением затрат ресурса, т.е. функция предельного ∆P MP = . ∆x продукта убывает. Обычно предельный продукт положителен, и про изводственная функция возрастает. Но если предельный продукт все же становится отрицательным, тогда использование дополнительной единицы ресурса приводит к сокращению выпуска продукта. Причиной падения предельного продукта ресурса является прежде всего возникновение избытка данного ресурса по отношению к дру гим используемым ресурсам. Рассмотрим пример. Пусть бригада дворников располагает тремя метлами, тогда последовательный наем первого, второго и третьего дворника обеспечит равные приросты вы пуска (площади убранной территории). Однако наем четвертого двор ника даст значительно меньший положительный эффект, поскольку ему не достанется метлы. Таким образом, предельный продукт четвер того дворника будет значительно меньше по сравнению с каждым из трех ранее нанятых дворников. Случаи убывания общего продукта и возрастания предельного продукта обычно считают исключением из правил, поэтому мы будем «по умолчанию» рассматривать производственную функцию как воз растающую, а функцию предельного продукта — как убывающую. Посколь ку труд является важнейшим ресурсом в большинстве производственных про цессов, производственную функцию одной переменной обычно трактуют как функцию трудовых затрат P(L), где L — затраты труда (от англ. labour — труд). На рис. 4.1 изображены кривые вы пуска продукта (сверху) и предельного продукта труда (снизу). Предельный продукт равен тангенсу угла наклона касательной к графику производствен ной функции. Затраты труда, обеспе чивающие максимальный выпуск, обо значены через L 0 . При увеличении трудовых затрат от нуля до L 0 выпуск возрастает замедляющимся темпом, а предельный продукт труда положителен. При увеличении затрат труда сверх значения L 0 выпуск уменьшается ускоряющимся темпом, а предельный продукт отрицателен. Пример 1. Производственная функция задана формулой P = 6L 0,5 Глава 4. Производство 80 Рис. 4.1. Выпуск продукта и предельный продукт Выпуск продукта при затратах труда 9 равен 6 × 9 0,5 = 18. Опреде лим функцию предельного продукта, для чего продифференцируем производственную функцию: MP = 3L –0,5 Предельный продукт при затратах труда 9 равен 3 × 9 –2 = 1. В дан ном примере предельный продукт принимает только положительные значения, а производственная функция монотонно возрастает и не имеет максимума. Пример 2. Производственная функция задана формулой P i = 11 i – i 2 , где i — численность наемных рабочих. Выпуск продукта при найме 4 рабочих равен 11 × 4 – 4 2 = 28. Определим функцию предельного про дукта труда: MP i = P i – P i–1 = (11 i – i 2 ) – [11( i – 1) – (i – 1) 2 ] = 12 – 2 i. Предельный продукт при найме 4 рабочих равен 12 – 2 × 4 = 4. В данном примере предельный продукт равен нулю при найме 6 рабо чих. Следовательно, при данной численности рабочих выпуск про дукта достигает максимального значения, равного 11 × 6 – 6 2 = 30. Более сложная производственная функция P(L,K) описывает ситу ацию, когда продукт производится с использованием двух ресурсов: труда в объеме L и капитала в объеме K. Если ресурсы используются дискретно, то производственную функцию обозначают также через P ij , где i — количество единиц труда (рабочих), а j — количество еди ниц капитала (станков). В случае использования двух ресурсов рас сматривают две функции предельного продукта. Предельный продукт труда — прирост выпуска продукта, получен ный вследствие использования дополнительной единицы труда при неизменном объеме затрат капитала выражается формулой: Связь теории потребления и теории производства 81 ∆P MP L = , ∆L ∆P MP K = , ∆K где MP L — предельный продукт труда. Предельный продукт капитала — прирост выпуска продукта, полу ченный вследствие использования дополнительной единицы капита ла при неизменном объеме затрат труда, определяется по формуле: где MP K — предельный продукт капитала. Подчеркнем, что предель ный продукт каждого ресурса зависит от затрат обоих ресурсов, т.е. функция предельного продукта, как и производственная функция, является функцией двух переменных. В случае, когда ресурсы используются непрерывно, функция пре дельного продукта является соответствующей частной производной производственной функции: Глава 4. Производство 82 P MP L = , L P MP K = , K В случае, когда ресурсы используются дискретно, предельный продукт является разностью значений производственной функции: MP L,ij = P ij – P i–1,j ; MP K,ij = P ij – P i,j–1 , где MP L,ij — предельный продукт iй единицы труда, MP K,ij — пре дельный продукт jй единицы капитала, P ij — выпуск продукта при за данных затратах ресурсов ( i,j), P i–1,j — выпуск продукта при затратах труда, меньших на единицу, P i,j–1 — выпуск продукта при затратах ка питала, меньших на единицу. Обычно предельный продукт каждого ресурса положителен и убы вает с увеличением затрат соответствующего ресурса. Выпуск продук та максимален, когда предельные продукты всех ресурсов равны нулю. Пример 3. Производственная функция задана формулой P = 4L 0,5 K. Выпуск продукта при затратах ресурсов (9,6) равен 4 × 9 0,5 × 6 = 72. Определим функцию предельного продукта труда, для чего найдем соответствующую частную производную производственной функции: MP L = 2 L –0,5 K. Предельный продукт труда при использовании заданного набора ресурсов равен 2 × 9 –0,5 × 6 = 4. Аналогично определяется функция предельного продукта капитала. Изокванта Рассмотрим производственную функцию двух переменных P(L,K). Ее графиком служит некоторая трехмерная поверхность, которую не удобно изображать и исследовать. Поэтому в микроэкономике вместо графика производственной функции двух аргументов исследуют кар ту (множество) кривых безразличия данной функции, которые в тео рии производителя называют изоквантами. Изокванта — это множество точек плоскости, которое изображает наборы затрат ресурсов, обеспечивающих одинаковый выпуск продукта: P(L,K) = const. Изокванте соответствуют точки трехмерного графика производст венной функции, расположенные на одинаковой высоте над коорди натной плоскостью LOK. При исследовании изоквант термины «на бор ресурсов» и «точка плоскости» используют как синонимы. Изокванты не пересекаются, что было доказано для кривых безразличия функции по лезности потребителя (см. гл. 3). Поскольку предельные продукты труда и капитала положительны, изо кванта является нисходящей и вогнутой к началу координат кривой (см. рис. 4.2). Чем дальше расположена изокванта от начала координат, тем больший выпуск продукта ей соответствует. Из рисунка следует, что P 2 больше, чем P 1 Пример 4. Производственная функция задана формулой P = LK. Тогда наборы ресурсов, обеспечивающие выпуск 4, изображаются изоквантой K = 4/L. Предельная норма технологического замещения Рассмотрим подробнее изокванту (рис. 4.3). Предположим, что произ водитель расходует набор ресурсов A, но затем он принимает решение увеличить затраты труда на ∆L (нанять новых работников), не изменяя выпуск продукта. Тогда ему следует отказаться от использования неко торого количества капитала ∆K. Новый набор ресурсов изображен на рисунке точкой B. Предельная норма технологического замещения — это количество ка питала, от использования которого следует отказаться производителю при увеличении затрат труда на единицу в случае, когда старый и но вый набор ресурсов обеспечивают одинаковый выпуск продукта: Связь теории потребления и теории производства 83 Рис. 4.2. Изокванты – ∆K MRTS = , ∆L где MRTS — предельная норма технологического замещения (англ. marginal rate of technical substitution), ∆L — изменение затрат труда, ∆K — изменение затрат капитала. Поскольку изокванта является нис ходящей кривой, изменения затрат ресурсов всегда имеют разный знак, а их отношение отрицательно. Поэтому в формуле предельной нормы технологического замещения поставлен знак «минус», чтобы данный показатель был положительным. Согласно определению, предельная норма технологического замещения равна тангенсу угла B (треугольник ABC на рис. 4.3). При малых изменени ях затрат ресурсов данный показатель равен тангенсу угла наклона касатель ной к изокванте, т.е. он равен произ водной функции, графиком которой служит данная изокванта. Экономический смысл предельной нормы технологического замещения следующий: она выражает отно сительную ценность труда в производственном процессе, выраженную в единицах капитала. Чем больше предельная норма технологического замещения, тем больший объем капитала способна заменить в произ водстве одна единица труда, тем выше относительная ценность труда. Главное свойство предельной нормы технологического замещения состоит в следующем: она уменьшается с увеличением затрат труда. Из рис. 4.3 следует, что наклон касательной к изокванте уменьшается с увеличением затрат труда. Данное свойство предельной нормы тех нологического замещения следует из закона падения предельной про изводительности ресурса: чем больше затраты ресурса, тем меньший прирост выпуска обеспечивает его дополнительная единица. Пример 5. Производственная функция задана формулой P = 2LK. Определим предельную норму технологического замещения для набора ресурсов (3, 5). Рассчитаем выпуск продукта, соответствую щий данному набору, он равен 2 × 3 × 5 = 30. Следовательно, изокван та, проходящая через точку (3, 5), задана функцией 30 = 2 LK, или K = 15/L. Продифференцировав данную функцию, получим формулу пре дельной нормы технологического замещения: Глава 4. Производство 84 Рис. 4.3. Предельная норма технологического замещения MRTS = 15/L 2 Итак, при затратах трех единиц труда и пяти единиц капитала пре дельная норма технологического замещения равна 15 : 3 2 = 1,67. Это значит, что если производитель примет решение увеличить затраты труда на единицу (нанять дополнительного работника) без изменения объема выпуска, то ему следует сократить затраты капитала на 1,67 единиц. Выразим предельную норму технологического замещения через показатели предельного продукта труда и капитала. Для этого правую часть формулы предельной нормы технологического замещения ум ножим и разделим на прирост выпуска ∆P, получим Связь теории потребления и теории производства 85 MP L MRTS = . MP K Из данной формулы следует свойство убывания предельной нормы технологического замещения: с увеличением затрат труда его предель ная производительность (числитель) уменьшается, а с уменьшением затрат капитала его предельная производительность (знаменатель) увеличивается. Таким образом, числитель дроби уменьшается, а зна менатель увеличивается, поэтому дробь (предельная норма технологи ческого замещения) уменьшается. Исследуем изокванту и предельную норму технологического заме щения для некоторых частных случаев производственной функции. Ресурсы называют совершенно заменяемыми, если производителю безразлично, какой из двух ресурсов использовать. В этом случае изо кванта представляет собой отрезок прямой, наклоненный под углом 45 ° к горизонтальной оси, а предельная норма технологического за мещения равна единице. Ресурсы называют совершенно до полняемыми, если они используются только в строго определенной пропор ции. Например, когда станок обслужи вают четыре рабочих, причем привле чение пятого работника не увеличивает производительность бригады, а при уменьшении обслуживающих работни ков до трех производство вообще не возможно. В случае совершенно допол няемых ресурсов производственная функция зависит от максимального ко Рис. 4.3. Изокванта в случае совершенно дополняемых ресурсов личества бригад, которые можно сформировать из имеющегося коли чества рабочих и станков. Рассмотрим простейший случай, когда один рабочий обслуживает один станок. Тогда производственная функция зависит от объема того ресурса, количество которого мень ше, она имеет вид P(min(L,K)). Изокванта данной производственной функции состоит из двух лу чей, которые параллельны осям координат и исходят и одной точки, расположенной на биссектрисе координатного угла (рис. 4.4). Из ри сунка следует, что для совершенно дополняемых ресурсов предельная норма технологического замещения равна нулю, т.е. увеличение затрат труда не потребует сокращения затрат капитала при неизменном выпу ске продукта. Убедимся в этом, для этого предположим, что производи тель принял решение нанять дополнительного рабочего. Если изна чально число станков превышало число рабочих, то количество обслуживаемых станков и выпуск продукта увеличатся, и производи тель переместится на другую изокванту. В этом случае не имеет смысла говорить о предельной норме технологического замещения. Если же изначально число станков не превышало числа рабочих, то наем допол нительного рабочего не увеличит выпуск продукта, а производитель пе реместится вправо по горизонтальному участку изокванты. В этом слу чае предельная норма технологического замещения равна нулю. Пример 6. Труд и капитал являются совершенно дополняемыми ре сурсами, причем один рабочий обслуживает один станок. Тогда следу ющие наборы ресурсов обеспечивают равный выпуск продукта, по скольку каждый набор позволяет использовать два станка: (4, 2), (2, 2), (2, 8), (10, 2). Ресурс называют нейтральным для производителя, если выпуск продукта не зависит от затрат данного ресурса. Если нейтральным ре сурсом выступает труд, то изокванты являются горизонтальными прямыми, а предельная норма технологического замещения равна ну лю. Если нейтральным ресурсом служит капитал, то изокванты явля ются вертикальными прямыми, а предельная норма технологическо го замещения равна бесконечности. Изокоста Рассмотрим ситуацию, когда производитель использует два ресурса: труд и капитал. Цена труда есть ставка заработной платы w (от англ. Глава 4. Производство 86 wage — заработная плата), а цена капитала есть стоимость аренды стан ка r (от англ. rent — арендная плата). Производитель затрачивает на приобретение ресурсов денежную сумму C, которую называют бюдже том производителя, или издержками производителя (от англ. cost — из держки). Тогда выполняется следующее соотношение, которое называ ют бюджетным ограничением производителя: wL + rK = C , где L и K — объемы труда и капитала соответственно. Точки плоско сти, удовлетворяющие бюджетному ограничению, составляют изокос ту производителя. Исследуем свойства изокосты, для этого запишем бюджетное ограничение в следующем виде: K = –(w/r) × L + C/r. Из данной формулы следует, что изокоста представляет собой от резок, тангенс угла наклона которого к горизонтальной оси равен от ношению цен ресурсов w/r. Левый конец этого отрезка пересекает вертикальную ось в точке А. В этой точке достигается максимальный объем капитала C/r, который может приобрести производитель при данной величине издержек. Изокоста пересекает горизонтальную ось в точке B. В этой точке достигается максимальный объем труда C/w, который может приобрести производитель при данной величине из держек. Треугольник, образованный изокостой и осями координат, называют множеством достижимых наборов ресурсов. Пример 7. Издержки производителя равны 40, цены труда и капи тала равны 2 и 5 соответственно. Тогда бюджетное ограничение име ет вид: 2 L + 5K = 40. Связь теории потребления и теории производства 87 Рис. 4.5. Перемещение изокосты: а) увеличением издержек; б) увеличение ставки заработной платы а) б) Изокоста пересекает ось абсцисс в точке 40 : 2 = 20, а ось ординат — в точке 40 : 5 = 8. Тангенс угла наклона изокосты к оси абсцисс равен 2 : 5 = 0,4. Исследуем перемещения изокосты в результате изменения издер жек производителя и цен ресурсов. Рассмотрим четыре возможных случая. Изменение издержек производителя. При увеличении издержек изокоста сдвигается вправо параллельно себе. Этот случай показан на рис. 4.5а, на нем изокоста сдвигается из положения AB в положе ние A 1 B 1 , причем угол ее наклона не изменяется, а множество дости жимых наборов расширяется. При уменьшении издержек изокоста сдвигается влево параллельно себе, а множество достижимых набо ров сужается. Изменение цены одного ресурса. При увеличении ставки заработной платы изокоста поворачивается по часовой стрелке вокруг своего ле вого конца. Этот случай показан на рис. 4.5б, на нем изокоста переме щается из положения AB в положение AB 1 , причем угол ее наклона к горизонтальной оси увеличивается, а множество достижимых набо ров сужается. При уменьшении ставки заработной платы изокоста по ворачивается против часовой стрелки вокруг своего левого конца, причем угол ее наклона к горизонтальной оси уменьшается, а множе ство достижимых наборов расширяется. Аналогично исследуют слу чай изменения цены капитала. Изменение цен обоих ресурсов. Если обе цены увеличились, то изо коста сдвигается влево (как правило, не параллельно себе), а множе ство достижимых наборов сужается. Если же обе цены уменьшились, то изокоста сдвигается вправо, а множество достижимых наборов рас ширяется. Если цена одного ресурса увеличилась, а цена другого ре сурса уменьшилась, то старая и новая изокосты пересекаются в неко торой точке, не лежащей на координатных осях. В этом случае старое и новое множества достижимых наборов несравнимы между собой в том смысле, что одно из них не является подмножеством другого. Изменение издержек и цен обоих ресурсов. В этом случае изокоста может занять любое положение. Равновесие производителя Единственной целью производителя предполагается достижение мак симально возможного выпуска продукта. Рассмотрим случай, когда используются два ресурса: труд и капитал. Глава 4. Производство 88 Равновесие производителя — ситуация, когда производственная функция достигает максимального значения P(L,K) → max при заданных издержках C, цене труда w и цене капитала r, т.е. при вы полнении бюджетного ограничения wL + rK = C, где L и K — затраты труда и капитала соответственно. Набор затрат ре сурсов, при котором производитель достигает равновесия, называют равновесным. Решив задачу определения равновесия производителя методом Ла гранжа, получим несколько тождественных условий равновесия: 1. В состоянии равновесия производителя предельные продукты ре сурсов, деленные на соответствующие цены, равны между собой: Связь теории потребления и теории производства 89 MP L MP K = . w r MP L w = . MP K r Из данного равенства следует, что в состоянии равновесия произ водителю безразлично, на какой из двух ресурсов тратить дополни тельный рубль. В обоих случаях он получит одинаковый прирост вы пуска продукта. 2. В состоянии равновесия производителя предельные продукты ре сурсов пропорциональны ценам соответствующих ресурсов: Данное равенство следует непосредственно из предыдущего, по скольку оба равенства выражают одну и ту же пропорцию. 3. В состоянии равновесия производителя предельная норма техноло гического замещения равна отношению цен ресурсов: w MRTS = . r Данное равенство следует непосредственно из предыдущего, по скольку предельная норма технологического замещения, как было показано выше, равна отношению предельных продуктов ресурсов. Равенство показывает, что в состоянии равновесия внутренняя, тех нологическая оценка ценности ресурсов (предельная норма техноло гического замещения) равна внешней, рыночной оценке их относи тельной ценности (отношение цен ресурсов). 4. В состоянии равновесия производителя изокоста касается некото рой изокванты производственной функции. Данное условие следует непосредственно из предыдущего. Дейст вительно, предельная норма технологического замещения характери зует наклон касательной к изокванте, а отношение цен ресурсов — угол наклона изокосты. Поскольку эти углы равны, изокоста служит касательной к изокванте. Равновесие производителя изображено на рис. 4.6. В точке равно весия E изокоста AB касается изокванты a. Рассмотрим какуюлибо другую изокванту b, которая пересекает изокосту в точках M и N. По кажем, что наборы ресурсов, соответ ствующие этим точкам, не являются равновесными: •точка M не является точкой равно весия, поскольку при движении вниз по изокосте к точке E производитель переходит на изокванту с большим объемом выпуска (на рисунке эта изо кванта не показана). Следовательно, объем выпуска, соответствующий на бору M, не является максимально воз можным. В данной точке касательная к изокванте расположена круче, чем изокоста, т.е. предельная норма технологического замещения больше отношения цен ресурсов; •точка N не является равновесной, поскольку при движении вверх по изокосте к точке E производитель переходит на изокванту с боль шим выпуском продукта (на рисунке эта изокванта не показана). Сле довательно, объем выпуска, соответствующий набору N, не является максимально возможным. В данной точке касательная к изокванте имеет меньший наклон, чем изокоста, т.е. предельная норма техноло гического замещения меньше отношения цен ресурсов. Пример 8. Издержки производителя равны 36, цены труда и капи тала равны 3 и 6 соответственно. Производственная функция задана формулой P = 2LK 0,5 Определим равновесный набор и максимальный выпуск. Для это го найдем функции предельного продукта, дифференцируя заданную функцию последовательно по обоим аргументам, получим MP L = 2 K 0,5 ; MP K = LK –0,5 Глава 4. Производство 90 Рис. 4.6. Равновесие производителя Предельная норма технологического замещения равна отноше нию предельных продуктов труда и капитала: MRTS = MP L / MP K = 2 K/L. Согласно условию равновесия (форма записи № 3), предельная норма технологического замещения равна отношению цен ресурсов: 2 K/L = 3 : 6, отсюда L = 4K. Данное равенство задает соотношение между затратами ресурсов в равновесном наборе при любой величине издержек производителя. Для определения конкретной точки равновесия запишем бюджетное ограничение производителя для нашего случая: 3 L + 6K = 36. Подставляя в данное равенство соотношение затрат ресурсов в рав новесном наборе, получим уравнение относительно затрат капитала: 3 × 4K + 6K = 36, отсюда K = 2. Итак, равновесным является набор (8, 2), максимальный выпуск равен 2 × 8 × 2 0,5 = 22,6. Предельная норма технологического замеще ния для равновесного набора равна 2 × 2 : 8 = 0,5, т.е. она равна отно шению цен ресурсов 3 : 6. Как мы убедились, условие равновесия вы полняется. В случае, когда используется произвольное количество ресурсов, равновесие достигается при условии равенства отношений предель ного продукта к цене для всех ресурсов: Связь теории потребления и теории производства 91 MP 1 MP 2 MP m = = ... = , q 1 q 2 q m где MP i — предельный продукт, q i — цена iго ресурса (i = 1, …, m), m — количество используемых ресурсов. Данный случай равновесия про изводителя не имеет наглядной геометрической интерпретации. Приведенное выше равенство показывает, что при равновесии производителя прирост выпуска, обеспечиваемый последней денеж ной единицей, потраченной на покупку ресурсов, одинаков, незави симо от того, какой именно ресурс покупается. В состоянии равновесия производителя отношения предельного продукта ресурса к цене ресурса одинаковы для всех ресурсов (см. по следнюю формулу). Это отношение называют предельной отдачей де нег. Данный показатель равен приросту выпуска при увеличении из держек производителя на единицу: где γ — предельная отдача денег. Пример 9. Используются три ресурса: труд, капитал и земля. Из держки производителя равны 72, цены ресурсов равны 2, 3 и 4 соот ветственно. Производственная функция имеет вид P = LKT, где L, K и T — затраты труда, капитала и земли соответственно. Опре делим равновесный набор и максимальный выпуск продукта. Находим предельные продукты ресурсов, дифференцируя произ водственную функцию по ее трем аргументам: MP L = KT; MP K = LT; MP T = LK. Равновесный набор определим как решение системы уравнений с тремя неизвестными: KT/2 = LT/3 = LK/4; 2L + 3K + 4T = 72. Решив данную систему, получим равновесный набор (12, 8, 6). Максимальный выпуск равен 12 × 8 × 6 = 576. Определим предельную отдачу денег в состоянии равновесия, для этого рассчитаем равновесные значения предельного продукта ресурсов: MP L = 8 × 6 = 48; MP K = 12 × 6 = 72; MP T = 12 × 8 = 96. Тогда предельная отдача денег равна γ = 48 : 2 = 72 : 3 = 96 : 4 = 24. Таким образом, при увеличении издержек с 72 до 73 максимально возможный выпуск продукта увеличится и достигнет значения 576 + 24 = 600. В некоторых случаях равновесия не выполняется условие равенст ва предельной нормы технологического замещения и отношения цен ресурсов. Угловое равновесие производителя — это ситуация, когда предель ная норма технологического замещения больше (или меньше) отно шения цен ресурсов для всех наборов на изокосте. Угловое равнове сие можно также определить как ситуацию, когда отношение предельного продукта к цене больше у одного из ресурсов для всех наборов на изокосте. В случае углового равновесия используется только один ресурс. Глава 4. Производство 92 MP 1 MP m ∆P γ = = ... = = , q 1 q m ∆C Угловое равновесие изображено на рис. 4.7. В данном случае предельная нор ма технологического замещения меньше отношения цен ресурсов, поэтому исполь зуется только капитал в объеме K 0 . Точкой равновесия служит левый конец A изокос ты AB. Как видно из рисунка, наклон каса тельной к изокванте b в данной точке меньше угла наклона изокосты (угол B). Рассмотрим частные случаи углового равновесия. Если один из ресурсов явля ется нейтральным, то используется только другой ресурс независимо от цен ресурсов и издержек производителя. Если ресурсы являются совер шенно заменяемыми, а их цены не равны, то используется только более дешевый ресурс. Если же цены таких ресурсов равны, то некоторая изокванта совпадает с изокостой и любой набор ресурсов является равновесным, т.е. число равновесных состояний бесконечно. Пример 10. Используемые ресурсы являются совершенно заменяе мыми, их цены равны 5 и 7. Издержки производителя составляют 30. Производственная функция неизвестна. Определим равновесный на бор ресурсов. В данном случае предельная норма технологического замещения равна единице, а отношение цен не равно единице. По этому возможно лишь угловое равновесие. Понятно, что производи тель будет использовать только первый ресурс, который дешевле. Максимальный объем использования этого ресурса равен 30 : 5 = 6. Таким образом, равновесным является набор (6, 0). Линия роста Исследуем влияние изменений величины издержек производителя на равновесные объемы затрат ресурсов. Линия роста — графическое изображение равновесных наборов ресурсов, отвечающих различным значениям издержек при фиксиро ванных ценах на ресурсы. Каждая точка линии роста характеризуется некоторым значением капиталовооруженности труда, т.е. отношени ем затрат капитала к затратам труда ( K/L). Капиталовооруженность труда равна тангенсу угла наклона отрезка, соединяющего начало ко ординат и соответствующую точку линии роста. Рассмотрим два основных типа линий роста: с возрастающей и убывающей капиталовооруженностью труда. На рис. 3.8 изображены Связь теории потребления и теории производства 93 Рис. 4.7. Угловое равновесие производителя три изокосты, которые отвечают значениям издержек C 1 , C 2 и C 3 (пе речислены в порядке возрастания). Линия роста обозначена через b, она проходит через равновесные наборы E 1 , E 2 и E 3 , которые отвеча ют соответствующим значениям издержек. Изокванты, которые каса ются изокост, на рисунке не показаны. Вид линии роста (возрастаю щий наклон, убывающий наклон) указывает на характер изменения капиталовооруженности труда с увеличением издержек производите ля. На рис. 4.8а линия роста характеризуется возрастанием капитало вооруженности труда, а на рис. 4.8б — ее убыванием. Линия роста оп ределяется производственной функцией и отношением цен ресурсов. Глава 4. Производство 94 Рис. 4.8. Линия роста: а) с возрастающей капиталовооруженностью труда; б) с убывающей капиталовооруженностью труда а) б) Пример 11. Цены ресурсов равны 20 и 5. Производственная функ ция задана формулой P = LK. Формулу линии роста получим из условия равновесия производи теля: K/20 = L/5, отсюда K = 4L. Таким образом, исследуемая кривая является прямой, проходящей через начало координат. Она характеризуется неизменным значением капиталовооруженности труда, равным 4. Отдача от масштаба производства Увеличение масштаба производства — это одновременное и пропорци ональное увеличение затрат всех используемых ресурсов. Если исход ные затраты труда и капитала составляют набор ( L, K), то после уве личения масштаба производства они составят ( tL, tK), где t — некоторое число, не меньшее единицы. Объем выпуска продукта до увеличения масштаба производства обозначим через P 0 , а после увеличения масштаба производства — че рез P 1 , т.е. P 0 = P(L,K); P 1 = P(tL,tK), где P — производственная функция. Отношение нового и старого вы пусков может быть равным, большим или меньшим, чем t. Это отно шение зависит от вида производственной функции и начальных затрат труда и капитала и характеризует отдачу от масштаба производства: постоянную, возрастающую или убывающую. Постоянная отдача от масштаба производства — ситуация, когда увеличение затрат всех ресурсов в t раз приводит к увеличению выпу ска продукта в t раз, т.е. выпуск P 1 равен выпуску tP 0 Возрастающая отдача от масштаба производства — ситуация, ког да увеличение затрат всех ресурсов в t раз приводит к увеличению вы пуска продукта более чем в t раз, т.е. P 1 больше tP 0 Убывающая отдача от масштаба производства — ситуация, когда увеличение затрат всех ресурсов в t раз приводит к увеличению выпу ска продукта менее чем в t раз, т.е. P 1 меньше tP 0 Отдача от масштаба производства зависит не только от производст венной функции, но и от начальных затрат ресурсов. При одних началь ных затратах может наблюдаться возрастающая отдача, а при других — убывающая. Чтобы обойти эту сложность, обычно рассматривают про изводственные функции, которые характеризуются определенным ти пом отдачи от масштаба при любых начальных затратах ресурсов. Наи более известный класс таких функций — однородные функции. Однородная производственная функция — это производственная функция, обладающая следующим свойством: при увеличении затрат всех ресурсов в t раз объем выпуска продукта увеличивается в t δ раз, где δ — положительная константа, называемая степенью однородности производственной функции: P(tL,tK) = t δ P(L,K). Запишем данное равенство, используя введенные ранее обозначения: P 1 = t δ P 0 Отсюда следует, что степень однородности определяет тип отдачи от масштаба производства. Если степень однородности δ равна единице, то выпуск P 1 равен вы пуску tP 0 , и имеет место постоянная отдача от масштаба производства. Если степень однородности δ больше единицы, то t δ больше t, по этому P 1 больше tP 0 . Имеет место возрастающая отдача от масштаба производства. Связь теории потребления и теории производства 95 Если степень однородности δ меньше единицы, то t δ меньше t, по этому P 1 меньше tP 0 . Имеет место убывающая отдача от масштаба про изводства. Дадим геометрическую интерпретацию свойства однородности производственной функции. Для этого построим изокванты, соответ ствующие кратным выпускам продукта: P 0 , P 1 , P 3 , P 4 и т.д. (рис. 4.9). Проведем из начала координат луч, пересекающий эти изокванты. Тогда длина отрезка, соединяющего соседние изокванты, может изме няться следующим образом при переходе на более высокую изокванту: •остается неизменной в случае постоянной отдачи от масштаба производства. Расстояние между изоквантами не изменяется (на ри сунке этот случай не показан); Глава 4. Производство 96 •уменьшается в случае возрастающей отдачи от масштаба произ водства. Расстояние между изоквантами уменьшается (рис. 4.9а); •увеличивается в случае убывающей отдачи от масштаба производ ства. Расстояние между изоквантами увеличивается (рис. 4.9б). Пример 12. Производственная функция задана формулой P = 40L + 70K. Покажем, что данная функция является однородной, причем сте пень однородности равна единице: P 1 = 40( tL) + 70(tK) = t(40L + 70K) = t 1 P 0 Из данного примера следует, что линейная производственная функция характеризуется постоянной отдачей от масштаба производ ства, т.е. увеличение затрат всех ресурсов в t раз приводит к увеличе нию выпуска продукта также в t раз. Рис. 4.9. Отдача от масштаба производства: а) возрастающая: б) убывающая а) б) Прибыль производителя Рассмотрим ситуацию, когда при производстве некоторого продукта ис пользуется один ресурс — труд. Затраты труда измеряются численностью наемных рабочих, а цена труда (ставка заработной платы) — месячным заработком рабочего. Цена производимого продукта равна единице, т.е. объем выпуска продукта численно равен выручке производителя. Цена спроса на труд iго рабочего — максимальный заработок, ко торый готов платить производитель данному рабочему. Обозначим этот показатель через w i , он равен предельному продукту труда iго ра бочего, выраженному в денежных единицах: w i = MP i Из закона падения предельной производительности следует, что цена спроса убывает с увеличением численности рабочих. Цена спроса отражает положительный результат, доставленный производителю трудом рабочего. Но производству обычно также со путствует отрицательный результат, который выражается в расходах производителя на оплату труда данного рабочего. Разность положи тельного и отрицательного результатов производства называют при былью производителя. Прибыль производителя, создаваемая iм рабочим, — это разность между ценой спроса (предельным продуктом) данного рабочего и ры ночной ценой труда: π i = w i – w, где π i и w i — прибыль и цена спроса на труд iго рабочего, w — рыноч ная цена труда, одинаковая для всех рабочих. Прибыль производителя характеризует дополнительный чистый результат, созданный трудом данного рабочего. Этот результат выра жается в том, что производитель фактически экономит денежные средства, выплачивая рабочему заработную плату, меньшую стоимос ти созданного им продукта. Прибыль производителя называют также излишком производителя. Этот показатель может быть положитель ным, отрицательным или равным нулю. Отрицательную прибыль на зывают также убытком. Прибыль производителя, созданная дополни тельным рабочим, убывает с увеличением численности рабочих, поскольку цена спроса (предельный продукт труда) убывает, а рыноч ная цена труда одинакова для всех рабочих. Суммарная прибыль производителя для m рабочих равна сумме зна чений прибыли для всех рабочих: Связь теории потребления и теории производства 97 Π m = π 1 + π 2 + … + π m , где Π m — суммарная прибыль, π i — прибыль, созданная iм рабочим ( I = 1, …, m), m — численность рабочих. Данный показатель характеризу ет общий чистый результат, полученный производителем после исполь зования труда всех рабочих. Суммарная прибыль возрастает с увеличени ем числа рабочих в случае, когда прибыль, создаваемая последним рабочим ( π m ), положительна. Если же она отрицательна, то суммарная прибыль убывает в результате найма дополнительного рабочего. Пример 13. Предельный продукт труда первого нанятого рабочего равен 10 тыс. руб. (в месяц), а предельный продукт труда каждого сле дующего рабочего на 2 тыс. руб. меньше, чем предыдущего. Рыночная цена труда равна 5 тыс. руб. Определим суммарную прибыль произво дителя при использовании труда трех наемных рабочих. Предельный продукт труда равен: для второго рабочего 10–2=8 тыс. руб., для третьего рабочего 8–2=6 тыс. руб. Прибыль производителя рав на: для первого рабочего 10–5=5 тыс. руб., для второго рабочего 8–5=3 тыс. руб., для третьего рабочего 6–5=1 тыс. руб. Суммарная при быль производителя равна 5 + 3 + 1 = 9 тыс. руб. Чистый результат, полученный всеми производителями, использу ющими наемный труд, рассчитывается как сумма соответствующих значений суммарной прибыли. Рыночный излишек производителей — это сумма излишков всех про изводителей, использующих наемный труд. В случае, когда на рынке труда имеются всего два производителянанимателя A и B, рыночный излишек производителей равен П = П А + П В , где П — рыночный излишек производителей, П А и П В — суммарная прибыль производителей A и B соответственно. Важнейшим фактором излишка производителя и рыночного из лишка производителей является рыночная цена труда: чем она выше, тем меньше излишек, и наоборот. Предельный продукт и спрос на ресурс Рассмотрим ситуацию, когда при производстве некоторого продукта используют один ресурс — труд. Исследуем взаимосвязь производст венной функции и спроса производителя на труд. Цену производимо го продукта считаем равной единице, тогда объем выпуска численно Глава 4. Производство 98 равен выручке производителя, а предельный продукт измеряется в де нежных единицах. В данном параграфе показано, что в этом случае кривая предельного продукта труда совпадает с кривой индивидуаль ного спроса производителя на труд. Равновесие производителя — это си туация, когда его прибыль максималь на при заданной рыночной цене труда. Определим условие равновесия про изводителя, для этого обратимся к рис. 4.10. Предельные продукты труда первых трех рабочих изображены в виде трех прямоугольников. Предельный продукт труда первого рабочего равен площади наибольшего прямоугольника с единичным основанием и высотой MP 1 . Предельный продукт труда вто рого рабочего равен площади среднего прямоугольника, а предельный продукт труда третьего рабочего — площади меньшего прямоугольника. Прибыль производителя для первого рабочего положительна, она равна площади заштрихованной части большего прямоугольника. Прибыль производителя для второго рабочего также положительна, она равна заштрихованной части второго прямоугольника. Прибыль производителя для третьего рабочего отрицательна, поскольку высота третьего прямоугольника меньше рыночной цены труда w. Поскольку наем третьего рабочего сократит суммарную прибыль производителя, этот рабочий не будет нанят, т.е. будут заняты два рабочих. Отсюда следует условие равновесия производителя: суммарная прибыль произ водителя максимальна, если для последнего нанятого рабочего предель ный продукт труда больше рыночной цены труда, а для следующего рабо чего предельный продукт труда меньше рыночной цены труда. Если ресурс используется непрерывно (например, затраты труда измеряются продолжительностью рабочего времени, а не числом ра бочих), то в состоянии равновесия прибыль, доставляемая последним бесконечно малым используемым количеством труда, равна нулю, т.е. предельный продукт (цена спроса) равен рыночной цене труда. В этом случае условие равновесия формулируется проще: прибыль производи теля максимальна, если предельный продукт равен рыночной цене труда: MP = w . Данное равенство означает, что кривая предельного продукта совпа дает с индивидуальной кривой спроса производителя на труд. Чтобы убе диться в этом, вновь обратимся к рис. 4.10. Если цена труда равна w 1 (т.е. Связь теории потребления и теории производства 99 Рис. 4.10. Предельный продукт и спрос на труд MP 1 ), то равновесный объем затрат труда (объем спроса) равен 1му ра бочему. Если цена труда равна MP 2 , то объем спроса на труд равен 2м ра бочим. Если цена равна MP 3 , то объем спроса на труд равен 3м рабочим. Соединим соответствующие вершины прямоугольников плавной лини ей, получим кривую индивидуального спроса на труд D. Заметим, что факт совпадения кривой предельного продукта и кривой индивидуального спроса на труд иногда выражают равенством MP = D, которое не вполне корректно. Действительно, предельный продукт (цена спроса) в данном случае измеряется в денежных едини цах, а объем спроса — в единицах труда (численность рабочих, рабо чее время). Поэтому названные экономические показатели нельзя приравнивать друг к другу. Функции предельного продукта и индиви дуального спроса не равны, хотя их графики совпадают. Пример 14. Производственная функция задана формулой: P = 6L 0,5 , где P — выпуск продукта, L — затраты труда. Цена производимого продукта равна единице. Определим функцию индивидуального спроса производителя на труд. Продифференцировав производственную функцию, получим функцию предельного продукта труда: MP = 3L –0,5 Согласно условию равновесия, предельный продукт равен рыноч ной цене труда: 3 L –0,5 = w, отсюда L = 9/w 2 Полученное равенство описывает функцию индивидуального спроса на труд. Производственная функция Кобба—Дугласа Наиболее известной производственной функцией является функция Кобба—Дугласа, она имеет следующий вид: P = AL α K β , где P — выпуск продукта, L — затраты труда, K — затраты капитала, A, α, β — положительные параметры. Данная функция описывает опре деленную технологию производства продукта. Экономический смысл параметров производственной функции Кобба—Дугласа следующий. Глава 4. Производство 100 Параметр A характеризует производительность технологии произ водства, он равен выпуску продукта при единичных затратах труда и капитала. Например, когда используются один рабочий и один станок. Параметр α характеризует роль труда в производстве, он равен эла стичности производственной функции по затратам труда: Связь теории потребления и теории производства 101 Параметр β характеризует роль капитала в производстве, он равен эластичности производственной функции по затратам капитала: ∆P/P α = . ∆L/L ∆P/P β = . ∆K/K Производственная функция Кобба—Дугласа является однородной со степенью однородности α + β, отсюда следует, что: •если α + β равно 1, то имеет место постоянная отдача от масшта ба производства, т.е. увеличение затрат обоих ресурсов в t раз приве дет к увеличению выпуска продукта также в t раз; •если α + β больше 1, то имеет место возрастающая отдача от мас штаба производства, т.е. увеличение затрат обоих ресурсов в t раз при ведет к увеличению выпуска продукта более, чем в t раз; •если α + β меньше 1, то имеет место убывающая отдача от мас штаба производства, т.е. увеличение затрат обоих ресурсов в t раз при ведет к увеличению выпуска продукта менее чем в t раз. Исследуем более подробно производственную фунцию Кобба—Ду гласа с постоянной отдачей от масштаба производства, она имеет вид P = AL α K 1– α , где α — параметр, значение которого больше нуля и меньше единицы. Капиталовооруженность труда K/L обозначим через k. Предельные продукты труда и капитала являются функциями ка питаловооруженности труда: MP L = Aбk 1– α ; MP K = A(1 – α)k – α Из этих формул следует, что с увеличением капиталовооруженнос ти труда предельная производительность труда увеличивается, а пре дельная производительность капитала уменьшается. Предельная норма технологического замещения для исследуемой производственной функции равна MRTS = k α/(1 – α). Следовательно, при заданном параметре α предельная норма тех нологического замещения пропорциональна капиталовооруженности труда. Отсюда, в частности, следует, что при увеличении капиталово оруженности в 2 раза ценность труда, выраженная в единицах капита ла, также увеличится в 2 раза. Условие равновесия производителя имеет вид: k = (1 – α)w/ αr, где w — цена труда, r — цена капитала. Данное соотношение описыва ет линию роста, которая является прямой, проходящей через начало координат. При прочих равных условиях оптимальная капиталово оруженность увеличивается с ростом цены труда, поскольку подоро жавший труд замещается в производстве капиталом, цена которого не изменилась. Аналогично оптимальная капиталовооруженность труда уменьшается с ростом цены капитала, поскольку подорожавший ка питал замещается трудом, цена которого не изменилась. Решив систему уравнений, составленную из условия равновесия и бюджетного ограничения производителя, получим равновесные объ емы затрат труда и капитала: L = C α/w; K = C(1 – α)/r, где C — издержки производителя. Из этих соотношений следует, что равновесные затраты труда равны произведению максимально воз можного объема затрат труда ( C/w) и параметра α, характеризующего роль труда в производстве. Соответственно равновесные затраты ка питала равны произведению максимально возможного объема затрат капитала ( C/r) и параметра 1– α, характеризующего роль капитала в производстве. Чем значительнее роль ресурса в производстве, тем ближе равновесный объем затрат этого ресурса к максимально воз можному значению. Заметим, что равновесный объем затрат одного ресурса не зависит от цены другого ресурса. Пример 15. Производственная функция Кобба—Дугласа задана формулой P = 30L 0,2 K 0,8 , где L — число рабочих, K — число станков. Месячный заработок одного рабочего равен 5 тыс. руб., цена аренды одного станка составляет 10 тыс. руб. в месяц. Издержки производителя составляют 100 тыс. руб. в месяц. Предельные продукты труда и капитала выражаются следующими формулами: MP L = 6 k 0,8 ; MP K = 24 k –0,2 , где k — капиталовооруженность труда. Условие равновесия имеет вид Глава 4. Производство 102 k = (0,8 × 5)/(0,2 × 10) = 2, или k = 2. Таким образом, в состоянии равновесия один рабочий обслужива ет два станка. Равновесные объемы затрат труда и капитала равны: L = 100 × 0,2 : 5=4; K = 100 × 0,8 : 10 = 8. Таким образом, в состоянии равновесия производитель использу ет 4 рабочих и 8 станков. Максимальный объем выпуска при заданных ценах ресурсов и издержках производителя равен P = 30 × 4 0,2 × 8 0,8 = 208,9. Предположим теперь, что производитель увеличил затраты на по купку ресурсов в 1,5 раза. Поскольку линия роста характеризуется по стоянной капиталовооруженностью труда, равновесные затраты труда и капитала также увеличатся в 1,5 раза и составят 4 × 1,5 = 6 рабочих и 8 × 1,5 = 12 станков. Поскольку заданная производственная функция Кобба—Дугласа отличается постоянной отдачей от масштаба произ водства, равновесный выпуск продукта также увеличится в 1,5 раза и составит 208,9 × 1,5 = 313,35. Эффективность производства Цель производителя — получить наибольший выпуск продукта при наименьших затратах (расходах) ресурсов. Соотношение полезного результата и затрат называют эффективностью производства. Пробле ма в том, как ее измерить, если производитель выпускает несколько разнообразных продуктов, когда не существует натурального (выра женного в единицах продукта) измерителя суммарного выпуска про дуктов. Аналогично, как правило, нельзя измерить суммарные затра ты ресурсов с помощью единого натурального показателя. Если производится один продукт и использует один ресурс, эффек тивность рассчитывается просто, как отношение выпуска продукта к затратам ресурса. В этом случае эффективность производства называ ют производительностью ресурса. Например, рабочий за 5 ч изготовил 15 деталей; соответственно производительность его труда составила 3 детали в час. В общем случае, когда имеется несколько продуктов и несколько ре сурсов, используют два основных метода оценки эффективности произ водства. Первый метод — стоимостной. В этом случае эффективность производства рассчитывают как отношение стоимости произведенных продуктов к стоимости затраченных ресурсов. Недостаток данного ме Связь теории потребления и теории производства 103 тода заключается в том, что он учитывает не только чисто производст венные показатели (выпуски и расходы), но и показатели, не связанные непосредственно с производством (цены продуктов и ресурсов). Второй метод оценки эффективности производства назван в честь его создателя итальянского экономиста В. Парето. Метод Парето не предполагает какоголибо способа расчета показателя эффективнос ти, зато он позволяет сравнивать различные варианты производства по критерию эффективности. Под вариантом производства понимают упорядоченный набор выпусков продуктов и затрат ресурсов. В запи си варианта производства выпуски продуктов отделяют от затрат ре сурсов вертикальной чертой. Числа, расположенные слева от этой черты, задают производственную возможность. Если выпусков про дуктов равны соответственно x и y, а затраты ресурсов равны m, n и k, то вариант производства запишется в виде вектора ( x, y | m, n, k). Из двух вариантов производства более эффективным по Парето явля ется тот, при котором выпуск всех продуктов не меньше, а затраты всех ре сурсов не больше, чем при другом варианте (мы не говорим «больше» вместо «не меньше», поскольку допускается равенство сравниваемых ве личин). Если у варианта производства существует более эффективный, по Парето, вариант, то исходный вариант называется Парето неэффектив ным. Если у варианта производства не существует более эффективного, по Парето, варианта, то такой вариант называют Парето оптимальным. Сущность метода Парето выражает известная пословица: «Лучше быть богатым и здоровым, чем бедным и больным». Иными словами, один вариант производства должен превосходить другой вариант по всем без исключения параметрам. Отметим важнейшие особенности метода Парето: •существуют пары вариантов производства, которые не сравнимы по критерию Паретоэффективности. Если, например, один человек богатый и больной, а другой бедный и здоровый, то нельзя объектив но заключить, кому из них лучше живется. Эти варианты, по Парето, не сравнимы; •обычно Паретооптимальный вариант не единствен. Если поми мо упомянутых выше индивидов других индивидов нет, то состояние обоих следует признать Паретооптимальным. Если же имеется тре тий индивид, который богат и здоров, то только его состояние будет Паретооптимальным. Пример 16. Рассмотрим три варианта производства: A(3,4 | 22,35,58), B(3,4 | 20,35,56), C(1,2 | 20,31,52). Глава 4. Производство 104 Сравним варианты A и B. Все их выпуски равны, а затраты ресур сов у варианта B не больше, чем у A. Поэтому вариант A Паретонеэф фективный. Варианты B и C не сравнимы, поскольку у варианта B вы пуски больше, но и затраты ресурсов больше, чем у C. Итак, варианты B и C Паретооптимальны. Линейная модель производства Мы подробно рассмотрели случай производства одного продукта и ис пользования двух ресурсов. Однако обычно на практике предприятия производят несколько продуктов одновременно, используя при этом раз личные ресурсы. В связи с этим разберем случай производства двух про дуктов, причем число используемых ресурсов может быть произвольным. Предположим, что некоторое предприятие выпускает продукты X и Y, расходуя ресурсы M и N. Введем обозначения: x — выпуск продукта X; y — выпуск продукта Y; m — объем ресурса M (его запас); n — объем ресурса N (его запас); a 11 — расход ресурса M при производстве единицы продукта X; a 12 — расход ресурса M при производстве единицы продукта Y; a 21 — расход ресурса N при производстве единицы продукта X; a 22 — расход ресурса N при производстве единицы продукта Y; p x — цена продукта X; p y — цена продукта Y. В данном случае никакая обычная производственная функция не может описать процесс производства, поэтому роль производствен ной функции выполняется функция общего дохода (выручки): TR(x,y) = p x x + p y y . Первое слагаемое в правой части данного равенства равно стоимо сти произведенного продукта X, а второе слагаемое — стоимости про изведенного продукта Y. Отметим, что при заданных запасах ресурсов максимум прибыли достигается одновременно с максимумом выруч ки. Поскольку здесь прибыль равна разности переменной выручки и постоянной величины затрат на ресурсы, функция выручки является в данном случае целевой функцией производителя. Изокванта целевой функции производителя есть множество набо ров продуктов одинаковой стоимости. В линейной модели производ ства изокванта изображается отрезком прямой, наклон которого к осям координат определяется соотношением цен продуктов. Связь теории потребления и теории производства 105 В стремлении максимизировать свою выручку производитель двух продуктов, как и производитель одного продукта, сталкивается с оп ределенными ограничениями. Если в случае одного продукта ограни чителем служила величина бюджета производителя, то в случае двух продуктов каждый используемый ресурс дает свое ограничение, свя занное с ограниченностью запаса ресурса. Получим первое ограничение. Расход ресурса M при производстве всего количества продукта X равен a 11 x, а его расход при производст ве всего количества продукта Y равен a 12 y. Поскольку суммарный рас ход не может превосходить запаса ресурса, первое ограничение запи шется следующим образом: a 11 x + a 12 y ≤ m. Аналогично второе ограничение, отвечающее ресурсу N, запишет ся как: a 21 x + a 22 y ≤ n. Планом производства называют пару выпусков продуктов (x, y), которая удовлетворяет обоим ограничениям. Равновесный (оптимальный) план производства есть такой план, ко торый максимизирует функцию выручки при заданных двух ограни чениях. С формальной точки зрения нахождение равновесного плана состоит в максимизации линейной функции выручки при линейных ограничениях. Эта задача линейного программирования для случая двух продуктов имеет достаточно простой и наглядный геометричес кий метод решения. Суть данного метода заключается в следующем. Каждое линейное ограничение задает некоторую полуплоскость, по этому множество планов производства представляет собой много угольник, образованный пересечением нескольких полуплоскостей (их число равно числу ресурсов). Поскольку функция выручки линей на, она достигает своего максимального значения в одной из вершин этого многоугольника. Оптимальность или неоптимальность вершины многоугольника планов зависит от наклона изоквант функции выручки. Условие оп тимальности плана производства состоит в том, что проходящая че рез него изокванта функции выручки не должна пересекать внутрен нюю часть многоугольника. Иными словами, в точке равновесия производителя изокванта функции выручки касается многоугольника планов. Пример 17. Запасы ресурсов, технологические коэффициенты и цены продуктов заданы в табл. 4.2. Найдем оптимальный план производства. Глава 4. Производство 106 |