книга. Микроэкономика базовая дисциплина, на которую опираются многие теоретические и практические учебные дисциплины в сис
 Скачать 1.46 Mb.
|
|
Конкурентная фирма. Спрос фирмы на капитал при некоторой его це не равен величине затрат капитала, обеспечивающей фирме максималь ную прибыль. Прибыль конкурентной фирмы выражается формулой: π = pP – rK, где p — фиксированная цена продукта, P — производственная функ ция, r — цена капитала, K — затраты капитала. Для определения усло вий максимизации прибыли продифференцируем функцию прибыли и приравняем производную нулю. Получим соотношение, задающее функцию спроса на капитал конкурентной фирмы: r = pMP K , где MP K — предельный продукт капитала. Отсюда следует, что кривая спроса на капитал конкурентной фирмы совпадает с графиком функции стоимости предельного продукта капитала. Неценовыми факторами спроса на капитал называют причины, вызывающие изменение кривой спроса на капитал. Для конкурент ной фирмы таковыми являются: •цена продукта. С увеличением цены продукта кривая спроса на капитал сдвигается вправо—вверх (спрос увеличивается), с уменьше нием цены продукта — влево—вниз (спрос сокращается); •технология производства. Замена старой технологии на более продуктивную может привести как к снижению спроса на капитал, так и к его увеличению. Монополия. При исследовании спроса на капитал цена продукта не является фиксированной, что связано с эффектом насыщения рынка. Предельный денежный продукт капитала — это прирост выручки монополии, вызванный увеличением затрат капитала на единицу. Глава 11. Рынок капитала 250 Данный показатель определяют так же как отношение прироста вы ручки к приросту затрат капитала. Таким образом, предельный денеж ный продукт капитала является производной функции выручки по ве личине затрат капитала. Несложно показать, что предельный денежный продукт капитала равен произведению предельной выруч ки и предельного продукта капитала: MRP K = MR × MP K , где MRP K — предельный денежный продукт капитала, MR — предель ная выручка, MP K — предельный продукт капитала. Спрос монополии на капитал при некоторой его цене равен вели чине затрат капитала, обеспечивающей монополии максимальную прибыль. Продифференцируем функцию прибыли монополии и по лучим соотношение, задающее функцию спроса на капитал: r = MRP K Из данной формулы следует, что кривая спроса на капитал монопо лии совпадает с графиком функции предельного денежного продукта ка питала, а сама функция спроса на капитал является обратной функ цией к функции предельного денежного продукта капитала. Спрос на денежный капитал Денежный капитал имеет два принципиальных отличия от физичес кого капитала. Вопервых, денежный капитал однороден, в то время как в экономике функционирует огромное количество видов физиче ского капитала, на каждый из которых устанавливается своя рыноч ная цена (стоимость аренды). Цена денежного капитала есть ставка ссудного процента, она едина для всех инвесторов. Вовторых, инди видуальный спрос на денежный капитал со стороны некоторого эко номического агента зависит прежде всего от показателя внутренней доходности планируемых инвестиций, рассчитанного для некоторого достаточно длительного периода времени. Поэтому фактор времени оказывает существенное влияние на величину спроса на денежный капитал со стороны инвестора. Таким образом, спрос на денежный капитал обычно исследуется в долгосрочном аспекте и такой спрос, как правило, предъявляют инвесторы, поэтому спрос на денежный капитал называют также спросом на инвестиции. Индивидуальный спрос на денежный капитал — это величина ссуды, которую готов взять инвестор при данной ставке процента. Рыночный Капитал и процент 251 спрос на денежный капитал — это суммарная величина ссуд, которые готовы взять все инвесторы в экономике при данной ставке процента. Предположим, что при любом способе инвестирования денежных средств годовые доходы изменяются пропорционально объему инвес тиций. Тогда внутренняя доходность инвестиций не зависит от объе ма инвестиций. Предположим также, что экономический субъект предъявляет спрос на денежный капитал только в том случае, когда ожидаемая внутренняя доходность инвестиций превышает рыночную ставку процента. Отсюда следует, что кривая индивидуального спроса на денежный капитал имеет следующий вид: а) если ставка процента меньше внутренней доходности инвести ций, то инвестируется вся денежная сумма, которую инвестор выде лил для целей инвестирования; б) если ставка процента больше внутренней доходности инвести ций, то свободные денежные средства выгоднее хранить на банковском депозите, поэтому спрос инвестора на денежный капитал равен нулю. Глава 11. Рынок капитала 252 На рис. 11.1 изображены две кривые индивидуального спроса и кривая рыночного спроса на денежный капитал. На рис. 11.1а кривая индивидуального спроса первого инвестора обозначена через D 1 , вну тренняя доходность — через r 1 , максимальный объем инвестиций — через K 1 . На рис.11.1б кривая индивидуального спроса второго инве стора обозначена через D 2 , внутренняя доходность — через r 2 , макси мальный объем инвестиций — через K 2 . На рис. 11.1в кривая рыноч ного спроса на денежный капитал обозначена через D, она получена посредством вертикального суммирования кривых индивидуального спроса обоих инвесторов. При увеличении ставки процента от нуля до r 1 объем рыночного спроса равен K 1 + K 2 , при последующем увеличе нии ставки процента до r 2 он равен K 2 , а при дальнейшем увеличении ставки процента он равен нулю. Рис. 11.1. Спрос на денежный капитал Поскольку в реальной экономике имеется огромное количество инвесторов и множество различных значений внутренней доходнос ти, фактическая кривая рыночного спроса на денежный капитал яв ляется плавной нисходящей кривой. Иными словами, с увеличением ставки процента рыночный спрос на денежный капитал уменьшается. Неценовые факторы рыночного спроса на денежный капитал, приводящие к смещению соответствующей кривой, подробно иссле дуются в курсе макроэкономики. Важнейшими из них являются: а) объем денежной массы. Чем больше количество денег в экономи ке, тем больше сумма денежных средств, которые экономические агенты при прочих равных условиях могут инвестировать, тем выше рыночный спрос на денежный капитал; б) ожидания экономических агентов. Чем оптимистичнее ожида ния, тем больше ожидаемые значения будущих доходов, тем выше внутренняя доходность планируемых инвестиций, тем больше рыноч ный спрос на денежный капитал; в) технология. Совершенствование технологий производства вы зывает увеличение внутренней доходности инвестиций и, как следст вие, увеличение рыночного спроса на денежный капитал. Предложение сбережений Субъектом предложения денежного капитала обычно выступают по требители, сберегающие часть дохода в целях увеличения объема по требления в будущем. Поэтому предложение денежного капитала на зывают также предложением сбережений. Индивидуальное предложение денежного капитала — это величина сбережений, которую откладывает конкретный потребитель при дан ной ставке процента. Рыночное предложение денежного капитала — это суммарная величина сбережений, которую откладывают все по требители при данной ставке процента. Кривая рыночного предложе ния денежного капитала образуется посредством вертикального сум мирования всех кривых индивидуального предложения. Опишем простейшую модель предложения денежного капитала, в которой предполагается, что благосостояние потребителя зависит от двух показателей: объема потребления в текущем году и объема по требления в следующем году. Межвременная функция полезности потребителя. В модели пред ложения труда центральную роль играет функция полезности работ ника, заданная на множестве наборов «досуг—доход». В рассматрива Капитал и процент 253 емой модели центральную роль играет функция полезности потреби теля, заданная на множестве наборов «текущее потребление—буду щее потребление». Межвременная функция полезности потребителя — это зависимость полезности от расходов на потребление в текущем году и расходов на потребление в следующем году. Данную функцию обозначают следу ющим образом: U(C 1 ; C 2 ), где C 1 — расходы на потребление в текущем году, C 2 — расходы на по требление в следующем году. Данная функция обладает следующими свойствами: •различна у разных потребителей; •принимает неотрицательные значения; •равна нулю при нулевых расходах на потребление в каждом году; •возрастает с увеличением расходов на потребление в одном году при неизменных расходах на потребление в другом году; •каждый дополнительный рубль расходов на потребление в каждом году обеспечивает меньший прирост полезности, чем предыдущий. Предельная полезность текущего потребления — это прирост по лезности, вызванный увеличением расходов на потребление в теку щем году при неизменных расходах на потребление в следующем году. Аналогично определяется предельная полезность будущего по требления. Кривая безразличия межвременной функции полезности отобража ет множество наборов «текущее потребление—будущее потребление», имеющих одинаковую полезность. Кривые безразличия являются нисходящими, они не пересекаются между собой. Чем дальше от на чала координат расположена кривая безразличия, тем большей вели чине полезности она соответствует. Предельная норма временного предпочтения — это величина, на ко торую необходимо увеличить расходы на будущее потребление при уменьшении расходов на текущее потребление на единицу, чтобы со хранить неизменной величину полезности: Глава 11. Рынок капитала 254 – ∆C 1 MRTP = , ∆C 2 где MRTP — предельная норма временного предпочтения (англ. mar ginal rate of time preference), ∆C 1 и ∆C 2 — изменения расходов на по требление в текущем и следующем году соответственно. Данный показатель характеризует относительную ценность для потребителя текущего потребления и будущего потребления. Можно показать, что предельная норма временного предпочтения равна от ношению предельной полезности текущего потребления и предель ной полезности будущего потребления. Предельная норма временно го предпочтения обладает следующими свойствами: •ее значение больше единицы, поскольку при прочих равных ус ловиях потребитель предпочитает текущее потребление будущему по треблению; •уменьшается с увеличением текущего потребления (ценность те кущего потребления по отношению к будущему потреблению умень шается); •равна модулю производной функции, задающей соответствую щую кривую безразличия; •равна тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия в точке, отвечающей заданному набору «текущее потребление—буду щее потребление». Наклон кривых безразличия зависит от характера индивидуальных предпочтений потребителя в отношении текущего потребления и бу дущего потребления. Чем выше относительная ценность текущего по требления для потребителя, тем круче к оси абсцисс расположены эти кривые. Наоборот, чем выше относительная ценность будущего по требления, тем они более пологие. Для работника, безразличного к будущему потреблению («транжир»), кривые безразличия вертикаль ны, а предельная норма временного предпочтения равна бесконечно сти. Для работника, безразличного к текущему потреблению («ску пец»), кривые безразличия горизонтальны, а предельная норма временного предпочтения равна нулю. Межвременное бюджетное ограничение. Предположим, что доход потребителя в текущем году и годовая ставка процента фиксирован ны, а сбережения, сделанные потребителем в текущем году, помеща ются на банковский депозит и служат единственным источником по требления в следующем году. Тогда выполняется следующее соотношение: C 2 = (1 + i) × (I – C 1 ), где I — заданный доход потребителя в текущем году, i — ставка про цента, C 1 — расходы на потребление в текущем году, C 2 — расходы на потребление в следующем году. Данное равенство называют межвременным бюджетным ограни чением. При заданном текущем доходе и ставке процента все потре Капитал и процент 255 бители имеют одинаковое бюджетное ограничение. Для анализа межвременного бюджетного ограничения запишем его в следующем виде: (1 + i)C 1 + C 2 = (1 + i)I. Выражение в правой части данного равенства равно максимально возможному потреблению в следующем (если потребление в текущем году равно нулю). Выражение (1 + i)C 1 равно потенциальному потреб лению в следующем году, упущенному вследствие ненулевого потреб ления в текущем году. Таким образом, данное равенство выражает тот очевидный факт, что максимально возможное потребление в следую щем году складывается из фактического потребления в этом году ( C 2 ) и упущенного потребления. Межвременная бюджетная линия потребителя есть график межвре менного бюджетного ограничения. Она представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку (1 + i)I на оси ординат (максимально возможное будущее потребление) и точку I на оси абсцисс (макси мально возможное текущее потребление). Тангенс угла наклона бюд жетной линии к оси абсцисс равен 1 + i. Это число показывает, во сколько раз увеличится за год сумма денег, помещенная на банков ский депозит под i процентов годовых. Межвременное равновесие потребителя. Предложение сбережений потребителя равно объему сбережений, обеспечивающему макси мальное значение межвременной функции полезности при условии выполнения межвременного бюджетного ограничения. Иными сло вами, индивидуальное предложение сбережений есть объем текущих сбережений в случае межвременного равновесия работника. Проблема определения равновесного объема индивидуального предложения сбережений сводится к известной задаче на условный экстремум. Ре шив ее методом Лагранжа, получим следующее условие межвремен ного равновесия потребителя: MRTP = 1 + i. Данное равенство показывает, что межвременное равновесие по требителя достигается в точке касания межвременной бюджетной ли нии и некоторой кривой безразличия межвременной функции полез ности потребителя. На рис. 11.2 межвременная бюджетная линия изображена отрезком AB. Кривая безразличия, которая касается меж временной бюджетной линии, обозначена через l. Точка касания обо значена через E, равновесные расходы на текущее потребление — че рез C 1 * , объем предложения сбережений — через S * Глава 11. Рынок капитала 256 Построение кривой индивидуаль ного предложения сбережений. Оп ределим равновесный объем теку щего потребления при каждой ставке процента. На рис. 11.3 пока зан метод построения кривой предложения сбережений. Увели чение ставки процента с i 1 до i 2 приводит к повороту межвремен ной бюджетной линии по часовой стрелке вокруг точки I на оси аб сцисс. Объем предложения сбере жений при начальной ставке про цента обозначен через S 1 . После увеличения ставки процента до i 2 потребитель определяет для себя новый объем текущего потребления в соответствии с условием меж временного равновесия. В силу того, что он предпочитает текущее по требление будущему потреблению, объем сбережений при этом уве личивается. Новая точка равновесия обозначена на рисунке через E 2 Капитал и процент 257 Рис. 11.2. Межвременное равновесие потребителя и предложение сбережений C 2 * C 1 * Пример 7. Межвременная функция полезности потребителя задана формулой C 1 2 × C 2 . Текущий доход потребителя равен 100. Определим функцию индивидуального предложения сбережений. Используя межвременное бюджетное ограничение, выразим буду щее потребление через текущий доход, текущее потребление и ставку процента. Подставим данное выражение в межвременную функцию полезности, получим формулу зависимости полезности от текущего потребления. Продифференцировав данную функцию и приравняв ее производную нулю, получим: Рис. 11.3. Построение кривой индивидуального предложения сбережений C 1 = 66,7. Таким образом, в данном случае объем индивидуального предло жения не зависит от ставки процента и неизменно равен 100 – 66,7 = 33,3. Вместе с тем с ростом ставки процента возрастают расходы на потребление в следующем году, поэтому межвременная функция по лезности также возрастает. Человеческий капитал В современной экономике продуктивность работника зависит в пер вую очередь от инвестиций в его образование. Этот тезис лежит в ос нове теории человеческого капитала. Человеческий капитал — это знания, умения, опыт, которые влия ют на продуктивность работника и служат источником его доходов. Различают общий и специальный человеческий капитал. Общий человеческий капитал — это знания и умения, полученные работником в семье, образовательном учреждении, в процессе само образования. Общий человеческий капитал может быть применен на большом количестве предприятий. Инвестиции в общий человечес кий капитал состоят из платы за обучение, стоимости учебников и т.п. Сюда также входит альтернативная стоимость затраченного на обуче ние времени, т.е. не заработанный за это время доход. Специальный человеческий капитал — это знания, умения и практи ческий опыт, приобретенные работником в процессе трудовой дея тельности на конкретном рабочем месте, в результате специального обучения и т.д. Они могут быть применены только на данном или ана логичном ему производстве. Инвестиции в специальный человечес кий капитал осуществляют совместно работник и работодатель, что обусловлено высоким риском инвестиций данного вида. Действи тельно, если инвестиции в специальный человеческий капитал осу ществляются только работником, то он возлагает на себя весь риск та ких инвестиций: в случае увольнения работника он теряет все инвестиции, а работодатель ничем не рискует. Аналогично, если ин вестиции осуществляются только работодателем, то в случае увольне ния работника он теряет все инвестиции, а работник ничем не риску ет. Если же работник и работодатель совместно инвестируют свои средства в специальный человеческий капитал работника, то в случае увольнения последнего оба инвестора теряют вложенные средства, т.е. они делят риск между собой. Таким образом, инвестиции в специ Глава 11. Рынок капитала 258 альный человеческий капитал «привязывают» работника к предприя тию, они способствуют формированию «ядра» персонала, которое претерпевает незначительные изменения в долгосрочном периоде. Главным инструментом регулирования инвестиций в специальный человеческий капитал служит заработная плата. Работнику без опыта работы назначают заниженную заработную плату, вынуждая его тем самым вносить ежемесячный «взнос» в индивидуальный инвестици онный фонд. Чем больше период ученичества работника и чем ниже его заработная плата в данный период времени, тем больше средств инвестируется в специальный человеческий капитал. Поскольку ин вестиции в специальный человеческий капитал весьма сложно рас считать, далее рассматривается только общий человеческий капитал. Рассмотрим предположения модели общего человеческого капитала: 1 . Неликвидность человеческого капитала означает, что он не может быть отчужден от работника, т.е. не может быть продан, завещан, кон фискован и т.д. Отсюда следует, что инвестиции в человеческий капи тал весьма рискованны для любого инвестора, за исключением само го индивида. Если в случае физического капитала инвестор обычно становится собственником капитала, то в случае человеческого капи тала он не может претендовать ни на использование личных качеств работника (капитала), ни на получение части его заработной платы (дохода с капитала). Человеческий капитал обладает ликвидностью лишь в рабовладельческом обществе. 2. Неоднородность труда. Поскольку работники с разной величи ной человеческого капитала обладают различной продуктивностью, они предлагают работодателям труд различного качества. 3 . Симметрия информации о продуктивности работников. Согласно базовому постулату теории человеческого капитала продуктивность работника пропорциональна инвестициям в человеческий капитал. Поскольку инвестирование является финансовой операцией, объем человеческого капитала работника может быть приближенно оценен с помощью соответствующих бухгалтерских документов и заключе ний экспертов. Таким образом, работодатель может получить досто верную информацию о продуктивности работника. 4 . Дифференциация заработной платы. Ставки заработной платы работников дифференцируются в соответствии с объемами их челове ческого капитала. 5. Рациональное поведение работника. Предполагается, что индивид принимает решение об инвестировании средств в образование лишь в том случае, если эти инвестиции окупаются. Иными словами, единст венной целью работника является получение прибыли. Данный по Капитал и процент 259 стулат подвергается острой критике со стороны противников теории человеческого капитала, которые выделяют в качестве важнейших це лей образования развитие творческих способностей, обретение обще ственного статуса и уважения окружающих и т.д. Простейшая модель человеческого капитала включает ряд техни ческих предположений, которые позволяют получить простые матема тические соотношения между рассматриваемыми экономическими переменными. 6. Годовая прибавка к заработной плате, обусловленная инвести циями в человеческий капитал, неизменна на протяжении всей жиз ни работника и численно равна W. 7. Инвестиции в человеческий капитал осуществляются в один мо мент времени. Это предположение позволяет избежать процедуры дисконтирования при оценке объема инвестиций в человеческий ка питал. Момент инвестирования считают нулевым, объем инвестиций в человеческий капитал обозначают через I. 8. Трудовой стаж работника полагают бесконечным. Это предполо жение позволяет использовать формулу дисконтирования бесконеч ного потока доходов, которая имеет весьма простой вид; 9. Ставка процента рассматривается как неизменная на протяже нии всей жизни работника, она равна i. Выведем соотношение, связывающее объем инвестиций в челове ческий капитал, годовую прибавку к заработной плате и ставку про цента. Согласно предположениям 6,8 и 9 дисконтированная стои мость потока доходов работника равна PDV = W : i. Согласно предположению 5 индивид принимает решение об инве стировании средств в образование, если ожидаемая стоимость дис контированного потока доходов превышает объем инвестиций. Учи тывая данную формулу и предположение 7, получим следующее соотношение: W > I × i. Таким образом, инвестиции в образование окупятся, если годовая прибавка к заработной плате превышает произведение объема инвес тиций и годовой ставки процента, выраженной десятичной дробью. Пример 8. Стоимость обучения в университете равна 500 тыс. руб., ставка процента неизменно равна 10%. Тогда инвестиции в образова ние окупятся, если годовая прибавка к заработной плате, обусловлен ная инвестициями в образование, будет больше, чем Глава 11. Рынок капитала 260 500 × 0,1 = 50 (тыс. руб.). Пример 9. Абитуриент располагает суммой 240 тыс. руб., которую он планирует затратить на свое образование. Один год обучения в универ ситете стоит 60 тыс. руб. и обеспечивает годовую прибавку к заработ ной плате в размере 12 тыс. руб. в год. Тогда инвестиции в образование окупятся, если ставка процента будет меньше, чем 12 : 60 = 0,2 (20%). Таким образом, при ставке процента меньше 20% инвестиции в образование окупятся, поэтому абитуриенту имеет смысл затратить на образование всю имеющуюся сумму. При этом продолжительность его образования составит 240 : 60 = 4 (года). Пример 10. Один год обучения в университете обеспечивает годо вую прибавку к заработной плате в размере 15 тыс. руб. Ставка процен та неизменно равна 8%. Предполагается, что общая годовая прибавка к заработной плате пропорциональна продолжительности обучения. Определим функцию индивидуального спроса на образование. Обозначим через p стоимость одного года обучения (цена образова ния), а через E — продолжительность образования. Тогда инвестиции в образование окупятся, если выполняется следующее соотношение: E × 15 ≥ E × p × 0,08, отсюда p ≤ 187,5 (тыс. руб./год). Предположим, что абитуриент располагает суммой 600 тыс. руб., тогда продолжительность его обучения рассчитывается по следующей формуле: E = 600/p, где p — цена образования, не превышающая 187,5 тыс. руб./год. Дан ная формула задает кривую спроса абитуриента на образование. Наи меньший объем спроса на образование равен 600 : 187,5 = 3,2 (года). Портфель инвестиций Инвестиционный портфель — это набор инвестиций, характеризуемый доходностью и риском. Цель инвестора заключается в получении оп тимального соотношения доходности и риска, причем в качестве важ нейшей задачи рассматривается задача минимизации риска безотно сительно к доходности. Это связано с тем, что на современном рынке инвестиций агенты часто оперируют чужими средствами и не желают рисковать. За разработку современной теории портфеля Нобелевская Капитал и процент 261 премия присуждена американским ученым Д. Тобину (1981) и Г. Мар ковицу (1990). Рассмотрим случай формирования портфеля, состоящего из двух рисковых активов, причем целью инвестора является минимизация ри ска портфеля. Будем считать, что рассматриваемые активы представ ляют собой акции двух видов. Обозначим доли инвестиций в акции первого и второго видов соответственно x 1 и x 2 . Тогда портфель акти вов выражается набором этих двух чисел. Предположим, что инвестор принимает решение о формировании портфеля на основании анали за показателей доходности акций за последние n дней. Введем обозначения: r i 1 — доходность акций первого вида в iй день; r i 2 — доходность акций второго вида в iй день; r 1 — средняя доходность акций первого вида за n дней; r 2 — средняя доходность акций второго вида за n дней. Доходность портфеля зависит от средних доходностей акций и структуры портфеля: r = x 1 r 1 + x 2 r 2. Если в портфеле имеются только акции какоголибо одного вида, то портфель называют чистым. Доходность чистого портфеля равна средней доходности акций соответствующего вида. Риск акций первого вида ( σ 1 ) есть степень колебания доходности ак ций за исследуемый период времени. Он равен среднему квадратич ному отклонению (квадратному корню из дисперсии) для доходности акций первого вида, т.е. выражается соотношением: Глава 11. Рынок капитала 262 1 σ 1 = (r i – r 1 ) 2 n Σ 2 1 1 σ 1 = (r i – r 1 )( r i – r 2 ). n Σ 2 1 2 Аналогично записывается формула риска для акций второго вида ( σ 2 ). Если доходность акций неизменна, то риск равен нулю, в осталь ных случаях он положителен. Мы будем использовать один и тот же термин «риск» как в отношении дисперсии, так и в отношении сред него квадратичного отклонения. Для расчета риска портфеля необходимо исследовать статистичес кую взаимозависимость показателей доходности акций двух видов. Эта взаимозависимость характеризуется показателем ковариации, ко торый вычисляется по формуле: Если рост доходности одних акций обычно сопровождается паде нием доходности других акций, то ковариация отрицательна (напри мер, для фирмконкурентов). Если оба значения доходности обычно увеличиваются и уменьшаются одновременно, то ковариация поло жительна (например, поставщик и потребитель сырья). Если статистическая взаимосвязь показателей доходности акций выражена довольно сильно, то говорят, что эти показатели коррели руют друг с другом, причем в случае положительной ковариации име ет место прямая корреляционная связь, а в случае отрицательной ко вариации — обратная. При этом также используют родственный показатель парной корреляции. Риск портфеля ( σ) есть степень колебания его средней доходности. Он зависит от структуры портфеля, показателей риска акций и кова риации показателей доходности акций. Доказано, что риск портфеля выражается соотношением σ 2 = x 1 σ 1 + x 2 σ 2 + 2 σ 12 x 1 x 2 Если портфель формируется из двух активов (акций), то его ком поненты связаны соотношением: x 1 + x 2 = 1. Выразив x 1 через x 2 , получим формулу зависимости риска портфе ля от доли в нем акций первого вида: σ 2 = ( σ 1 + σ 2 – 2 σ 12 ) x 1 – 2( σ 2 – σ 12 ) x 1 + σ 2 График функции риска портфеля представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы найти точку мини мума этой кривой, продифференцируем данную функцию и, прирав няв производную нулю, получим: x 1 = ( σ 2 – σ 12 ) / ( σ 1 + σ 2 – 2 σ 12 ). На рис. 11.4 изображена функ ция риска портфеля в случае, когда риск акций второго вида больше риска акций первого вида. Доля ак ций первого вида в наименее рис кованном портфеле обозначена че рез x 1 , минимальный риск — σ m Если доля акций первого вида рав на нулю, то риск портфеля равен риску акций второго вида. Но в лю Капитал и процент 263 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * * Рис. 11.4. Функция риска портфеля |