книга. Микроэкономика базовая дисциплина, на которую опираются многие теоретические и практические учебные дисциплины в сис
 Скачать 1.46 Mb.
|
|
Стремление к равновесию Курно Модель олигополии Штакельберга Рассмотрим модель асимметричной дуополии, предложенную немец ким ученым Г. Штакельбергом. Асимметрия дуополии заключается в том, что дуополисты могут придерживаться разных типов поведе ния — стремиться быть лидером или оставаться последователем. В этом случае рыночная цена и прибыль каждой дуополии зависят от стратегий, которых придерживаются дуополии. Модель Штакельбер га представляет собой развитие модели олигополии Курно, поскольку в ней центральную роль играют кривые реагирования. В простейшей модели Штакельберга предельные издержки дуополий полагаются одинаковыми, а постоянные издержки — равными нулю. Стратегия лидера состоит в том, что дуополист знает и учитывает кривую реагирования конкурента при расчете своего выпуска, макси мизирующего прибыль. Иными словами, функция прибыли лидера (здесь мы считаем, что им является первый дуополист) представляет собой сложную функцию, которая зависит от функции реагирования конкурента: П 1 = f(Q 1 ; R 2 ( Q 1 )), где R 2 — функция реагирования второго дуополиста. Равновесный выпуск первого дуополиста обеспечивает максимальное значение его прибыли. Получим формулу прибыли лидера, для этого в формулу прибыли первого дуополиста (9.1) подставим формулу кривой реагирования второго дуополиста (9.3). В случае, когда выполняются условия про стейшей модели Курно, прибыль лидера имеет вид: Модель олигополии Курно: статическая версия 183 ( a –с) 2 b( Q 1 ) 2 П 1 = – . 2 2 где a и b — параметры линейной функции спроса, c — предельные из держки каждой дуополии. Дифференцируя данную формулу и при равнивая производную нулю, получим выпуск дуополисталидера: Заметим, что если дуополии одинаковы, то выпуск лидера равен равновесному выпуску монополии. Но в общем случае это равенство не выполняется. Стратегия последователя состоит в «подстраивании» под уже уста новленный выпуск лидера, т.е. последователь придерживается своей кривой реагирования и принимает решение о наилучшем выпуске, полагая выпуск конкурента заданным. Чтобы рассчитать выпуск по следователя Q п , надо выпуск лидера Q л подставить в функцию реаги рования последователя. Получаем: Таким образом, выпуск последователя в два раза меньше выпуска лидера. Возможны три комбинации стратегий дуполистов: лидер—после дователь, лидер—лидер и последователь—последователь. Рассчитаем прибыль дуополий и рыночную цену в каждом из трех случаев. 1. Лидер—последователь. Рыночная цена в этом случае равна p 1 = a – b(Q л + Q п ) = 0,25 a + 0,75c. Мы видим, что если один дуополист придерживается стратегии ли дера, а другой — стратегии последователя, то рыночная цена лежит между максимальной ценой спроса и предельными издержками, при чем тяготеет ко второй величине. Значения прибыли лидера и после дователя равны соответственно: a –с Q Л = . 2 b a –с Q П = . 4 b Таким образом, прибыль последователя в два раза меньше прибы ли лидера. На рис. 9.3 точка A изображает набор выпусков в случае, когда первый дуополист является лиде ром, а второй — последователем. Точка B изображает набор выпусков в случае, когда второй дуополист является лиде ром, а первый — последователем. 2. Лидер—лидер. Рыночная цена в этом случае равна p 2 = a – b(Q л + Q п ) = c. Таким образом, пытаясь одновре менно стать лидерами, дуополисты по лучают нулевую прибыль. Эту ситуа цию можно охарактеризовать как «два медведя в одной берлоге», она изображена точкой C на рис. 9.3. 3. Последователь—последователь. Рыночная цена в этом случае равна p 3 = a – b(Q л + Q п ) = 0,5 a + 0,5b. Таким образом, рыночная цена находится посередине между мак симальной ценой спроса и предельными издержками, при этом при быль каждой дуополии равна Глава 9. Олигополия 184 ( a –с) 2 ( a –с) 2 П 1 = ; П П = . 8 b 16b Рис. 9.3. Модель олигополии Штакельберга ( a –с) 2 П = . 8 b Вариант «последователь—последователь» изображен точкой D на рис. 9.3. Заметим, что прибыль последователя в данном случае равна при были лидера в первом случае, когда стратегии дуополистов различны. Отсюда следуют два вывода: 1. Если оба дуополиста избрали стратегию последователя, то их суммарная прибыль больше по сравнению со случаем, когда имеется лидер. Эта суммарная прибыль равна максимальной прибыли моно полии. 2. Наиболее выгодной, «беспроигрышной», стратегией дуополис тов является сговор в форме установления выпусков, равных полови не выпуска монополии. При этом каждый дуополист получает макси мально возможную прибыль. Исследуем модель Штакельберга в случае, когда предельные из держки дуополий различны. Допустим, что предельные издержки ду ополиста—лидера равны 40, а дуополиста—последователя — 80. Кри вая рыночного спроса попрежнему задана формулой p = 200 – 2Q. Подставив кривую реагирования последователя в функцию при были лидера, получим: П 1 = 100 Q 1 – ( Q 1 ) 2 Дифференцируя эту функцию и приравняя производную нулю, получим равновесный выпуск лидера, равный 50. Подставив это зна чение в функцию реагирования последователя, получим равновесный выпуск последователя: 30 – 0,5 × 50 = 5. Суммарный выпуск равен 55, а рыночная цена — 90. Сравнивая полученные данные с параметрами равновесия Курно (табл. 9.1), мы убеждаемся, что выпуск лидера превышает его равно весный выпуск в модели Курно, а выпуск последователя меньше его равновесного выпуска в модели Курно. При этом цена в случае «ли дер—последователь» меньше равновесной цены по Курно. Если первый дуополист ведет себя как монополия, т.е. устанавли вает свой выпуск исходя из предположения, что выпуск конкурента равен нулю, то функция его прибыли запишется как: П 1 = 160 – 2( Q 1 ) 2 Отсюда следует, что равновесный выпуск первой фирмы, если она монополист, равен 40. Таким образом, выпуск первой фирмы, если она лидер на рынке, превышает ее равновесный выпуск в случае мо нопольного положения. Игровая модель олигополии: независимое поведение Рассмотрим ситуацию, когда дуополии устанавливают свои выпуски каждый месяц, причем делают это одновременно, независимо друг от друга и не располагая информацией о выборе конкурента. Такое по ведение дуополий является, по сути, игрой, «ходом» в которой слу жит ежемесячный выпуск дуополии, а выигрышем — ее прибыль за месяц. Модель олигополии Курно: статическая версия 185 40 90 50 8; 6 5; 9 5 100 6; 2 4; 3 4 min 2 3 Предположим, что каждая дуополия имеет два значения выпуска, тогда имеются четыре возможные комбинации действий. Каждой та кой комбинации соответствует пара значений прибыли дуополий. Обозначим через a ij прибыль первой дуополии, а через b ij — прибыль второй дуополии в том случае, когда первая из них выбрала i–й ход, а вторая — jй ход (i, j = 1, 2). Матрицу A = {a ij } называют матрицей выигрышей первой дуополии, а матрицу B = {b ij } — матрицей выигры шей второй дуополии. Стратегией дуополии называют вектор, iм элементом которого слу жит частота (вероятность) выбора iго хода. Стратегию называют чистой, если один ее элемент равен единице, а остальные — нулю, т.е. выбирает ся один и тот же ход (выпуск). Прочие стратегии называют смешанными. Оптимальной стратегией дуополии называют стратегию, которая обеспечивает ему наибольший средний выигрыш (прибыль) за доста точно длительный период времени вне зависимости от поведения конкурента. Решить игру — значит найти оптимальные стратегии дуополий и соответствующую пару значений средней прибыли. Алгоритм реше ния игры весьма сложен, поэтому мы будем искать осторожные стра тегии дуополий, которые обычно близки к оптимальным стратегиям, и нередко совпадают с последними. Для расчета осторожной стратегии дуополии надо определить мини мально возможное (пессимистичное) значение прибыли при каждом ее ходе и найти максимальное (оптимистическое) из этих значений. Это число называют максимином матрицы выигрышей (максимин — это максимум из минимумов), а соответствующую стратегию — осторож ной. Если дуополия придерживается осторожной стратегии, то при лю% бом поведении конкурента ее средняя прибыль будет не меньше максимина. Пример 1. В табл. 9.2 представлены матрицы выигрышей дуополий. Из таблицы следует, что первая дуополия может устанавливать выпу ски 50 или 100, а вторая дуополия — выпуски 40 или 90. Глава 9. Олигополия 186 Таблица 9.2 Игровая модель олигополии: пример 1 Фирма 1 Фирма 2 min Определим осторожную стратегию первой дуополии, для этого найдем минимальное значение в каждой строке ее матрицы выигры шей (см. последний столбец таблицы). В первой строке минимальный элемент равен 5, а во второй — 4. Максимальное значение из этих чи сел (максимин первой дуополии) равно 5. Следовательно, осторож ной стратегией первой дуополии является производство продукции в объеме 50, при этом ее прибыль составит не менее 5. Осторожная стратегия первой дуополии выражается вектором (1; 0). Определим осторожную стратегию второй дуополии, для этого найдем минимальное значение в каждом столбце ее матрицы выигры шей (см. последнюю строку таблицы). В первом столбце минималь ный элемент равен 2, а во втором — 3. Максимальное значение из этих чисел (максимин второй дуополии) равно 3. Следовательно, ост рожной стратегией второй дуополии является производство продук ции в объеме 90, при этом ее прибыль составит не менее 3. Осторож ная стратегия второй дуополии выражается вектором (0; 1). Пример 2. Рассмотрим случай, когда цена на продукт дуополий ус танавливается в соответствии с функцией рыночного спроса p = 200 – 2Q, где Q — суммарный выпуск дуополий. Предельные издержки первой дуополии равны 40, а второй — 80. Постоянные издержки дуополий равны нулю, поэтому выручка каждой равна произведению объема выпуска и предельных издержек. Предполагается, что каждая дуопо лия может установить два выпуска: 30 или 60. Определим осторожные стратегии дуополий и соответствующие им значения прибыли. Най дем элементы матриц выигрышей дуополий. Выпуск первой дуополии — 30, второй — 30. Суммарный выпуск равен 60, цена — 140, прибыль первой дуополии — 3000, второй — 1800. Выпуск первой дуополии — 30, второй — 60. Суммарный выпуск равен 90, цена — 110, прибыль первой дуополии — 2100, второй — 1800. Выпуск первой дуополии — 60, второй — 30. Суммарный выпуск равен 90, цена — 110, прибыль первой дуополии — 4200, второй — 900. Выпуск первой дуополии — 60, второй — 60. Суммарный выпуск равен 120, цена — 80, прибыль первой дуополии — 2400, второй — 0. Матрицы выигрышей дуополий представлены в табл. 9.3 (пример 2). Из таблицы следует, что максимин первой дуополии равен 2400, а ее ос торожная стратегия выражается вектором (0; 1). Максимин второй дуо полии равен 900, а ее осторожная стратегия выражается вектором (1; 0). Модель олигополии Курно: статическая версия 187 Лидер Последователь Лидер 0; 0 2 d; d 0 Последователь d; 2d 2 d; 2d d min 0 d В игровой модели дуополии Штакельберга предполагается, что каж дая дуополия имеет два варианта поведения: лидер и последователь. Рассмотрим простейший случай, когда дуополии одинаковы, т.е. их предельные издержки одинаковы, а постоянные издержки равны ну лю. Введем следующее обозначение: Глава 9. Олигополия 188 30 60 30 3000; 1800 2100; 1800 5 60 2400; 900 2400; 0 4 min 900 0 Таблица 9.3 Игровая модель олигополии: пример 2 Таблица 9.4 Игровая модель олигополии Штакельберга Фирма 1 Фирма 2 min ( a –с) 2 = d. 16 b где a и b — параметры линейной функции спроса, c — предельные из держки дуополии. Матрицы выигрышей дуополий представлены в табл. 9.4. Фирма 1 Фирма 2 min Из таблицы следует, что осторожной стратегией каждой дуополии является стратегия последователя, она гарантирует дуополии прибыль не менее d. Если обе дуополии придерживаются осторожной страте гии, то прибыль каждой из них равна 2 d. Игровая модель олигополии: сговор В предыдущем параграфе предполагалось, что дуополии действуют на рынке независимо друг от друга. Теперь предположим, что они могут прийти к соглашению, т.е. между ними возможен сговор. При сговоре средняя прибыль каждой дуополии обычно выше, чем в случае равно весных стратегий. Вместе с тем каждая фирма рискует быть обману той партнером, который в любой момент может нарушить соглаше ние. И тогда прибыль «обманутой» фирмы может оказаться меньше ее осторожного, гарантированного значения. Исследуем согласованное поведение дуополий на двух примерах. Модель олигополии Курно: статическая версия 189 Таблица 9.5 Игровая модель дуополии: пример 3 Пример 3. В табл. 9.5 представлены матрицы выигрышей дуополий. Каждая дуополия имеет две стратегии: производить большой объем продукции (выпуск) и небольшой объем продукции (выпуск). Из таб лицы следует, что осторожной стратегией каждой дуополии является «Большой выпуск», при этом ее прибыль принимает свое «осторож ное», гарантированное значение, равное 2. Описанная ситуация отве чает случаю независимого, несогласованного поведения дуополий. Рассмотрим случай, когда между дуополиями возможен сговор. Тогда они могут договориться производить небольшое количество продукции. Как следствие, рыночная цена продукта возрастет, и при быль каждой дуополии превысит «осторожное» значение и составит 3. Однако если одна из дуополий нарушит соглашение, т.е. станет про изводить большой объем продукции, то прибыль другой дуополии упадет до 1, что ниже «осторожного» значения прибыли. Согласованное поведение экономических субъектов часто иллюс трируют на примере известной игровой модели « Дилемма заключен% ных», рассмотрим ее. Пример 4. Два человека задержаны по подозрению в совершении преступления. Следователь, однако, не располагает достаточными уликами, позволяющими передать дело в суд и поэтому провоцирует подозреваемых на добровольное признание. Каждому из задержан ных предлагается сделка такого рода. Если оба сознаются, то каждый получит по 5 лет тюрьмы. Если один сознается, возложив вину на дру гого, то первый будет немедленно отпущен на свободу после проведе ния одного года в предварительном заключении, а второй получит су Большой выпуск Небольшой выпуск Большой выпуск 2; 2 4; 1 Небольшой выпуск 1; 4 3; 3 Фирма 1 Фирма 2 Сознаваться Не сознаваться Сознаваться –5; –5 –1; –10 Не сознаваться –10; –1 –2; –2 ровый приговор — 10 лет лишения свободы. Если же ни один из них не сознается, уголовное дело не будет доведено до суда, и оба прове дут в тюрьме по 2 года — максимально возможный срок предвари тельного заключения. Матрица выигрышей данной игры, которую определяют как «Ди лемма заключенных», имеет две строки и два столбца, поскольку каж дый игрок может выбрать одну из двух стратегий поведения: «Созна ваться» и «Не сознаваться». Все элементы этой матрицы отрицательны, поскольку в любом случае каждый задержанный проведет некоторое время в тюрьме, т.е. получит отрицательный «выигрыш» (табл. 9.6). Глава 9. Олигополия 190 Таблица 9.6 Игровая модель «Дилемма заключенных» Заключенный 1 Заключенный 2 Из таблицы следует, что осторожной стратегией каждого задержан ного является стратегия «Сознаваться», при этом максимально воз можный срок заключения составит 5 лет. Описанная ситуация отвеча ет случаю независимого, несогласованного поведения заключенных. Рассмотрим случай, когда между задержанными возможен сговор. Имеется в виду ситуация, когда задержанные договорились (заранее или после задержания) не признаваться в совершенном преступлении. Как следует из матрицы выигрышей, в этом случае они получат лишь по два года заключения, а не по 5 лет, как в случае несогласованного по ведения. Таким образом, сговор оказался выгоднее для игроков, чем их независимое поведение. Однако если один из заключенных нарушит соглашение, т.е. сознается в преступлении и возложит основную вину на другого заключенного, то последний получит максимальный срок заключения — 10 лет, а нарушитель соглашения — лишь один год. Игровая модель олигополии: антагонистическое поведение Тот факт, что дуополии действуют на рынке независимо друг от друга, вовсе не означает, что отсутствует потенциальная возможность сгово ра между ними. Анализ матриц выигрышей дуополий часто позволяет определить согласованные стратегии, которые выгодны для обеих ду ополий. Здесь рассмотрен случай, когда матрицы дуополий таковы, что сговор между ними в принципе невозможен. Матрицы выигрышей дуополий называют антагонистическими, ес ли при любой паре «ходов» дуополий выигрыш одной дуополии в точ ности равен проигрышу другой. Иными словами, соответствующие элементы матриц выигрышей противоположны друг другу, т.е. их сум ма равна нулю. В этом случае матрицу выигрышей первой дуополии на зывают платежной матрицей. Элементы матрицы выигрышей второй дуополии противоположны соответствующим элементам платежной матрицы, поэтому при описании игровой модели из двух названных матриц указывают только платежную матрицу. Игровую модель олиго полии с платежной матрицей называют антагонистической, или игрой с нулевой суммой. При этом элемент платежной матрицы трактуют как часть прибыли, которая переходит от одной дуополии к другой. Если этот элемент положителен, то вторая дуополия «платит» первой, если же он отрицателен, то, наоборот, «платит» первая дуополия. В игре с ну левой суммой сговор невозможен, поскольку увеличение прибыли для одной дуополии означает увеличение убытков для другой. Пример 5. В табл. 9.7 представлена платежная матрица. Предполо жим, что первая дуополия выбрала первый вариант поведения, а вто рая дуополия — третий вариант. Данному «ходу» дуополий отвечает элемент платежной матрицы, равный минус единице. Следовательно, прибыль первой дуополии сокращается на единицу, а прибыль второй дуополии — увеличивается на единицу. Определим осторожные стратегии дуополий. Для первой дуополии осторожная стратегия определяется так же, как в общем случае. По скольку максимальное значение из трех минимальных элементов в строках платежной матрицы равно 1, выбор второго варианта поведе ния служит осторожной стратегией для первой дуополии. Для уста новления осторожной стратегии второй дуополии определим макси Модель олигополии Курно: статическая версия 191 Таблица 9.7 |