черный лебедь. Черный лебедь. Непредсказуемости
 Скачать 2.55 Mb.
|
|
Глава 15. Кривая нормального распределения, великий интеллектуальный обман 68 Не стоит рюмки ликера. – Ошибка Кетле. – Средний человек – чудовище. – Давай обожествим ее. – Да или нет. – Не такой буквальный эксперимент Забудьте всё, что вам рассказывали в колледже про статистику и теорию вероятности. Если вы никогда не слушали такого курса лекций, еще лучше. Начнем с самого начала. По Гауссу и по Мандельброту В декабре 2001 года, по пути из Осло в Цюрих, я делал пересадку во Франкфурте. Нужно было как-то убить время в аэропорту, и мне представился отличный повод купить темного европейского шоколада и даже убедить себя, что транзитные калории в орга- низме не задерживаются. Кассир дал мне, помимо прочего, банкноту в 10 немецких марок, которую (нелегально отсканированную) вы можете увидеть на следующей странице. Через несколько дней немецкие марки должны были выйти из обращения, так как Европа перехо- дила на евро. Я сохранил банкноту на память. Перед приходом евро в Европе было множе- ство национальных валют, что было хорошо для печатников, обменных пунктов и, конечно, валютных трейдеров, таких как ваш (более или менее) покорный слуга. Я жевал темный европейский шоколад, с грустью глядя на банкноту, – и вдруг чуть не подавился. Я заметил на ней (впервые!) кое-что весьма примечательное. На банкноте был портрет Карла Фридриха Гаусса и изображение… его кривой нормального распределения. Вся ирония в том, что более неподходящего изображения, чем “гауссова кривая”, для данной немецкой банкноты не придумаешь: в 20-е годы рейхсмарка (так эта валюта называ- лась раньше) упала с четырех за доллар до четырех триллионов за доллар всего за несколько лет, то есть очевидно, что колебания курса валют не описываются кривой нормального рас- пределения. По-моему, метаморфозы, произошедшей с рейхсмаркой, было более чем доста- точно, чтобы больше не допускать гауссиану на денежные знаки. Но на моей банкноте была именно она, гауссиана, и рядом с ней герр профессор, доктор Гаусс, невозмутимый, немного суровый человек, с которым я едва ли захотел бы, развалившись в шезлонге и попивая ликер, поболтать о том о сем. 68 Тот, кто не любит технических подробностей, или интуитивист может пропустить эту главу, так как она касается различных деталей “гауссовой кривой”. Также ее можно пропустить, если вы относитесь к категории тех счастливцев, которые с гауссианой незнакомы вообще. Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 173 Последняя банкнота в 10 марок с изображением Гаусса и кривой нормального средне- станского распределения. Но представьте, солидные управляющие в крупнейших банках, которые носят строгие темные костюмы и с важным видом обсуждают поведение валют, вовсю пользуются “гаус- совой кривой” как инструментом для измерения риска. Ужас! Нарастание убывания Основной принцип “гауссовой кривой”, позвольте напомнить, состоит в том, что боль- шинство наблюдений относится к заурядности, к среднему; по мере того как вы отдаляетесь от средних величин, шансы отклонения падают все быстрее и быстрее (экспоненциально). Если вам нужна сжатая формулировка, вот она: резкий рост скорости падения шансов при удалении от центра, то есть от среднего. Чтобы это проиллюстрировать, я беру пример гаус- совой величины, такой как рост, и немного упрощаю его, чтобы сделать более наглядным. Предположим, что средний рост (мужчин и женщин) 1 метр 67 сантиметров, или 5 футов 7 дюймов. Будем считать, что так называемая единица отклонения равна в данном случае 10 сантиметрам. Взглянем на ряд прибавок к 1 метру 67 сантиметрам и рассмотрим шансы того, что кто-то окажется столь высоким. на 10 см выше среднего (т. е. выше 1 м 77 см, или 5 футов 10 дюймов): 1 из 6,3 на 20 см выше среднего (т. е. выше 1 м 87 см, или 6 футов 2 дюймов): 1 из 44 на 30 см выше среднего (т. е. выше 1 м 97 см, или 6 футов 6 дюймов): 1 из 740 на 40 см выше среднего (т. е. выше 2 м 07 см, или 6 футов 9 дюймов): 1 из 32 000 на 50 см выше среднего (т. е. выше 2 м 17 см, или 7 футов 1 дюйма): 1 из 3 500 000 на 60 см выше среднего (т. е. выше 2 м 27 см, или 7 футов 5 дюймов): 1 из 1 000 000 000 на 70 см выше среднего (т. е. выше 2 м 37 см, или 7 футов 9 дюймов): 1 из 780 000 000 000 Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 174 на 80 см выше среднего (т. е. выше 2 м 47 см, или 8 футов 1 дюйма): 1 из 1 600 000 000 000 000 на 90 см выше среднего (т. е. выше 2 м 57 см, или 8 футов 5 дюймов): 1 из 8 900 000 000 000 000 000 на 100 см выше среднего (т. е. выше 2 м 67 см, или 8 футов 9 дюймов): 1 из 130 000 000 000 000 000 000 000 …и на 110 см выше среднего (т. е. выше 2 м 77 см, или 9 футов 1 дюйма): 1 из 36 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. Думаю, не ошибусь, если скажу, что после 22 отклонений, означающих превышение среднего роста на 2 м 20 см, шансы достигают числа, имеющего в знаменателе так называ- емый “гугол” – единицу со ста нулями. Цель этого списка – проиллюстрировать ускорение. Обратите внимание на разницу в шансах между превышением среднего роста на 60 и на 70 сантиметров: всего 4 лишних дюйма снижают шансы с одного на миллиард до одного на 780 миллиардов! А теперь посмотрите на скачок между 70 и 80 сантиметрами: еще 4 дюйма, и шансы слетают с одного на 780 миллиардов до одного на 1,6 миллиона миллиардов! 69 Это стремительное убывание вероятности какого-либо явления и приводит к игнори- рованию аномалий. Только одна кривая может давать такое убывание – гауссиана (и ее немас- штабируемые родичи). Принцип Мандельброта Для сравнения возьмем другой пример: взглянем на шансы быть состоятельным в Европе. Будем исходить из того, что состоятельность там – величина масштабируемая, то есть мандельбротовская. (Это конечно же приблизительное описание; оно упрощено, чтобы подчеркнуть логику масштабируемого распределения.) 70 Масштабируемое распределение капитала Люди с чистым капиталом выше 1 миллиона евро: 1 из 62,5 выше 2 миллионов евро: 1 из 250 выше 4 миллионов евро: 1 из 1000 выше 8 миллионов евро: 1 из 4000 выше 16 миллионов евро: 1 из 16 000 выше 32 миллионов евро: 1 из 64 000 выше 320 миллионов евро: 1 из 6 400 000 Скорость убывания здесь остается постоянной (падения нет!). Удваивая сумму денег, урезаем долю в четыре раза, не важно, на каком уровне, – 8 миллионов евро или 16 миллионов евро. Вот вам, по существу, и разница между Среднестаном и Крайнестаном. 69 Один из наименее понятых аспектов гауссианы – это ее слабость и уязвимость в оценке хвостовых событий. Шансы отклонения на 4 сигмы (сигма – индикатор степени отклонений) вдвое выше, чем на 4,15 сигмы. Шансы отклонения на 20 сигм – в триллион раз выше, чем на 21 сигму! Это значит, что небольшая ошибка в измерении сигмы приведет к огромной недооценке вероятности. То есть относительно некоторых событий мы можем ошибиться в триллион раз. 70 Моя основная мысль, которую я на все лады повторяю в третьей части, такова. Все крайне упрощается, если понять, что есть две, и только две, возможные парадигмы: немасштабируемая (вроде гауссовой) и другая (как мандельбротовская случайность). Мы вскоре увидим, что достаточно отказаться от применения немасштабируемой парадигмы, чтобы изба- виться от узкого взгляда на мир. Это подобно отрицательному эмпиризму: я набираюсь знаний, отметая то, что неверно. Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 175 Напомню сравнение между масштабируемым и немасштабируемым, проведенное нами в главе 3. Масштабируемость означает, что нет встречного ветра, который мешает дви- гаться вперед. Конечно, мандельбротовский Крайнестан может принимать разные формы. Рассмот- рим капитал в предельно концентрированной версии Крайнестана; там, удваивая капи- тал, уполовиниваешь долю. Результат количественно отличается от примера, приведенного выше, но он подчиняется той же логике. Фрактальное распределение капитала с большой дифференциацией Люди с чистым капиталом выше 1 миллиона евро: 1 из 63 выше 2 миллионов евро: 1 из 125 выше 4 миллионов евро: 1 из 250 выше 8 миллионов евро: 1 из 500 выше 16 миллионов евро: 1 из 1000 выше 32 миллионов евро: 1 из 2000 выше 320 миллионов евро: 1 из 20 000 выше 640 миллионов евро: 1 из 40 000 Если бы мы подсчитывали капиталы по методу Гаусса, то наблюдали бы следующую картину. Распределение капитала, исходя из закона Гаусса Люди с чистым капиталом выше 1 миллиона евро: 1 из 63 выше 2 миллионов евро: 1 из 127 000 выше 3 миллионов евро: 1 из 14 000 000 000 выше 4 миллионов евро: 1 из 886 000 000 000 000 000 выше 8 миллионов евро: 1 из 16 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 выше 16 миллионов евро: 1 из… ни один из моих компьютеров не справляется с вычислением. Этими списками я хочу показать качественное различие парадигм. Итак, вторая парадигма масштабируема; в ней нет встречного ветра, который сбивает с ног. Заметим, что существует другой термин для определения масштабируемости – степен- ные законы. Само по себе осознание, что мы живем в среде, где властвуют такие законы, дает нам немного. Почему? Потому что в реальной жизни придется производить вычисления куда более сложные, чем те, что предлагаются Гауссом. Только “гауссова кривая” довольно легко открывает свои свойства. Мой метод – это скорее определенный взгляд на мир в целом, а не какое-то точное решение. Что надо запомнить Запомните: любая разновидность “гауссовой кривой” сопротивляется силе встречного ветра, под порывами которого шансы падают все быстрее и быстрее по мере удаления от нормы, в то время как масштабируемые, или Мандельбротовские, варианты никаким ветрам не подвластны. Это в общем-то главное из того, что вам необходимо знать 71 71 Заметим, что масштабируемость величин не обязательно безгранична, но предел может быть очень-очень отдален- ным, и поскольку мы не знаем, где он, то обращаемся с имеющейся ситуацией, как если бы она была неограниченно мас- штабируемой. Практически количество проданных экземпляров одной книги не может превышать количество живущих на земле людей, но этот верхний предел настолько велик, что мы вправе его вообще не учитывать. Более того, в новой обложке книгу, вероятно, удастся продать человеку, уже ее читавшему. А если говорить о кино, то нетрудно побудить зри- теля несколько раз посмотреть один и тот же фильм. Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 176 Неравенство Давайте приглядимся получше к природе неравенства. В гауссовой структуре по мере увеличения отклонений неравенство все больше сходит на нет – из-за роста скорости паде- ния. С масштабируемым все иначе: неравенство постоянно остается тем же. Неравенство среди сверхбогатых такое же, как и среди просто богатых, – оно не стирается 72 Рассмотрим конкретный пример. Возьмем наугад, скажем, двух американцев, которые вместе зарабатывают 1 миллион долларов в год. Каково самое вероятное распределение этих денег? В Среднестане – по полмиллиона каждому. В Крайнестане расклад был бы таков: $50 000 и $950 000. В ситуации с продажами книг расклад получился бы еще более асимметричным. Если бы два автора продали миллион книг, то выяснилось бы, что раскуплено 993 000 экземпляров книги одного, а другого – 7000. Эта комбинация куда вероятнее, чем то, что каждой книги продалось по 500 000 экземпляров. Чем крупнее сумма, тем асимметричней будут части, на которые она разобьется. Почему именно так? Для сравнения возьмем, например, человеческий рост. Если бы я сказал вам, что суммарный рост двух человек 14 футов, вы, скорее всего, разбили бы это число пополам: по 7 футов у каждого, но не стали бы предполагать, что у одного рост 2 фута, у другого 12 футов. Даже вариант 8 футов и 6 футов маловероятен! Люди выше 8 футов настолько редки, что такая комбинация была бы невозможна. Крайнестан и правило 80/20 Вы когда-нибудь слышали о правиле 80/20? Это своего рода “бренд” степенного закона – собственно, с этого и началось, когда Вильфредо Парето заметил, что 80 процентов земли в Италии принадлежит 20 процентам населения. Некоторые трактуют это правило таким образом: 80 процентов работы делается 20 процентами населения. Или еще вариант: 80 про- центов усилий дают только 20 процентов результата, и наоборот. Замечу, что правило это сформулировано не самым впечатляющим образом: его легко было бы назвать правилом 50/01, то есть 50 процентов работы делается 1 процентом работ- ников. В последней формулировке мир предстает еще более несправедливым, но она абсо- лютно идентична первой. В каком смысле? Ну если уж неравенство существует, то нужно уточнить: те, кто составляют 20 процентов в правиле 80/20, вносят разный по объему вклад – лишь немногие из них обеспечивают ту самую, львиную, долю результатов. Примерно один из сотни обеспечивает чуть больше половины общего вклада. Правило 80/20 – только метафора; это не общее правило, тем более – не строгий закон. В американском книжном бизнесе пропорция скорее будет 97/20 (то есть 97 процентов про- даж книг приходятся на долю 20 процентов авторов); если проанализировать соотношение в литературе не художественной, разрыв будет еще более разительным (половину продаж обеспечивают 20 книг из почти 8 тысяч). Хочу заметить, что не все тут так уж неопределимо. В некоторых ситуациях концен- трация 80/20 обладает весьма предсказуемыми и опознаваемыми свойствами, что позволяет 72 В августе 2006 г. я жил в отеле в Дедэме, в штате Массачусетс, рядом с летним лагерем, где отдыхал мой ребенок, и там как раз дорабатывал эту книгу. Признаться, тогда меня заинтриговало обилие крупногабаритных фигур, бродивших по холлу и создававших длинные очереди у лифтов. Как выяснилось, в этом отеле проводился ежегодный съезд “Националь- ной ассоциации в поддержку тучных людей”. Большинство делегатов были настолько толстыми, что я затруднялся выде- лить среди них главного тяжеловеса: между толстяками царило своеобразное равенство (поскольку еще большая тучность просто несовместима с жизнью). А вот на съезде “Национальной ассоциации в поддержку богатых людей” один наверняка затмевал бы остальных и даже среди сверхбогатеев очень малый процент представлял бы большую долю общего богатства. Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 177 принимать уверенные решения, поскольку вы можете заранее вычленить эти важные 20 про- центов. Такие ситуации очень легко контролировать. Например, Малкольм Гладуэлл писал в “Нью-Йоркере”, что лишь немногие зверюги охранники издеваются над заключенными. Отфильтруйте этих охранников, и уровень издевательств в тюрьме резко упадет. С другой стороны, в издательском деле никогда заранее не знаешь, какая книга принесет жирную при- быль. То же и с войнами: предугадать, какой именно очередной конфликт погубит огромную часть населения планеты, невозможно. Трава и деревья Начну эту главу с того, что подытожу и повторю рассуждения, уже изложенные ранее. Шкалирование неопределенности, основанное на кривой нормального распределения, не учитывает возможности (и соответственно влияния) резких скачков или разрывов, а потому неприменимо в Крайнестане. Пользоваться им – все равно что рассматривать траву, вгля- дываясь в мелкие стебельки и не замечая (огромных!) деревьев. Непредсказуемые большие отклонения, конечно, редки, но на них нельзя закрывать глаза, поскольку их кумулятивный эффект огромен. Традиционное гауссово исследование мира начинается с фокусирования на обыч- ном, и лишь потом, как нечто побочное, рассматриваются исключения или так называемые “выбросы”. Но есть и другой подход, который за основу берет исключительное, а второсте- пенным считает обычное. Я не раз уже подчеркивал, что есть случайности двух видов, качественно различные, как воздух и вода. Одна не зависит от крайностей; другая, наоборот, находится под их силь- ным воздействием. Одна не порождает Черных лебедей; другая порождает. Недопустимо использовать для газа те же характеристики, что и для жидкости. И если бы это было допу- стимо, такой подход не назывался бы “приближением”. Газ не “приближается” к жидкости. Можно с толком использовать гауссов метод для упорядочения тех величин, которые по объективным причинам не слишком сильно удаляются от средних значений. Если пере- менные находятся в зоне действия закона гравитации или имеются физические ограничения, препятствующие чрезмерной дифференциации размеров, значит, мы попали в Среднестан. Если сила равновесия настолько велика, что малейшая разбалансировка мгновенно ликви- дируется, то опять-таки гауссов метод вполне приемлем. В противном случае грош ему цена. Вот почему экономика в общем-то зиждется на понятии равновесия: оно помимо всего про- чего устраивает экономистов тем, что позволяет втискивать экономические явления в гаус- совы рамки. Заметьте, я не утверждаю, что среднестанский тип случайности не допускает никаких крайностей. Но они настолько редки, что в конечном итоге роль их очень невелика. Эффект таких крайностей ничтожно мал и уменьшается с увеличением общей совокупности. Теперь немного конкретики: если у вас имеется набор великанов и карликов, а иначе говоря, наблюдения, различающиеся на несколько порядков величины, вы можете все-таки оставаться на территории Среднестана. Почему? Сейчас выясним. Предположим, что у вас есть выборка в тысячу человек, с широким диапазоном от карлика до великана. Скорее всего, в этой выборке встретится много великанов, а не только какой-то один, случайный. Неожиданно возникший лишний великан не изменит среднего показателя, потому что зара- нее предполагается, что великанов несколько и ваш средний показатель, скорее всего, и так достаточно высок. Другими словами, наибольший экземпляр не может сильно возвышаться над средним. Средний показатель всегда учитывает наличие как великанов, так и карликов, поэтому никто из них не попадет в разряд редкостных исключений – если только не наро- Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 178 дится вдруг какой-нибудь уникальный мегавеликан или микрокарлик. Это будет Среднестан с большой амплитудой разброса. Снова отметим следующую закономерность: чем реже событие, тем менее точно мы можем оценить степень его вероятности – даже в рамках гауссианы. Позвольте вам продемонстрировать, как “гауссова кривая” вытесняет из жизни слу- чайность – потому она так и популярна. Мы любим ее за то, что она дает определенность! Каким образом? За счет усреднения, о чем сейчас и пойдет разговор. |