книга. Микроэкономика базовая дисциплина, на которую опираются многие теоретические и практические учебные дисциплины в сис

• Название: Микроэкономика базовая дисциплина, на которую опираются многие теоретические и практические учебные дисциплины в сис
• Дата: 09.11.2022
• Размер: 1.46 Mb.
• Имя файла: книга.pdf
• Тип: Документы; #778747
• страница: 4 из 20

благом, если предельная полезность положи
тельна, и
антиблагом — если она отрицательна. Один и тот же товар может выступать благом при низ
ких объемах потребления, и анти
благом — при больших объемах потребления. Например, после длительного периода голодания хлеб является благом, а после плотного обеда — антиблагом.
На рис. 3.1 изображены кривые общей полезности (сверху) и пре
дельной полезности (снизу). Пре
дельная полезность равна танген
су угла наклона касательной к графику общей полезности. Объ
ем потребления продукта, доставляющий индивиду максимум полез
ности, обозначен через
x
0
. При увеличении объема потребления от нуля до
x
0
общая полезность возрастает замедляющимся темпом, а предельная полезность положительна. При увеличении объема по
требления сверх значения
x
0 общая полезность уменьшается ускоряю
щимся темпом, а предельная полезность отрицательна. Как видно из рисунка, предельная полезность убывает при любом объеме потребле
ния продукта, что выражает закон насыщения потребностей.
Пример 1. Функция полезности задана формулой
U = 6x
0,5
Функция полезности
47
Рис. 3.1. Общая полезность и предельная полезность а)
б)

Общая полезность при объеме потребления 9 равна 6
× 9 0,5
= 18.
Определим функцию предельной полезности, для чего продифферен
цируем функцию общей полезности:
MU = 3x
–0,5
Предельная полезность при объеме потребления 9 равна 3
× 9
–2
= 1.
В данном примере предельная полезность принимает только положи
тельные значения, а функция общей полезности монотонно возраста
ет и не имеет максимума.
Пример 2. Функция полезности задана формулой
U
i
= 11
i – i
2
Общая полезность при объеме потребления 4 единицы равна
11
× 4 – 4 2
= 28. Определим функцию предельной полезности:
MU
i
=
U
i
–
U
i–1
= (11
i – i
2
) – (11(
i–1) – (i–1)
2
) = 12 – 2
i.
Предельная полезность при объеме потребления 4 единицы равна
12 – 2
× 4 = 4. В данном примере предельная полезность равна нулю при объеме потребления 6 единиц. Следовательно, при данном объе
ме потребления общая полезность достигает максимального значе
ния, равного 11
× 6 – 6 2
= 30.
Более сложная функция полезности
U(x,y) описывает ситуацию,
когда человек потребляет набор из двух продуктов: продукт
X в коли
честве
x и продукт Y в количестве y. Если продукты потребляются дис
кретно, то функцию полезности обозначают также через
U
ij
, где
i —
количество потребленных единиц продукта
X, а j — количество по
требленных единиц продукта
Y. В случае потребления набора двух продуктов рассматривают две функции предельной полезности.
Предельная полезность продукта X — добавочное удовлетворение,
доставленное индивиду последней потребленной единицей данного продукта при неизменном объеме потребления другого продукта:
Глава 3. Потребление
48
∆U
MU
x
= ,
∆x
где
MU
x
— предельная полезность продукта
X.
Предельная полезность продукта Y — добавочное удовлетворение,
доставленное индивиду последней потребленной единицей данного продукта при неизменном объеме потребления другого продукта:
∆U
MU
y
= ,
∆y

где
MU
y
— предельная полезность продукта
Y. Подчеркнем, что значе
ние предельной полезности каждого продукта зависит от объемов по
требления обоих продуктов, т.е. функция предельной полезности, как и функция общей полезности, является функцией двух переменных.
В случае, когда продукты потребляются непрерывно, каждая функция предельной полезности является частной производной функции общей полезности:
Функция полезности
49
В случае, когда продукты потребляются дискретно, предельная по
лезность является разностью значений полезности двух наборов, у ко
торых объемы потребления одного продукта различаются на единицу,
а объемы потребления другого продукта равны между собой:
MU
x,ij
=
U
ij
–
U
i–1,j
;
MU
y,ij
=
U
ij
–
U
i,j–1
,
где
MU
x,ij
— предельная полезность
iй единицы продукта X, MU
y,ij
—
предельная полезность
jй единицы продукта Y, U
ij
— полезность за
данного набора продуктов (
i,j), U
i–1,j
— полезность набора, получен
ного из заданного набора вычитанием одной единицы продукта
X,
U
i,j–1
— полезность набора, полученного из заданного набора вычита
нием одной единицы продукта
Y.
Предельная полезность каждого продукта может быть положи
тельной, отрицательной или равной нулю. С увеличением объема по
требления продукта соответствующая функция предельной полезнос
ти убывает, т.е. выполняется закон насыщения потребностей. Общая полезность достигает максимума, когда обе предельные полезности равны нулю.
Пример 3. Функция полезности задана формулой
U = 4x
0,5
y.
Общая полезность при потреблении набора продуктов (9, 6) равна
4
× 9 0,5
× 6 = 72. Определим функцию предельной полезности первого продукта, для чего найдем соответствующую частную производную функции полезности:
MU
x
= 2
x
–0,5
y.
Предельная полезность первого продукта при потреблении задан
ного набора равна 2
× 9
–0,5
× 6 = 4. Аналогично определяется функция предельной полезности второго продукта.
U
MU
x
= ,
x
U
MU
y
= ,
y

Кривая безразличия
Рассмотрим функцию полезности двух переменных
U(x,y). Ее графи
ком служит некоторая трехмерная поверхность, которую неудобно изображать и исследовать. Поэтому в микроэкономике вместо графи
ка функции полезности двух аргументов исследуют карту (множество)
кривых безразличия данной функции.
Кривая безразличия — множество точек плоскости, которое изобра
жает наборы продуктов равной полезности:
U(x,y) = const.
Кривой безразличия соответствуют точки трехмерного графика функции полезности, расположенные на одинаковой высоте над ко
ординатной плоскостью
XOY. При исследовании кривых безразличия термины «набор продуктов» и «точка плоскости» используют как си
нонимы.
Кривые безразличия
не пересекаются, докажем это. Если допус
тить, что две разные кривые безразличия пересекаются в некоторой точке, тогда точки обеих кривых безразличия имеют полезность, рав
ную полезности общей точки. А, значит, согласно определению кри
вой безразличия, все эти наборы лежат на одной кривой безразличия,
а не на двух разных кривых безразличия. Таким образом, наше пред
положение привело нас к противоречию, поэтому оно ошибочно.
Основные свойства кривых безразличия зависят от того, к какому типу относятся потребляемые продукты: к благам или антиблагам.
Рассмотрим три основных случая: благо — благо, благо — антиблаго,
антиблаго — антиблаго.
Благо — благо. Кривая безразличия является нисходящей и вогну
той к началу координат (рис. 3.2а). Чем дальше расположена кривая безразличия от начала координат, тем большая полезность ей соответ
Глава 3. Потребление
50
Рис. 3.2. Кривые безразличия: а) благо — благо; б) благо — антиблаго; в) антиблаго — антиблаго б)
в)
а)

ствует. Из рисунка следует, что
U
2
больше чем
U
1
. Полезность положи
тельна для каждого набора продуктов.
Пример 4. Функция полезности задана формулой U = xy. Тогда на
боры, доставляющие полезность 4, изображаются кривой безразли
чия
y = 4/x.
Благо — антиблаго. Предположим, что продукт X — благо, а про
дукт
Y — антиблаго. Тогда кривая безразличия является восходящей и вогнутой к оси
OY. (рис. 3.2б). Чем дальше кривая безразличия распо
ложена от данной оси (и чем ближе она к оси
OX), тем больше полез
ность соответствующих наборов. Кривая безразличия, проходящая через начало координат, обозначена на рисунке через
U
0
; ей отвечают наборы с нулевой полезностью. Наборы, расположенные правее этой кривой, имеют положительную полезность, а расположенные левее ее — отрицательную полезность. Из рисунка следует, что значение
U
1
положительно, а значение
U
2
отрицательно.
Пример 5. Функция полезности задана формулой U = 18x
0,5
– 2
y
2
Тогда наборы, доставляющие нулевую полезность, изображаются кривой
y = 3x
0,25
(кривая
U
0
на рис. 3.2б).
Антиблаго — антиблаго. Кривая безразличия является восходящей и вогнутой от начала координат (рис. 3.2в). Чем дальше расположена кривая безразличия от начала координат, тем меньшая полезность ей соответствует. Из рисунка следует, что
U
2
меньше, чем
U
1
. Полезность отрицательна для каждого набора продуктов.
Пример 6. Функция полезности задана формулой U = –x
2
–
y
2
. Тог
да наборы, доставляющие отрицательную полезность — 9, изобража
ются участком кривой
x
2
+
y
2
= 9, который представляет собой дугу окружности с радиусом 3.
Рассмотрим особый случай, когда оба продукта являются благами при небольших объемах потребления, и антиблагами —
при больших объемах потребления. Тогда кривые безразличия функции полезности
замкнуты. Примером может служить любая пара продуктов питания, потребляемых совместно: хлеб—масло, чай—сахар и др.
На рис. 3.3 изображены две замкнутые кривые безразличия
a и b. В точке A оба продукта являются благами, а соответству
ющий участок кривой безразличия являет
ся нисходящим. В точке
B продукт X — благо, а продукт Y — антибла
го, кривая безразличия является восходящей. В точке
D продукт X —
Функция полезности
51
Рис. 3.3. Замкнутые кривые безразличия

антиблаго, а продукт
Y — благо, кривая безразличия является восхо
дящей. В точке
C оба продукта — антиблага, кривая безразличия яв
ляется нисходящей.
В рассматриваемом случае существует наилучший набор продук
тов с максимального значения, на рисунке он обозначен через
R. Дан
ный набор изображается точкой, которая фактически представляет собой специфическую кривую безразличия, отвечающую максималь
но возможной полезности. Чем ближе кривая безразличия к данной точке, тем большая полезность ей соответствует. Так, кривая
b отвеча
ет большему значению полезности, чем кривая
a.
Полезность наборов
A, B, C и D не достигает максимально возмож
ного значения по разным причинам. Набор
A не является наилучшим изза недостаточного потребления обоих продуктов, а набор
C — из
за их избыточного потребления. Наборы
B и D не являются наилуч
шими по причине того, что потребление одного продукта недостаточ
но, а потребление другого продукта избыточно.
Предельная норма замещения
Рассмотрим подробнее кривую безразличия в случае, когда оба про
дукта являются благами (рис. 3.4). Предположим, что индивид по
требляет набор продуктов
А, но затем он принимает решение увели
чить объем потребления первого продукта на
∆x, не изменяя общей полезности набора. Тогда он вынужден отказаться от потребления не
которого количества
∆y второго продукта. Новый набор продуктов изображен на рисунке точкой
В.
Предельная норма замещения — количество второго продукта, от потребления которого вынужден отказаться индивид при увеличении объема потребления первого продукта на единицу, в случае, когда по
лезность старого и нового набора одинакова:
Глава 3. Потребление
52
–
∆y
MRS = ,
∆x
где
MRS — предельная норма замещения (от англ. marginal rate of substi
tution — предельная норма замещения),
∆x — изменение объема по
требления продукта
X,
∆y — изменение объема потребления продукта Y.
Поскольку кривая безразличия является нисходящей, изменения объе
мов потребления продуктов всегда имеют разный знак, а их отношение отрицательно. Поэтому в формуле предельной нормы замещения по
ставлен знак «минус», чтобы данный показатель был положительным.

Согласно определению, предельная норма замещения равна тангенсу угла
В
(треугольник
АВС на рис. 3.4). При малых изменениях объемов потребления продук
тов данный показатель равен тангенсу угла наклона касательной к кривой безразли
чия, т.е. он равен производной функции,
графиком которой служит данная кривая безразличия.
Экономический смысл предельной нормы замещения следующий: она выра
жает относительную
ценность для индиви
да первого продукта, выраженную в единицах второго продукта. Чем больше предельная норма замещения, тем большим количеством вто
рого продукта готов пожертвовать индивид, чтобы увеличить объем потребления первого продукта на единицу.
Главное свойство предельной нормы замещения состоит в следую
щем: данный показатель уменьшается с увеличением объема потреб
ления первого продукта. Из рис. 3.4 следует, что наклон касательной к кривой безразличия уменьшается с увеличением объема потребления первого продукта. Данное свойство предельной нормы замещения вытекает из закона насыщения потребностей: чем больше объем по
требления продукта, тем меньшую полезность доставляет его допол
нительная единица.
Пример 7. Функция полезности задана формулой
U = 2xy.
Определим предельную норму замещения для набора продуктов (3, 5).
Рассчитаем полезность заданного набора, она равна 2
× 3 × 5 = 30. Сле
довательно, кривая безразличия, проходящая через точку (3, 5), задана функцией
30 = 2
xy, или y = 15/x.
Продифференцировав данную функцию, получим формулу пре
дельной нормы замещения:
MRS = 15/x
2
Итак, при потреблении индивидом 3 единиц первого продукта и 5 еди
ниц второго продукта предельная норма замещения равна 15 : 3 2
= 1,67.
Это значит, что если потребитель примет решение увеличить на еди
ницу объем потребления первого продукта без изменения общей по
Функция полезности
53
Рис. 3.4. Предельная норма замещения

лезности, то он будет вынужден отказаться от потребления 1,67 еди
ниц второго продукта.
Выразим предельную норму замещения через показатели предель
ной полезности продуктов. Для этого правую часть формулы предель
ной нормы замещения умножим и разделим на прирост общей полез
ности
∆U, получим
Глава 3. Потребление
54
Из данной формулы следует свойство убывания предельной нормы замещения: с увеличением объема потребления первого продукта его предельная полезность (числитель) уменьшается, а с уменьшением объема потребления второго продукта его предельная полезность (зна
менатель) увеличивается. Таким образом, числитель дроби уменьшает
ся, а знаменатель увеличивается, поэтому дробь (предельная норма за
мещения) уменьшается.
Исследуем кривые безразличия и предельную норму замещения для некоторых частных случаев функции полезности.
Продукты называют
совершенно заменяемыми, если потребителю безразлично, какой из двух продуктов потреблять. Примером служат шоколадные батончики «Марс», изготовленные на разных фабриках.
В этом случае функция полезности зависит от суммарного объема по
требления обоих продуктов, она имеет вид:
U(x + y).
Кривая безразличия данной функции полезности представляет со
бой отрезок прямой, наклоненный под углом 45
° к горизонтальной оси (рис. 3.5а). Из рисунка следует, что для совершенно заменяемых продуктов предельная норма замещения равна
единице, т.е. данные товары равноценны для потребителя.
Пример 8. Продукты являются совершенно заменяемыми. Тогда следующие наборы доставляют индивиду равную полезность, по
скольку суммарный объем потребления обоих продуктов во всех на
борах одинаков и равен 10: (4, 6), (1, 9), (10, 0), (7, 3).
Продукты называют
совершенно дополняемыми, если они потреб
ляются только в комплекте, причем комплект состоит из строго оп
ределенных количеств каждого продукта. Примером служит пара обуви, состоящая из правого и левого ботинок (предполагается, что все ботинки имеют одинаковый фасон, т.е. любой левый ботинок можно носить с любым правым ботинком и наоборот). В случае со
вершенно дополняемых продуктов функция полезности зависит от
MU
x
MRS = .
MU
y

максимального количества комплектов, которые можно образовать из данного набора продуктов. Рассмотрим простейший случай, когда в комплект входит одна единица первого продукта и одна единица второго продукта (пара обуви). Тогда функция полезности зависит от объема того продукта, количество которого в наборе наименьшее,
она имеет вид:
U(min(x,y)).
Кривая безразличия данной функции полезности состоит из двух лучей, которые параллельны осям координат и исходят из одной точ
ки, расположенной на биссектрисе координатного угла (рис. 3.5б).
Из рисунка следует, что для совершенно дополняемых продуктов предельная норма замещения равна
нулю, т.е. увеличение объема по
требления первого продукта не потребует сокращения объема по
требления второго продукта при неизменной полезности. Для того чтобы убедиться в этом, предположим, что индивид принял решение увеличить свой гардероб на один правый ботинок. Если изначально левых ботинок было больше, то полезность набора увеличится, и по
требитель переместится на другую кривую безразличия. В этом слу
чае не имеет смысла говорить о предельной норме замещения. Если же изначально число левых ботинок было не больше числа правых,
то дополнительный правый ботинок не увеличит полезности набо
ра, а потребитель переместится вправо по горизонтальному участку кривой безразличия. В этом случае предельная норма замещения равна нулю.
Пример 9. Продукты являются совершенно дополняемыми, при
чем в комплект входит по одной единице каждого продукта (пара обу
ви). Тогда следующие наборы доставляют индивиду равную полез
Функция полезности
55
Рис. 3.5. Частные случаи кривых безразличия: а) совершенно заменяемые продукты; б) совершенно дополняемые продукты а)
б)

ность, поскольку из каждого набора можно образовать 2 комплекта:
(4, 2), (2, 2), (2, 8), (10, 2).
Продукт называют
нейтральным для потребителя, если полезность набора не зависит от объема потребления данного продукта. Если нейтральным является продукт
X, то кривые безразличия являются горизонтальными прямыми, а предельная норма замещения равна нулю. Если нейтральным является продукт
Y, то кривые безразличия являются вертикальными прямыми, а предельная норма замещения равна бесконечности.
Бюджетная линия
Рассмотрим ситуацию, когда индивид потребляет продукты
X и Y,
причем цена первого продукта равна
p
x
, а цена второго продукта рав
на
p
y
. Потребитель получает доход
I и полностью тратит его на покуп
ку данных товаров. Тогда выполняется следующее соотношение, ко
торое называют
бюджетным ограничением потребителя:
p
x
x + p
y
y = I,
где
x и y — объемы потребления первого и второго продуктов соответ
ственно. Точки плоскости, удовлетворяющие бюджетному ограниче
нию, составляют
бюджетную линию потребителя. Исследуем свойства бюджетной линии, для этого запишем бюджетное ограничение в сле
дующем виде:
y = –(p
x
/
p
y
)
× x + I/p
y
Из данной формулы следует, что бюджетная линия представляет собой отрезок прямой, тангенс угла наклона которого к горизонталь
ной оси равен отношению цен продуктов
p
x
/
p
y
. Левый конец этого от
резка пересекает вертикальную ось в точке
I/p
y
— это максимальное количество второго продукта, которое может приобрести потребитель при данном доходе. Бюджетная линия пересекает горизонтальную ось в точке
I/p
x
— это максимальное количество первого продукта, кото
рое может приобрести потребитель при данном доходе. Треугольник,
образованный бюджетной линией и осями координат, называют
мно(
жеством достижимых наборов продуктов.
Пример 10. Доход потребителя равен 40, цены продуктов X и Y рав
ны 2 и 5 соответственно. Тогда бюджетное ограничение имеет следу
ющий вид:
2
x + 5y = 40.
Глава 3. Потребление
56

Бюджетная линия пересекает ось
OX в точке 40 : 2 = 20, а ось OY —
в точке 40 : 5 = 8. Тангенс угла наклона бюджетной линии к оси
OX ра
вен 2 : 5 = 0,4.
Исследуем перемещения бюджетной линии в результате измене
ния дохода и цен продуктов. Рассмотрим четыре возможных случая.
Изменение дохода потребителя. При увеличении дохода бюджетная линия сдвигается вправо параллельно себе. Этот случай показан на рис. 3.6а, на нем бюджетная линия сдвигается из положения
AB в по
ложение
A
1
B
1
, причем угол ее наклона не изменяется, а множество до
стижимых наборов расширяется. При уменьшении дохода бюджетная линия сдвигается влево параллельно себе, а множество достижимых наборов сужается.
Изменение цены одного продукта. При увеличении цены первого продукта бюджетная линия поворачивается по часовой стрелке вокруг своего левого конца. Этот случай показан на рис. 3.6б, на нем бюджет
ная линия перемещается из положения
AB в положение AB
1
, причем угол ее наклона к горизонтальной оси увеличивается, а множество до
стижимых наборов сужается. При уменьшении цены первого продук
та бюджетная линия поворачивается против часовой стрелки вокруг своего левого конца, причем угол ее наклона к горизонтальной оси уменьшается, а множество достижимых наборов расширяется. Анало
гично исследуют случай изменения цены второго продукта.
Изменение цен обоих продуктов. Если обе цены увеличились, бюд
жетная линия сдвигается влево (как правило, не параллельно себе),
а множество достижимых наборов сужается. Если же обе цены умень
шились, то бюджетная линия сдвигается вправо, а множество дости
жимых наборов расширяется. Если цена одного продукта увеличи
лась, а цена другого продукта уменьшилась, то старая и новая
Функция полезности
57
Рис. 3.6. Перемещение бюджетной линии: а) увеличение дохода; б) увеличение цены первого продукта а)
б)

бюджетные линии пересекаются в некоторой точке, не лежащей на координатных осях. В этом случае старое и новое множества дости
жимых наборов не сравнимы между собой в том смысле, что одно из них не является подмножеством другого.
Изменение дохода и цен обоих продуктов. В этом случае бюджетная линия может занять любое положение.
Равновесие потребителя
В теории потребителя единственной целью индивида считают дости
жение максимально возможной полезности. Рассмотрим случай, ког
да потребляются два продукта.
Равновесие потребителя — это ситуация, когда функция полезнос
ти индивида достигает максимального значения
U(x,y)
→ max при заданном доходе
I и ценах p
x
и
p
y
, т.е. при выполнении бюджетно
го ограничения
p
x
x + p
y
y = I,
где
x и y — объемы потребления продуктов X и Y соответственно. На
бор продуктов, при котором потребитель достигает равновесия, назы
вают
равновесным.
Задача определения равновесного набора в математике называется задачей на условный экстремум, ее решают методом Лагранжа. Решив эту задачу, получим несколько тождественных условий равновесия.
1.
В состоянии равновесия потребителя предельные полезности про(
дуктов, деленные на соответствующие цены, равны между собой:
Глава 3. Потребление
58
Из данного равенства следует, что в состоянии равновесия потре
бителю безразлично, на какой из двух продуктов тратить дополни
тельный рубль. В обоих случаях он получит равную дополнительную полезность.
2.
В состоянии равновесия потребителя предельные полезности про(
дуктов пропорциональны ценам соответствующих продуктов:
MU
x
MU
y
= .
p
x
p
y
MU
x
p
x
= .
MU
y
p
y

Данное равенство следует непосредственно из предыдущего, по
скольку оба равенства выражают одну и ту же пропорцию.
3.
В состоянии равновесия предельная норма замещения равна отно(
шению цен продуктов:
Функция полезности
59
p
x
MRS = .
p
y
Данное равенство следует непосредственно из предыдущего, по
скольку предельная норма замещения, как было показано выше, рав
на отношению предельных полезностей продуктов. Равенство показы
вает, что в состоянии равновесия субъективная оценка относительной ценности продуктов (предельная норма замещения) равна объектив
ной, рыночной, оценке их относительной ценности (отношение цен продуктов).
4.
В состоянии равновесия бюджетная линия потребителя касается
некоторой кривой безразличия его функции полезности.
Данное условие следует непосредственно из предыдущего условия.
Действительно, предельная норма замещения характеризует наклон касательной к кривой безразличия, а отношение цен — угол наклона бюджетной линии. Поскольку эти углы равны, бюджетная линия слу
жит касательной к кривой безразличия.
Равновесие потребителя изобра
жено на рис. 3.7. В точке равновесия
Е
бюджетная линия
AB касается кривой безразличия
a. Рассмотрим какуюли
бо другую кривую безразличия
b, ко
торая пересекает бюджетную линию в точках
M и N. Покажем, что наборы продуктов, соответствующие этим точкам, не являются равновесными:
•точка
M не является точкой рав
новесия, поскольку при движении вниз по бюджетной линии к точке
E
потребитель переходит на кривую безразличия с большей полезностью (на рисунке эта кривая не пока
зана). Следовательно, полезность набора
M не является максимально возможной. В данной точке касательная к кривой безразличия распо
ложена круче, чем бюджетная линия, т.е. предельная норма замеще
ния больше отношения цен продуктов;
•точка
N не является точкой равновесия, поскольку при движении вверх по бюджетной линии к точке
E потребитель переходит на кри
Рис. 3.7. Равновесие потребителя

вую безразличия с большей полезностью (на рисунке не показана).
Следовательно, полезность набора
N не является максимально воз
можной. В данной точке касательная к кривой безразличия имеет меньший наклон, чем бюджетная линия, т.е. предельная норма заме
щения меньше отношения цен продуктов.
Пример 11. Доход потребителя равен 36, цены продуктов X и Y рав
ны 3 и 6 соответственно. Функция полезности потребителя задана формулой
U = 2xy
0,5
Определим равновесный набор и максимальную полезность.
Для этого найдем функцию предельной полезности, дифференци
руя заданную функцию последовательно по обоим аргументам, по
лучим:
MU
x
= 2
y
0,5
;
MU
y
=
xy
–0,5
Предельная норма замещения равна отношению предельных по
лезностей продуктов:
Глава 3. Потребление
60
MU
x
2
y
MRS =
= .
MU
y
x
Согласно условию равновесия (форма записи № 3), предельная норма замещения равна отношению цен продуктов:
2
y/x = 3 : 6, отсюда x = 4y.
Данное равенство задает соотношение между объемами потребле
ния продуктов в равновесном наборе при любой величине дохода по
требителя. Для определения конкретной точки равновесия запишем бюджетное ограничение потребителя для нашего случая:
3
x + 6y = 36.
Подставив в данное равенство соотношение объемов продуктов в равновесном наборе, получим уравнение относительно объема по
требления второго продукта:
3
× 4y + 6y = 36, отсюда y = 2.
Итак, равновесным является набор (8, 2), максимальная полез
ность равна 2
× 8 × 2 0,5
= 22,6. Предельная норма замещения для рав
новесного набора равна 2
× 2 : 8 = 0,5, т.е. она равна отношению цен продуктов 3 : 6. Как мы убедились, условие равновесия потребителя выполняется.

В случае, когда потребляется произвольное количество продуктов,
равновесие достигается при условии равенства отношения предель
ной полезности к цене для всех продуктов:
Функция полезности
61
MU
1
MU
2
MU
n
= = ,
p
1
p
2
p
n
MU
1
MU
2
MU
n
= = ... = ,
p
1
p
2
p
n
где
MU
i
— предельная полезность,
p
i
— цена
iго продукта (i = 1,2,…,n),
n — количество потребляемых продуктов. В данном случае равновесие потребителя не имеет наглядной геометрической интерпретации.
Приведенное выше равенство показывает, что при равновесии по
требителя полезность, извлекаемая из последней денежной единицы,
потраченной на покупку какоголибо продукта, одинакова для всех случаев, независимо от того, на какой именно продукт она израсходо
вана. Это положение получило название
второго закона Госсена.
В состоянии равновесия потребителя отношения предельной по
лезности к цене одинаковы для всех продуктов (см. последнюю фор
мулу). Это отношение называют
предельной полезностью денег. Дан
ный показатель равен приросту общей полезности при увеличении дохода потребителя на единицу:
где
λ — предельная полезность денег.
Пример 12. Потребляются три продукта. Доход потребителя равен
72, цены продуктов равны 2, 3 и 4. Функция полезности имеет вид
U = xyz,
где
x, y и z — объемы потребления продуктов X, Y и Z соответственно.
Определим равновесный набор и максимальную полезность.
Находим предельные полезности, дифференцируя функцию по
лезности по ее трем аргументам:
MU
x
=
yz; MU
y
=
xz; MU
z
=
xy.
Равновесный набор определим как решение системы уравнений с тремя неизвестными:
yz/2 = xz/3 = xy/4; 2x + 3y + 4z = 72.
Решив данную систему, получим равновесный набор (12, 8, 6).
Максимальная полезность равна 12
× 8 × 6 = 576.
Определим предельную полезность денег в состоянии равновесия потребителя, для этого рассчитаем равновесные значения предельной полезности продуктов:

MU
x
= 8
× 6=48; MU
y
= 12
× 6=72; MU
z
= 12
× 8 = 96.
Тогда предельная полезность денег равна
λ = 48 : 2 = 72 : 3 = 96 : 4 = 24.
Таким образом, при увеличении дохода на единицу с 72 до 73 мак
симально возможная полезность увеличится и достигнет значения
576 + 24=600.
В некоторых особых случаях равновесия не выполняется условие равенства предельной нормы замещения и отношения цен продуктов.
Угловое равновесие потребителя — это ситуация, когда предельная норма замещения больше (или меньше) отношения цен продуктов для всех наборов на бюджетной линии потребителя. Угловое равновесие можно также определить как ситуацию, когда отношение предельной полезности к цене больше у одного из продуктов для всех наборов на бюджетной линии. В случае углового равновесия потребляется только один продукт.
Угловое равновесие изображено на рис. 3.8. В данном случае предельная норма замещения меньше отношения цен продуктов, поэтому потребляется только продукт
Y в объеме y
0
. Точкой равновесия служит левый конец
A бюд
жетной линии
AB. Как видно из рисун
ка, наклон касательной к кривой без
различия
а в данной точке меньше угла наклона бюджетной линии (угол
B).
Рассмотрим частные случаи углово
го равновесия. Если один из продуктов является
нейтральным, то потребляется только другой продукт неза
висимо от цен продуктов и дохода потребителя. Если продукты явля
ются
совершенно заменяемыми, а их цены не равны, то потребляется только более дешевый продукт. Если же цены таких продуктов равны,
то некоторая кривая безразличия совпадает с бюджетной линией по
требителя и любой набор продуктов является равновесным, т.е. число равновесных состояний бесконечно.
Пример 13. Потребляемые продукты являются совершенно заменя
емыми, их цены равны 5 и 7. Доход потребителя равен 30, функция полезности неизвестна. Определим равновесный набор. В данном случае предельная норма замещения равна единице, а отношение цен не равно единице, поэтому возможно лишь угловое равновесие. По
Глава 3. Потребление
62
Рис. 3.8. Угловое равновесие потребителя

нятно, что индивид будет потреблять только первый продукт, кото
рый дешевле. Максимальный объем потребления этого продукта ра
вен 30 : 5 = 6. Таким образом, равновесным является набор (6, 0).
Изменение равновесия потребителя
Исследуем влияние изменений дохода и цен продуктов на равновес
ные объемы потребления. В данном параграфе мы отождествляем равновесный объем продукта и объем спроса на этот продукт (товар).
Товар
X мы называем первым, а товар Y — вторым.
Рассмотрим ситуацию, когда изменяется доход потребителя, а це
ны товаров остаются неизменными.
Кривая «доход(потребление» — графическое изображение равно
весных наборов, отвечающих различным значениям дохода при фик
сированных ценах на товары.
На рис. 3.9 изображены три бюджетные линии, которые отвечают значениям дохода
I
1
,
I
2
и
I
3
(перечислены в порядке возрастания).
Кривая «доходпотребление» обозначена через
а, она проходит через равновесные наборы
E
1
,
E
2 и
E
3
, которые отвечают соответствующим значениям дохода. Кривые безразличия, которые касаются соответст
вующих бюджетных линий, на рисунке не показаны. Вид кривой «до
ходпотребление» (восходящая, нисходящая) указывает на тип по
требляемых товаров (нормальные, некачественные).
Рассмотрим два вида кривой «доходпотребление».
Нормальные товары. Кривая «доходпотребление» является восхо
дящей, т.е. с увеличением дохода объем спроса на каждый товар уве
личивается (см. рис. 3.9а).
Функция полезности
63
Рис. 3.9. Кривая «доходпотребление»: а) нормальные товары; б) нормальный товар и некачественный товар а)
б)

Нормальный товар и некачественный товар. Кривая «доходпотреб
ление» является нисходящей. Предположим, что с увеличением дохо
да объем спроса на первый товар увеличивается, а объем спроса на второй товар сокращается (см. рис. 3.9б). Тогда первый товар — нор
мальный, а второй товар — некачественный.
Пример 14. Цены продуктов равны 20 и 5. Функция полезности за
дана формулой
U = xy.
Формулу кривой «доходпотребление» получим из условия равно
весия потребителя:
y/20 = x/5, отсюда y = 4x.
Исследуемая кривая является прямой, проходящей через начало координат. Поскольку она является восходящей, оба товара являются нормальными. Сравним значения коэффициента эластичности спро
са по доходу для данных товаров. При любом доходе объем спроса на второй товар в 4 раза больше объема спроса на первый товар. Более того, при любом изменении дохода прирост объема спроса на второй товар также в четыре раза превосходит прирост объема спроса на пер
вый товар. Следовательно, любое увеличение дохода приведет к рав
ному процентному изменению объемов спроса на данные товары. Та
ким образом, значения эластичности спроса по доходу для данных товаров равны между собой при любом значении дохода потребителя.
Рассмотрим ситуацию, когда изменяется цена одного товара, а до
ход потребителя и цена другого товара остаются неизменными.
Кривая «цена(потребление» — графическое изображение равновес
ных наборов, отвечающих различным значениям цены одного товара при фиксированном доходе и фиксированной цене другого товара.
На рис. 3.9 изображены три бюджетные линии, которые отвечают значениям цены первого товара
p
1
,
p
2 и
p
3
(перечислены в порядке возрастания). Кривая «ценапотребление» обозначена через
b, она проходит через равновесные наборы
E
1
,
E
2
и
E
3
, которые отвечают со
ответствующим значениям цены первого товара. Кривые безразли
чия, которые касаются соответствующих бюджетных линий, на ри
сунке не показаны. Вид кривой «ценапотребление» (восходящая,
нисходящая) указывает на характер совместного потребления товаров
(взаимозаменяемые, взаимодополняемые).
Рис. 3.10.
Рассмотрим два вида кривой «ценапотребление».
Глава 3. Потребление
64

Взаимозаменяемые товары. Кривая «ценапотребление» является нисходящей, т.е. при сокращении равновесного объема потребления первого товара равновесный объем потребления второго товара воз
растает (рис. 3.10а).
Взаимодополняемые товары. Кривая «ценапотребление» является восходящей, т.е. при сокращении равновесного объема потребления первого товара равновесный объем потребления второго товара также сокращается (рис. 3.10б).
Несопряженные товары. Кривая «ценапотребление» является го
ризонтальной прямой, т.е. при сокращении равновесного объема по
требления первого товара равновесный объем потребления второго товара не изменяется. На рисунке этот случай не показан.
Пример 15. Доход потребителя равен 100, цена второго продукта равна 5. Функция полезности задана формулой
U = 2xy.
Обозначим через
p цену первого товара и запишем условие равно
весия:
2
y/p = 2x/5; отсюда y = px/5.
Подставив полученное соотношение в бюджетное ограничение,
получим:
px + 5
× px/5 = 100; отсюда x = 50/p.
Полученное соотношение между равновесным объемом потребле
ния первого продукта и его ценой есть
функция спроса на данный про
дукт. Подставив эту функцию в бюджетное ограничение, получим:
p
× 50/p + 5y = 100; отсюда y =10.
Функция полезности
65
Рис. 3.10. Кривая «ценапотребление»: а) взаимозаменяемые товары; б) взаимодополняемые товары а)
б)

Таким образом, равновесный объем потребления второго продукта неизменно равен 10 при любой цене первого продукта, т.е. данные това
ры являются
несопряженными. Кривая «ценапотребление» представляет собой горизонтальную прямую, пересекающую ось ординат в точке 10.
Пример 16. Доход потребителя равен 80, цена второго продукта равна 4. Функция полезности задана формулой
U = x
0,5
+
y
0,5
Обозначим через
p цену первого продукта и запишем условие рав
новесия:
0,5
x
–0,5
/
p = 0,5y
–0,5
/4; отсюда
y = xp
2
/16.
Подставив полученное соотношение в бюджетное ограничение,
получим:
px + 4
× xp
2
/16 = 80;
x = 80/(p + p
2
/4).
Полученное соотношение между равновесным объемом потребле
ния первого продукта и его ценой есть
функция спроса на данный про
дукт. Подставим эту функцию в бюджетное ограничение, получим:
y = 20/(1 + 4/p).
Таким образом, равновесный объем потребления второго продук
та возрастает с увеличением цены первого продукта, т.е. данные това
ры являются
взаимозаменяемыми.
Кривые Энгеля
Кривая «доходпотребление», рассмотренная в предыдущем парагра
фе, позволяет построить график зависимости объема потребления от дохода для каждого из двух потребляемых продуктов. Такие графики имеют ограниченное применение в экономике, поскольку их нельзя сравнивать между собой изза того, что объемы потребления продук
тов измеряются в различных натуральных единицах (тоннах, литрах,
штуках и т.д.). Чтобы преодолеть эту сложность, рассматривают гра
фики зависимости расходов на продукт от величины дохода. Эти кри
вые называют
кривыми Энгеля. При их исследовании цены продуктов считают неизменными.
Рассмотрим различные виды кривых Энгеля.
Для
некачественного товара объем потребления сокращается с рос
том дохода, поэтому расходы на этот товар также сокращаются. В этом случае кривая Энгеля является нисходящей.
Глава 3. Потребление
66

Для
нормального товара объем потребления увеличивается с рос
том дохода, поэтому расходы на этот товар также увеличиваются.
В этом случае кривая Энгеля является восходящей.
Функция полезности
67
Рис. 3.11. Кривая Энгеля: а) качественный товар; б) высококачественный товар а)
б)
а)
б)
Ранее нормальные товары были разделены на продукты первой не
обходимости и предметы роскоши в соответствии с критерием
элас(
тичности спроса по доходу: для товаров первого типа этот показатель меньше единицы, а для товаров второго типа — больше единицы. При рассмотрении кривых Энгеля нормальные товары по традиции делят на качественные и высококачественные в соответствии с критерием
производной функции расходов.
Качественный товар — это нормальный товар, для которого при
рост расходов на его приобретение меньше прироста дохода, т.е. про
изводная функции расходов на этот товар меньше единицы.
Высококачественный товар — это нормальный товар, для которого прирост расходов на его приобретение больше прироста дохода, т.е.
производная функции расходов на этот товар больше единицы.
Кривые Энгеля для нормальных товаров имеют положительный наклон, они изображены на рис. 3.11. Расходы на товар обозначены через
C, а кривая Энгеля — через m. Как следует из рисунка, кривая
Энгеля для качественного товара наклонена к оси абсцисс под углом,
меньшим 45
° (рис. 3.11а), а для высококачественного товара наклоне
на под углом, превышающим 45
° (рис. 3.11б).
Ei < 1
Ei > 1
Предмет первой необходимости
Предмет роскоши
C
′ < 1
C
′ > 1
Качественный Высококачественный
Рис. 3.12. Классификация нормальных товаров: а) критерий эластичности спроса по доходу; б) критерий эластичности производной функции расходов
Нормальный товар
Нормальный товар

Два типа классификации нормальных товаров приведены на рис. 3.12. Классификация по критерию эластичности спроса на товар по доходу представлена на рис. 3.12а (
E
i
— эластичность спроса по до
ходу). Классификация по критерию производной функции расходов на приобретение товара, представленная на рис. 3.12б (
C
′ — произ
водная функции Энгеля), имеет скорее историческое значение, чем теоретическое или практическое. Действительно, весьма трудно най
ти товар, увеличение расходов на который превышает прирост дохо
да. Например, если заработная плата человека увеличилась на 1000
руб. в месяц, то едва ли он увеличит ежемесячные расходы на какой
либо товар на сумму, превышающую 1000 руб.
Пример 17. Цены товаров равны 10 и 2. Функция полезности зада
на формулой
U = 3xy.
Определим функции Энгеля для обоих продуктов. Записав условие равновесия потребителя, получим:
x = 0,05
× I; y = 0,25 × I,
где
I — доход потребителя. Умножив правую часть первого равенства на цену первого продукта, а правую часть второго равенства — на це
ну второго продукта, получим:
C
x
= 0,5
× I; C
y
= 0,5
× I,
где
C
x
и
C
y
— расходы потребителя на первый и второй продукт соот
ветственно.
Производные данных функций постоянны и равны 0,5, т.е. они меньше единицы, поэтому оба товара являются качественными.
Излишек потребителя
Понятие полезности фактически не применяется в экономической практике прежде всего потому, что полезность не имеет общеприня
тых единиц измерения. Поэтому экономисты выбрали особый способ измерения полезности, основанный на использовании денежной еди
ницы. Его суть состоит в том, что величина предельной полезности некоторой единицы продукта отождествляется с максимальной сум
мой денег, которую потребитель готов за нее заплатить.
Цена спроса iй единицы продукта — это максимальная сумма де
нег, которую потребитель готов заплатить за данную единицу продук
Глава 3. Потребление
68

та. Обозначим этот показатель через
p
i
, он равен предельной полезно
сти
iй единицы продукта, выраженной в денежных единицах:
p
i
=
MU
i
Из закона насыщения потребностей следует, что цена спроса
убы(
вает с увеличением объема потребления.
Цена спроса отражает положительный результат потребления. Но потреблению обычно также сопутствует отрицательный результат, ко
торый выражается в расходах потребителя на покупку данной едини
цы продукта. Разность между положительным и отрицательным ре
зультатами потребления называют излишком потребителя. По своему экономическому содержанию этот показатель родствен прибыли, ко
торая также рассчитывается как разность положительного результата
(выручки) и отрицательного результата (издержек).
Излишек потребителя для iй единицы продукта — это разность между ценой спроса данной единицы продукта и рыночной ценой продукта:
s
i
=
p
i
– p,
где
s
i
и
p
i
— излишек потребителя и цена спроса
iй единицы продук
та соответственно,
p — рыночная цена продукта, одинаковая для всех его единиц. Излишек потребителя характеризует дополнительный чи
стый результат, полученный вследствие потребления данной единицы продукта. Этот результат выражается в том, что потребитель фактиче
ски экономит денежные средства, оплачивая товар ниже той цены, на которую он согласен. Излишек потребителя называют также
потреби(
тельским излишком или прибылью потребителя. Он может быть поло
жительным, отрицательным и равным нулю, причем отрицательный излишек потребителя является аналогом убытка фирмы. Излишек по
требителя
убывает с увеличением объема потребления продукта, по
скольку цена спроса (предельная полезность) убывает, а рыночная це
на одинакова для всех единиц продукта.
Суммарный излишек потребителя для n единиц продукта равен сум
ме излишков потребителя для всех потребленных единиц продукта:
S
n
=
s
1
+
s
2
+…+
s
n
,
где
S
n
— суммарный излишек потребителя, s
i
— излишек потребителя для
iй единицы продукта (i = 1, 2, …, n), n — количество потреблен
ных единиц продукта. Данный показатель характеризует общий чис
тый результат, полученный после потребления всех единиц продукта.
Суммарный излишек потребителя возрастает с увеличением объема
Функция полезности
69

потребления (
n) в случае, когда потребительский излишек последней потребленной единицы продукта (
s
n
) положителен. Если же он отри
цателен, то суммарный излишек потребителя убывает.
Пример 18. Цена спроса первой конфеты равна 10 руб., а цена спроса каждой следующей потребленной конфеты на 2 руб. меньше,
чем предыдущей. Рыночная цена конфеты равна 5 руб. Определим суммарный излишек потребителя после потребления трех конфет.
Цена спроса равна: для второй конфеты 10 – 2 = 8 руб., для третьей конфеты 8 – 2 = 6 руб. Излишек потребителя составляет: для первой кон
феты 10 – 5 = 5 руб., для второй — 8 – 5 = 3 руб., для третьей конфеты
6 – 5 = 1 руб. Суммарный излишек потребителя равен 5 + 3 + 1 = 9 руб.
Чистый результат, полученный всеми потребителями на рынке про
дукта, рассчитывают как сумму значений суммарных излишков потре
бителей. Данный метод расчета, вообще говоря, не вполне корректен с теоретической точки зрения, поскольку полезность является субъек
тивной категорией и единицы измерения индивидуальной полезности различны. Предположим, что богач и бедняк потребляют хлеб, причем потребительский излишек для первого куска хлеба составляет для бога
ча 100 руб., а для бедняка — 1 руб. Очевидно, что отсюда вовсе не сле
дует, что чистое удовлетворение, полученное богачом, в 100 раз больше чистого удовлетворения, полученного бедняком. Если бы это было так,
то 100 бедняков получали бы от первого куска хлеба такую же чистую полезность, как один богач, а такой вывод абсурден. Таким образом,
суммирование потребительских излишков разных индивидов допусти
мо только при условии, что их доходы различаются незначительно.
Рыночный излишек потребителей — это сумма потребительских из
лишков всех потребителей на рынке продукта. Как было отмечено,
данный показатель имеет содержательный экономический смысл при условии, что доходы потребителей различаются незначительно. В слу
чае, когда на рынке имеются всего два потребителя
A и B, рыночный излишек потребителей равен
S = S
A
+
S
B
,
где
S — рыночный излишек потребителей, S
A
и
S
B
— суммарные из
лишки потребителей
A и B соответственно.
Важнейшим фактором излишка потребителя и рыночного излиш
ка потребителей является
рыночная цена продукта: чем она выше, тем меньше излишек, и наоборот.
Глава 3. Потребление
70

Предельная полезность и спрос на продукт
Понятие излишка потребителя позволяет исследовать взаимосвязь полезности и спроса. В данном параграфе показано, что в случае, ког
да предельная полезность продукта измеряется в денежных единицах,
кривая предельной полезности совпадает с кривой индивидуального спроса на этот продукт.
Рассмотрим случай, когда индивид потребляет один продукт, при
чем предельная полезность измеряется в денежных единицах, т.е. она равна цене спроса. Рыночная цена продукта неизменна и равна
p.
Равновесие потребителя — это ситуация, когда его суммарный из
лишек максимален при заданной рыночной цене продукта.
Определим условие равновесия потребителя, для этого обратимся к рис. 3.13. Цены спроса первых трех единиц продукта изображены в виде трех прямоугольников. Цена спроса первой единицы равна пло
щади наибольшего прямоугольника с единичным основанием и вы
сотой
MU
1
; цена спроса второй единицы — площади среднего прямо
угольника с высотой
MU
2
; цена спроса третьей единицы — площади меньшего прямоугольника с высотой
MU
3
Излишек потребителя для первой единицы продукта положителен, он ра
вен площади заштрихованной части большего прямоугольника. Излишек потребителя для второй единицы также положителен, он равен заштрихован
ной части среднего прямоугольника.
Излишек потребителя для третьей еди
ницы отрицателен, поскольку высота соответствующего прямоугольника меньше рыночной цены продукта
p. Поскольку потребление третьей единицы продукта сокращает суммарный потребительский излишек,
индивид не будет потреблять данную единицу, т.е. он остановится на объеме потребления в две единицы. Отсюда следует условие равнове
сия потребителя:
суммарный излишек потребителя максимален, если
для последней потребленной единицы продукта предельная полезность
(цена спроса) больше рыночной цены продукта, а для следующей единицы
продукта предельная полезность меньше рыночной цены продукта.
Если продукт потребляется непрерывно, то в состоянии равнове
сия потребительский излишек последнего бесконечно малого потреб
ленного количества продукта равен нулю, т.е. предельная полезность
Функция полезности
71
Рис. 3.13. Предельная полезность и спрос на продукт

(цена спроса) равна рыночной цене продукта. В этом случае условие равновесия формулируется следующим образом:
суммарный излишек
потребителя максимален, если предельная полезность равна рыночной
цене продукта:
MU = p.
Данное равенство означает, что
кривая предельной полезности сов(
падает с кривой индивидуального спроса потребителя. Чтобы убедить
ся в этом, вновь обратимся к рис. 3.13. Если цена продукта равна
p
1
(т.е.
MU
1
), то равновесный объем потребления (объем спроса) равен 1.
Если цена равна
p
2
, то объем спроса равен 2. Если цена продукта рав
на
p
3
, то объем спроса равен 3. Соединив соответствующие вершины прямоугольников плавной линией, получим кривую индивидуально
го спроса
D.
Заметим, что факт совпадения кривой предельной полезности и кривой индивидуального спроса иногда выражают равенством
MU = D,
которое не вполне корректно. Действительно, предельная полезность
(цена спроса) измеряется в денежных единицах, а объем спроса — в на
туральных единицах продукта (штуках, тоннах и т.д.). Поэтому назван
ные экономические показатели нельзя приравнивать друг другу. Функ
ции предельной полезности и индивидуального спроса
не равны, хотя их графики совпадают.
Пример 19. Функция полезности задана формулой
U = 6x
0,5
,
где
U — полезность, x — объем потребления продукта. Для того чтобы определить функцию индивидуального спроса, продифференцируем функцию полезности и получим функцию предельной полезности:
MU = 3x
–0,5
Согласно условию равновесия, предельная полезность равна ры
ночной цене продукта
p:
3
x
–0,5
=
p; отсюда x = 9/p
2
Полученное равенство описывает функцию индивидуального спроса на продукт. Чтобы привести эту функцию к более привычному виду, следует в ней обозначить переменную
x через Q или D.
Глава 3. Потребление
72

Модель обмена Эджуорта
Основатели теории потребителя трактовали цену как результат пове
дения многих потребителей, т.е. выводили цену из полезности. Пока
жем на примере модели обмена Эджуорта, каким образом субъектив
ная полезность влияет на рыночную цену. Рассмотрим двух потребителей
A и B, у каждого из которых имеется свой набор, состо
ящий из двух продуктов.
Потребитель
A имеет набор R
A
(
m
A
;
n
A
), где
m
A
— количество про
дукта
M, а n
A
— количество продукта
N. Кривая безразличия, прохо
дящая через эту точку, обозначена через
a (см. рис. 3.14а). Потреби
тель
B имеет набор R
B
(
m
B
;
n
B
),
m
B
— количество продукта
M, а n
B
—
количество продукта
N. Кривая безразличия, проходящая через эту точку, обозначена через
b (см. рис. 3.14б).
Суммарное количество продукта
M у обоих потребителей обозна
чено через
m, суммарное количество продукта N — через n:
m = m
A
+
m
B
;
n = n
A
+
n
B
Ящиком Эждуорта называют прямоугольник, полученный в ре
зультате поворота координатной плоскости второго потребителя на
180
о и наложения ее на координатную плоскость первого потребите
ля таким образом, чтобы набор первого потребителя
R
A
совместился с набором второго потребителя
R
B
в одной точке
R.
На рис. 3.14в ящик Эджуорта изображен прямоугольником
O
A
CO
B
D. Его длина равна суммарному количеству первого продукта у обоих потребителей (
m), а высота — суммарному количеству второго продукта (
n). Точка R отвечает начальному распределению продуктов между потребителями: ее абсцисса делит основание ящика на части
m
A
и
m
B
, а ее ордината делит высоту ящика на части
n
A
и
n
B
Кривые безразличия
a и b при построении ящика Эджуорта обра
зовали фигуру, напоминающую «рыбу». Одна ее вершина — это точка
R, другая вершина обозначена через S. Каждая внутренняя точка «ры
бы» задает распределение продуктов между потребителями, которое предпочтительнее для каждого из них по сравнению с исходным рас
пределением. Действительно, каждая внутренняя точка «рыбы» лежит дальше от начала координат
O
A
, чем исходная кривая безразличия
a
потребителя
A, а поэтому она обеспечивает ему большую полезность.
Аналогично каждая внутренняя точка «рыбы» лежит дальше от нача
ла координат
O
B
, чем исходная кривая безразличия
b потребителя B.
Таким образом,
фигура, образованная пересечением исходных кривых
безразличия в ящике Эджуорта, задает множество взаимовыгодных об(
Функция полезности
73

менов потребителей. На границе этой фигуры обмен выгоден для од
ного потребителя и безразличен для другого.
Глава 3. Потребление
74
а)
S
D
С
в)
б)
Рис. 3.14. Ящик Эджуорта
Взаимовыгодные обмены бывают двух видов: улучшаемые и опти
мальные. Обмен является
улучшаемым, если вслед за ним может быть произведен дополнительный обмен продуктами, который увеличит полезность одного потребителя и не уменьшит полезность для друго
го. Прочие обмены называют
оптимальными (равновесными, неулуч
шаемыми). Множество оптимальных обменов изображается
кон(
трактной линией.
Условие оптимальности взаимовыгодного обмена:
в соответству(
ющей точке ящика Эджуорта некоторая кривая безразличия первого по(
требителя касается некоторой кривой безразличия второго потребите(
ля. Докажем это. Если кривые безразличия, проходящие через некоторую точку взаимовыгодного обмена, не касаются друг друга, то они пересекаются в двух точках и образуют маленькую «рыбку» внут
ри большой «рыбы» (на рисунке «рыбка» не показана). Каждая внут
ренняя точка «рыбки» изображает вариант дополнительного обмена,
который еще более увеличит полезность каждого потребителя. Это

значит, что исходная точка пересечения кривых безразличия задает неоптимальный, или улучшаемый, обмен.
Один из оптимальных вариантов обмена обозначен на рис. 3.14в точкой
T. Контрактная линия проходит через эту точку, она обозначе
на
KL. Экономическая сущность контрактной линии состоит в том,
что взаимовыгодный оптимальный обмен не единствен. Поэтому в каждом конкретном акте обмена важную роль играют нерыночные факторы: умение торговаться, убеждать и даже хитрить. Чем успешнее действует первый потребитель, тем ближе к точке
L на контрактной линии расположится точка фактического обмена. В точке
L первый потребитель получит максимально возможную полезность, а полез
ность второго потребителя не изменится по сравнению с исходным значением. Наоборот, точка
K на контрактной линии — наилучшая для второго потребителя и наихудшая для первого.
Поскольку в каждой точке контрактной линии касательные к кри
вым безразличия обоих покупателей совпадают, предельные нормы за
мещения в оптимальной точке обмена равны между собой для обоих покупателей. Следовательно, при каждом оптимальном распределении продуктов между потребителями относительная ценность продуктов для каждого из них одинакова. Рыночная цена определяется в результа
те огромного количества актов обмена, каждый из которых описывает
ся ящиком Эджуорта. Поэтому особые обстоятельства конкретного об
мена фактически не оказывают влияния на рыночную цену.
Функция полезности
75
Термины и понятия
Антиблаго
Благо
Бюджетная линия потребителя
Бюджетное ограничение потребителя
Второй закон Госсена
Высококачественный товар
Закон Вебера—Фехнера
Излишек потребителя
Качественный товар
Контрактная линия
Кривая «доходпотребление»
Кривая «ценапотребление»
Кривая безразличия
Кривая Энгеля
Первый закон Госсена
Полезность
Предельная норма замещения
Предельная полезность
Предельная полезность денег
Равновесие потребителя
Совершенно дополняемые продукты
Совершенно заменяемые продукты
Угловое равновесие потребителя
Функция полезности
Цена спроса
Ящик Эджуорта

Контрольные вопросы и задания
1. Опишите свойства функции полезности. Какова ее связь с функцией предельной полезности?
2. При увеличении объема потребления конфет с 7 до 9 штук полезность увеличилась с 30 до 40. Оцените предельную полезность 9й конфеты. (Ответ:
не больше 5.)
3. В каком случае кривая безразличия: горизонтальна, вертикальна, замк
нута?
4. Увеличение объема потребления первого продукта на 20 единиц при не
котором сокращении объема потребления второго продукта не изменило об
щую полезность. Определите, насколько было сокращено потребление второ
го продукта, если предельная норма замещения равна 1,5? (Ответ: 30 ед.)
5. Опишите кривые безразличия функции полезности, если продукты по
требляются только в комплекте, который состоит из 2 единиц первого про
дукта и 6 единиц второго продукта.
6. Как изменится положение бюджетной линии при увеличении цен обо
их продуктов в два раза?
7. Значения предельной полезности продуктов равны 5 и 8, а их цены рав
ны 2 и 4 соответственно. Является ли данный набор продуктов равновесным?
Обоснуйте ответ. Каким способом можно увеличить общую полезность набора?
8. Функция полезности задана формулой 2
x + 3y. Опишите возможные случаи равновесия потребителя при различных соотношениях цен продуктов.
9. Цена спроса первого пирожка равна 40 руб., а цена спроса каждого сле
дующего пирожка на 5 руб. меньше цены спроса предыдущего. Рыночная це
на пирожка равна 23 руб. Определите равновесный объем потребления пирож
ков и максимально возможное значение суммарного излишка потребителя.
(Ответ: 4 пирожка и 38 руб.).
Глава 3. Потребление
76

Связь теории потребления и теории производства
Модель поведения потребителя основана на понятии функции полез
ности. Поведение производителя описывается сходной моделью, по
скольку потребление является по сути «производством» полезности,
а производство — «потреблением» ресурсов с целью создания продук
тов. В обоих случаях используются некоторые вспомогательные блага
(продукты — у потребителя, ресурсы — у производителя). Процесс
«производства» полезности описывается с помощью функции полезно
сти, а процесс производства — с помощью производственной функции.
Некоторые другие понятияаналоги представлены в табл. 4.1.
Г л а в а 4
Производство
Таблица 4.1