Учебник. московский государственный университет путей сообщения
 Скачать 1.6 Mb.
|
|
Глава 4. Актуарные расчеты в страховании 4.1. Принципы расчета страховой премии Страховая премия, страховой взнос, страховой платеж. Страхова-ние является платной услугой. Из уплаченных страхователями средств фор-мируется страховой фонд для последующих выплат, и покрываются расходы на функционирование страховой организации. В соответствии со сложив-шейся традицией плата за страхование называется страховойпремией. Наряду с этим термином в практике также используются близкие по смыслу понятия страховой взноси страховой платеж. Под страховой премией понимается плата за страхование, которую страхователь (выгодоприобретатель) обязан уплатить страховщику в порядке и в сроки, которые установлены договором страхования (п. 1 ст. 954 ГК РФ). В страховании ином, чем страхование жизни, где срок действия договора составляет не более одного года, термин «страховая премия» обычно обо-значает полную плату за страхование, которую должен внести страхователь. Она может уплачиваться единовременно или в рассрочку, по частям. При уплате премии в рассрочку каждая самостоятельно уплачиваемая часть премии называется страховым взносом. В договоре страхования ука-зывается график, определяющий их величину и момент внесения. Кроме того, могут быть предусмотрены штрафные санкции за просрочку уплаты очередных взносов. Если договором установлена единовременная оплата, в этом случае единственный взнос совпадает со страховой премией и эти два термина используются как синонимы. В договорах долгосрочного страхования жизни вместо полной стра-ховой премии чаще указывают годовую премию, представляющую собой сумму взносов, которые страхователь должен уплатить в течение одного года страхования. Это связано прежде всего со случайной продолжительностью жизни застрахованного. Если он умирает, действие договора и уплата взно-сов прекращаются. Поэтому страховая премия, которая фактически будет уплачена по договору, неизвестна. Кроме того, общая величина премии при страховании жизни на несколько лет обычно представляет собой значи-тельную сумму, что психологически может отпугивать страхователей. С этой точки зрения размер годовой премии воспринимается клиентами легче. Иногда в документах или устной речи опускают слово «годовая», при опре-делении величины указывают, что эта сумма премии в год. Например: «Стра-ховая премия составляет 10 000 py6. в год». В зависимости от условий дого-вора страхования жизни порядок уплаты премии может быть различным: – единовременная уплата (вся страховая премия уплачивается еди-новременно в начале срока страхования); – уплата раз в год (годовая премия уплачивается полностью, обычно в начале каждого года); – уплата дробными платежами чаще, чем раз в год (в этом случае годовая премия делится на несколько страховых взносов, подлежащих уплате раз в полгода, раз в квартал или раз в месяц); – свободный порядок уплаты, при котором в договоре устанавливается лишь минимальная сумма, подлежащая уплате за определенный период, а страхователь сам выбирает, когда и сколько он будет платить. Понятие «страховой платеж» в отечественной практике обычно испо-льзуют как синоним страхового взноса. Особенности определения цены страхования. Актуарная матема-тика. Страхование представляет собой финансовую услугу, в рамках которой клиент обязуется уплатить премию, а страховая компания гарантирует про-извести страховые выплаты при наступлении указанных в договоре стра-хования событий (страховых случаев). Размер платы за страхование фик-сируется при заключении договора и в дальнейшем не подлежит изменению. Чтобы данная операция не была убыточной для страховщика, ее цена должна превышать себестоимость. Себестоимость оказания подобной услуги складывается из страховых выплат по договору и накладных расходов, связанных с заключением и исполнением данного договора, а также с функционированием страховой компании. Основную часть себестоимости составляют выплаты. Они про-изводятся только при наступлении страховых случаев. События, на случай наступления которых осуществляется страхование, должны обладать при-знаками вероятности и случайности. При этом в зависимости от вида стра-хования случайность может быть связана: с фактом наступления (количест-вом) страховых случаев, с размером выплаты по каждому случаю, с момен-том наступления страховых случаев. Кроме того, элемент случайности может присутствовать и в обязательствах страхователя по уплате премий. Таким образом, в страховании фактическая себестоимость услуги всег-да является случайной величиной. Поэтому при расчете страховых премий приходится количественно оценивать случайные явления. Это требует при-менения особых подходов, основанных на положениях теории вероятностей и ее отдельных прикладных направлений, таких, как теория риска. Исто-рически развитие данных областей математики и страхования были во мно-гом взаимосвязаны. Теория вероятностей позволяет аналитически описать закономерности функционирования страхового фонда. Однако необходимые для такого под-хода объективно существующие в природе значения вероятностей страховых случаев и параметры распределения величины убытков неизвестны. О них можно судить лишь на основе систематизированных наблюдений – статис-тических данных. При их обработке, а также при составлении выводов и прогнозов применяется аппарат математической статистики. В зависимости от вида страхования для расчетов используются данные и методы из раз-личных отраслей статистики – демографической, метеорологической, крими-нальной, статистики здравоохранения и т.д. С финансовой точки зрения договор страхования представляет собой набор взаимных обязательств сторон по осуществлению определенных платежей. Эти платежи осуществляются в разные моменты времени. Вре-менно свободные средства страховая компания может инвестировать в раз-личные финансовые инструменты и получать доход. При определении цены страхования для учета изменения стоимости денег во времени и допол-нительного дохода применяют аппарат финансовой математики. Это особен-но важно для страхования жизни, где срок действия договора может состав-лять десятки лет. Указанные особенности позволили выделить совокупность приемов и методов, используемых при вычислении страховых премий и резервов, в отдельную отрасль математики – страховую, или актуарную математику. Первоначально слово «актуарный» использовалось только применительно к расчетам по страхованию жизни. Однако в настоящее время этот термин распространяется на математическое обоснование всех видов страхования и даже выходит за рамки страховой отрасли. Часто «актуарными» называют любые финансовые расчеты, носящие вероятностный характер. Закон больших чисел. Совокупность всех договоров страхования, заключенных компанией, называют страховым портфелем. По каждому дого-вору существует риск наступления убытка, т.е. выплата по договору является случайной величиной. Страховой портфель представляет собой множество таких случайных величин. В рамках теории вероятностей изучены общие закономерности, кото-рым подчиняются множества случайных событий. В частности, доказано, что совокупное действие большого количества случайных величин при соблю-дении некоторых условий приводит к результату, почти не зависящему от случая. Теоремы, описывающие указанную закономерность, носят общее на-звание «закон больших чисел». Подобное «неслучайное» поведение результата воздействия большого числа случайных величин может быть объяснено взаимной компенсацией их отклонений от некоторого ожидаемого «среднего» значения. Например, ре-зультат страхования по любому конкретному договору является случайным. Если сумма выплат по нему окажется меньше уплаченной премии, для стра-ховой компании результат будет положительным. В противном случае – от-рицательным. Но в рамках коллектива договоров суммирование подобных положительных и отрицательных отклонений уменьшает разброс общего результата по портфелю. Совокупный итог страховых операций утрачивает случайный характер, становится более предсказуемым, закономерным. В этом проявляется эффект так называемого коллективного баланса. При установлении платы за страхование очень важно правильно оп-ределить цену риска, который передает участник в фонд. Согласно закону больших чисел для значительной совокупности рисков сумма убытков будет с высокой вероятностью стремиться к своему ожидаемому значению. Это означает, что при расчете цены страхования для количественной оценки риска можно использовать ожидаемые значения выплат. При использовании закона больших чисел для объединения даже ог-ромного числа случайных величин следует понимать, что он не гарантирует равенство наблюдаемых средних результатов ожидаемым теоретическим значениям. Закон позволяет лишь говорить о том, что для больших множеств серьезные относительные отклонения фактических результатов от ожидае-мых значений менее вероятны. Для крупных объединений рисков возможная сумма убытков более предсказуема, чем для малых. Поэтому рост количе-ства договоров в портфеле страховой компании необходим, прежде всего, для обеспечения надежности. Для оценки риска необходимо знать вероятности и ожидаемые суммы убытков. Однако объективно существующие теоретические значения этих параметров неизвестны. Имеются лишь данные о страховых случаях за прошлые годы, которые представляют собой результаты реализации изу-чаемых случайных событий. Если их достаточно много, то согласно закону больших чисел наблюдаемые средние значения почти наверняка будут близки к ожидаемым. Тем самым закон дает возможность использовать ста-тистические данные для оценки вероятностей наступления рисков и ожи-даемых значений убытков. Таким образом, применительно к страхованию закон больших чисел теоретически обосновывает: – возможность применения для оценки риска ожидаемых значений; – необходимость увеличения количества договоров в портфеле для уменьшения относительных отклонений результатов и обеспечения стаби-льности страхового фонда; – возможность использования статистических данных для оценки ве-роятностей и сумм убытков. Подчеркивая такое широкое применение положений закона больших чисел к страховым задачам, его часто называют фундаментальным законом страхования. Принцип эквивалентности. Премии являются основным источником средств страховой компании. Чтобы компания могла нормально работать, величина премии по договору должна быть: достаточной, т.е. обеспечи-вающей превышение ее доходов над расходами; справедливой, т.е. соответ-ствующей тому риску, который передает клиент страховой компании. Если средств собранных премий будет недостаточно для покрытия всех выплат и расходов, компании придется использовать собственные или заем-ные средства. В противном случае она разорится. Если же цена будет «не-справедливой», клиенты просто обратятся в другую компанию либо попы-таются использовать иные способы защиты, стоимость которых более точно соотносится с уровнем опасности. Договор страхования представляет собой набор взаимных обязательств страхователя и страховщика. Финансовые обязательства страхователя со-стоят в уплате премии. Страховщик в обмен на это гарантирует осущест-вление выплат при наступлении страхового случая. И те и другие обя-зательства могут быть количественно оценены в денежном выражении. Для соблюдения справедливости они должны быть эквивалентны. Принцип, ус-танавливающий равенство стоимостной оценки обязательств сторон по до-говору страхования, называется принципом эквивалентности. Фактическая величина выплат по договору является случайной вели-чиной и заранее неизвестна. Если страховой компании удалось объединить значительное число рисков в портфеле, то применим закон больших чисел. Тогда в качестве меры риска для конкретного договора можно использовать ожидаемую сумму выплат по договору. Она отражает «чистую» стоимость данного риска и может служить стоимостной оценкой обязательств стра-ховщика. В общем случае фактическая сумма премий по договору также может быть случайной величиной. Например, в долгосрочном страховании жизни уплата периодических взносов прекращается в случае смерти застрахо-ванного, и невозможно предсказать заранее, какая сумма премии будет уп-лачена по договору. Поэтому обязательства страхователя тоже оцениваются по ожидаемой стоимости. Тогда принцип эквивалентности заключается в ра-венстве ожидаемых стоимостей обязательств сторон: Ожидаемая стоимость обязательств страхователя Ожидаемая стоимость обязательств страховщика Финансовые обязательства состоят в осуществлении определенных взаимных платежей. Если время между ними относительно невелико и не превышает одного года, то в первом приближении можно не учитывать из-менение стоимости денег во времени. Однако по договорам, заключенным на несколько лет, приходится принимать в расчет инфляцию, изменение цен и возможный доход от инвестирования временно свободных средств. Поэтому при оценке все платежи по договору с помощью дисконтирования приводят к одному моменту времени – к моменту заключения договора, т.е. вычисляют их современную стоимость. В итоге принцип эквивалентности в общем случае будет означать равенство современных ожидаемых стоимостей обя-зательств сторон: Современная ожидаемая стоимость обязательств страховщика Современная ожидаемая стоимость обязательств страхователя В данном виде принцип эквивалентности используется главным обра-зом при расчетах премий по долгосрочному страхованию жизни. Рассмот-ренная выше первая формулировка, которая не учитывает изменение стои-мости денег во времени, является частным случаем и применяется в боль-шинстве видов имущественного страхования, а также в личном страховании, где срок действия договора не превышает одного года. Применение принципа эквивалентности для расчета страховых премий возможно только при наличии значительной совокупности рисков, поведение которой подчинено закону больших чисел. В противном случае оценка риска по ожидаемым значениям может быть неадекватной. Рисковая премия. Премия, которая рассчитывается на основе прин-ципа эквивалентности и обеспечивает его соблюдение, называется «рисковая премия». Она соответствует стоимости того отдельного риска, который стра-ховщик принимает на себя по договору страхования. Для вывода формул расчета рисковой премии на основе принципа эк-вивалентности вначале производится оценка ожидаемой стоимости обяза-тельств сторон. Приравнивая их, получают уравнение, где величина премии в обязательствах страхователя является неизвестным. В результате его реше-ния в общем виде получают необходимые расчетные зависимости. Рисковая надбавка. Если каждая рисковая премия эквивалентна ожи-даемому убытку по договору, то их сумма будет равна ожидаемой сово-купной величине выплат по всему портфелю, т.е. чистые справедливые премии являются достаточными, если фактическая сумма выплат не пре-высит ожидаемую. Однако на практике могут иметь место отклонения от ожидаемых значений как в меньшую, так и в большую сторону. Подобные колебания являются следствием действия особых рисков, которые возникают в результате объединения договоров в один портфель. Прежде всего, для любого страхового портфеля всегда существует риск случайности. Даже если известны объективно существующие теоретические вероятности наступления страховых случаев и распределение выплат, пред-сказать конкретные значения, которые примут случайные величины, невоз-можно (поэтому они и называются случайными). Даже для огромных сово-купностей закон больших чисел не гарантирует равенства фактических сред-них величин ожидаемым. Он лишь позволяет оценить интервал, в который с заданной вероятностью попадет это значение. Ширина такого интервала зависит от количества рисков в портфеле. Чем их больше, тем менее ве-роятны большие отклонения от ожидаемых значений. Однако такая вероят-ность, пусть и очень малая, всегда существует. При расчете рисковых премий ориентируются на ожидаемые значения, но никто не знает истинных (теоретических) ожидаемых значений количест-ва страховых случаев и убытков ни для отдельного договора, ни для порт-феля в целом. На практике их приходится оценивать на основе имеющейся статистики. Получаемые оценки всегда в той или иной мере отличаются от истинного значения. Это привносит в деятельность страховой компании до-полнительную неопределенность, которую называют риском оценки. Статистические данные, на основе которых оцениваются случайные ве-личины, собраны в прошлых периодах. Однако в будущем уровень «опас-ности» может измениться. Это относится ко всем областям человеческой жизни. Климатические изменения влияют на вероятность природных ката-строф. Благодаря научному прогрессу появляются новые виды техники, свойства которых еще плохо изучены. Развитие медицины снижает риск смертности и увеличивает продолжительность жизни. Поэтому тарифы, рассчитанные методически верно по абсолютно надежным оценкам, могут оказаться недостаточными. Требуется прогнозирование изменения уровня «опасностей» во времени. В результате возникает так называемый риск прогноза. Все три составляющие неопределенности, присущие страхованию, объединяются общим понятием «технический страховой риск». Из-за его наличия в деятельности каждого страховщика всегда есть вероятность не-благоприятного отклонения фактической суммы убытков по портфелю от ее ожидаемой величины. Для компенсации возможных отклонений страховая компания может использовать собственные или заемные средства либо за-ранее сформированные специальные резервы. Одним из основных источ-ников средств покрытия данного риска является рисковая (или гарантийная) надбавка. Для случайной величины вероятность принять значение больше или меньше математического ожидания равна 50%. Поэтому рисковая премия, которая ориентируется на ожидаемые значения, будет достаточна лишь в половине случаев. Дополнение ее рисковой надбавкой увеличивает вероят-ность безубыточной работы компании до некоторого заданного страхов-щиком уровня, который называется «гарантия безопасности». Ее практическая величина находится в пределах от 95 до 99,99%, но никогда не может достичь 100%. Это можно объяснить следующим образом. Если страховщик хочет абсолютно достоверно обеспечить превышение пре-мий над выплатами, он должен сформировать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы. В этом случае премия по каждому договору будет равна страховой сумме. Разумеется, такие условия являются непри-емлемыми для страхователей. Поэтому компании вынуждены принимать гарантию безопасности меньше 100%, хотя и достаточно близкую к ней. Таким образом, даже введение в премию рисковой надбавки может гаран-тировать безубыточность работы только с некоторой, пусть и очень большой, вероятностью. Задача расчета рисковой надбавки достаточно сложна. Для ее решения необходимо, во-первых, определить требуемую общую сумму рисковых над-бавок и, во-вторых, установить «справедливый» принцип деления этой об-щей суммы между всеми договорами. На практике в портфеле объединяются разные по степени «опасности» договоры, и совокупный убыток может иметь более сложное распределение. Поэтому существуют различные подходы к делению надбавки: принцип математического ожидания (т.е. пропорциона-льно рисковой премии), принцип среднеквадратического отклонения, прин-цип дисперсии и т.д. Возможны также их комбинации. Величина рисковой надбавки зависит от заданного уровня гарантии безопасности и разброса совокупного убытка относительно ожидаемого зна-чения. Последний, в свою очередь, определяется количеством договоров в портфеле и дисперсией (среднеквадратическим отклонением) рисков, состав-ляющих данный портфель. |