черный лебедь. Черный лебедь. Непредсказуемости
 Скачать 2.55 Mb.
|
|
Почему нам удается спокойно пить кофе Вспомним кое-что из обсуждения Среднестана в главе 3: ни одно отдельное наблю- дение не влияет на итог. И это свойство будет приобретать все большую и большую значи- мость по мере увеличения рассматриваемой вами совокупности. Средние показатели будут все больше и больше стабилизироваться, пока в конце концов самые разные выборки не ста- нут похожими как две капли воды. За свою жизнь я выпил множество чашек кофе (это моя главная слабость). Но нико- гда не видел, чтобы чашка подпрыгнула на два фута и кофе не проливался на эту рукопись без внешнего вмешательства (даже в России). В самом деле, чтобы стать свидетелем такого события, недостаточно невинного пристрастия к кофе; потребуется больше жизней, чем, пожалуй, можно вообразить, – шансы равны единице после такого количества нолей, что я не смогу их выписать, даже если употреблю на это все свое свободное время. Но законы физики свидетельствуют, что чашка все же могла бы подпрыгнуть, – это очень маловероятно, но возможно. Частицы постоянно куда-нибудь прыгают. Как получи- лось, что кофейная чашка, сама состоящая из прыгающих частиц, не прыгает? Причина, говоря попросту, вот в чем: чтобы чашка подпрыгнула, нужно, чтобы все частицы прыгнули в одну и ту же сторону и сделали бы это вместе несколько раз подряд (при компенсирующем движении стола в обратную сторону). Все несколько триллионов частиц в моей кофейной чашке не прыгнут в одну и ту же сторону; этого не случится, сколько бы ни просущество- вала еще наша Вселенная. Поэтому я могу спокойно поставить кофейную чашку на край письменного стола и призадуматься о более серьезных зонах неопределенности. Спокойствие, гарантированное моей кофейной чашке, иллюстрирует то, как гауссова случайность “укрощается” усреднением. Если бы моя чашка была одной большой частицей и вела себя так, как обычно ведет себя отдельная частица, то ее прыжки доставляли бы массу неприятностей. Но моя чашка – это триллионы очень маленьких частиц. Рис. 7. Как работает закон больших чисел Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 179 При увеличении размера среднестанской выборки ее срединная составляющая будет выглядеть все менее и менее распыленной – распределение будет сужаться и сужаться. Вот так, собственно, все и работает в статистической теории (или должно работать). Неопреде- ленность в Среднестане исчезает при усреднении. Это иллюстрация избитого "закона боль- ших чисел". Хозяева казино прекрасно это понимают, и поэтому они никогда (если всё правильно делают) не теряют денег. Они просто не позволяют одному игроку сделать крупную ставку, вместо этого предпочитая, чтобы множество игроков сделали ряд ставок ограниченного раз- мера. Игроки могут в сумме поставить 20 миллионов долларов, но не надо беспокоиться о благополучии казино: ставки равны в среднем 20 долларам; казино ограничивает ставки тем максимумом, который позволяет хозяевам казино спокойно спать по ночам. Поэтому коле- бания доходов казино будут смехотворно малы, независимо от активности всех имеющихся в наличии игроков. Никто из них никогда не выйдет из казино с миллиардом долларов. Вышеизложенное представляет собой проявление высшего закона Среднестана: когда игроков множество, отдельный игрок практически не повлияет на итог, кроме как по мелочи. Отсюда следует то, что колебания вокруг среднего в гауссиане, также называемые “ошибками”, на самом деле – не повод для волнений. Они маленькие, их можно легко отбро- сить. Они – одомашненные флуктуации вокруг среднего. Любовь к определенности Если когда-то в колледже вам довелось прослушать (скучнейший) курс лекций по ста- тистике и вы не поняли почти ничего из того, чем так восторгался профессор, если вы так и не уяснили, что такое стандартное отклонение, не расстраивайтесь. Понятие стандарт- ного отклонения бессмысленно вне Среднестана. Ясно, что гораздо полезней и куда прият- ней было бы прослушать курс по биологическим аспектам эстетики или постколониальному африканскому танцу, и это проверяется эмпирически. Стандартные отклонения не существуют вне гауссианы, а если и существуют, то они не важны и мало что объясняют. Но дальше – хуже. Гауссово семейство (которое включает различных друзей и родственников, скажем, закон Пуассона) – единственный класс распре- делений, для описания которого достаточно стандартного отклонения (и среднего показа- теля). Больше ничего не нужно. “Гауссова кривая” – находка для любителей упрощений. Есть другие понятия, которые почти ничего не значат вне гауссовой ситуации – корре- ляция и, хуже того, регрессия. Но они глубоко внедрились в наши методы; в любом деловом разговоре непременно услышишь слово корреляция. Чтобы увидеть, сколь бессмысленна бывает корреляция вне Среднестана, рассмотрим данные прошлых лет, по две величины, которые уж наверняка из Крайнестана, скажем, рынки облигаций и акций, или две цены акций, или такие две величины, как изменения в продажах детских книг в США и в производстве удобрений в Китае; или цены на недвижи- мость в Нью-Йорке и обороты монгольского фондового рынка. Измерьте корреляцию между парами величин за различные периоды, скажем, за годы 1994, 1995, 1996 и т. д. Корреляци- онное соотношение, скорее всего, будет резко меняться от периода к периоду. И при этом все говорят о корреляции как о некой реальности, делая ее осязаемой, наделяя ее физическими свойствами, материализуя ее. Мы склонны конкретизировать и то, что называем “стандартными” отклонениями. Рас- смотрим любой ряд прошлых цен или значений. Разбейте его на отрезки и измерьте их “стандартное” отклонение. Удивлены? Каждая выборка даст свое “стандартное” отклоне- ние. Тогда почему все говорят о стандартных отклонениях? Попробуй пойми. Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 180 Картина тут та же, что и при искажении нарратива: когда сравниваешь прошлые факты и вычисляешь одну-единственную корреляцию или стандартное отклонение, такой неста- бильности не замечаешь. Как вызывать катастрофы Если вы пользуетесь термином статистически значимый, опасайтесь иллюзии опре- деленности. Всегда есть вероятность, что кто-то примет свои ошибки наблюдения за гаус- совы, но тогда и контекст должен быть соответствующим, гауссовым, то есть среднестан- ским. Чтобы показать, сколь неизбывно злоупотребление гауссианой и сколь это может быть опасно, рассмотрим (скучную) книгу под названием “Катастрофа”, написанную судьей Ричардом Познером, плодовитым писателем. Познер сетует, что госчиновники ничего не смыслят в случайности, и рекомендует высшим должностным лицам учиться статистике… у экономистов. Поистине судья Познер пытается провоцировать катастрофы. Жаль, конечно, что он большую часть времени отдает писательству, а не чтению, но, несмотря на это, мыс- литель он проницательный, глубокий и оригинальный. Просто, как и многие другие, не знает о том, что между Среднестаном и Крайнестаном есть существенные различия, и свято верит, что статистика – “наука”, а не обман. Если столкнетесь с ним, расскажите ему, как все обстоит на самом деле. Усредненное чудовище Кетле Эта химера, называемая “гауссовой кривой”, или гауссианой, создана была не Гаус- сом. Да, он работал над ней, но как математик-теоретик, не прилагая ее к устройству нашей реальности, как это делают ученые со статистическим поворотом ума. Г. X. Харди писал в “Апологии математика” 73 : “Настоящая” математика “настоящих” математиков, таких как Ферма, Эйлер, Гаусс, Абель и Риман, почти целиком “бесполезна” (что верно не только для “чистой”, но и для “прикладной” математики)”. Ранее я уже говорил, что кривая нормального распределения была в общем-то изоб- ретением игрока, Абрахама де Муавра (1667–1754), французского изгнанника-кальвиниста, который провел большую часть своей жизни в Лондоне, хотя и говорил по-английски с силь- ным акцентом. Но, как мы сейчас с вами увидим, одним из самых злостных вредителей в истории развития мысли надо считать совсем даже не Гаусса, а Кетле. Адольф Кетле (1796–1874) создал понятие “l’homme moyen” – “физически средний человек”. Сам Кетле, “человек, наделенный мощными творческими страстями, творец, пол- ный энергии”, ни в чем не был moyen. Он писал стихи и даже принял участие в сочинении оперы. Беда заключалась в том, что Кетле был математиком, а не ученым-эмпириком, только сам этого не осознавал. Он усмотрел гармонию в кривой нормального распределения. У этой проблемы два уровня. Primo. Кетле увлекся идеей “нормативности”, он хотел подогнать мир под некие сред- ние стандарты, питая иллюзию, что это среднее и есть “норма”. Конечно, было бы замеча- тельно, если бы мы могли игнорировать влияние на нашу действительность всего необыч- ного, “ненормального”, то есть Черного лебедя. Но оставим эту мечту утопистам. SeconcLo вытекает из primo и представляет собой серьезную эмпирическую проблему. Математику повсюду мерещились колоколовидные кривые. Они ослепляли его, и я вновь 73 На рус. яз.: Г.Г.Харди. Апология математика. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2000. Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 181 убедился: если к тебе в голову забралась такая кривая, ее трудно вытравить оттуда. Позже Фрэнк Исидро Эджуорт будет называть кетлизмом эту опасную тенденцию подводить все под “колокол”. Золотая посредственность Концепция Кетле пришлась весьма кстати идеологам того времени, которые как раз жаждали чего-либо подобного. Вы только взгляните на список его современников: Сен- Симон (1760–1825), Пьер-Жозеф Прудон (1809–1865), Карл Маркс (1818–1883), каждый – создатель своей версии социализма. В эпоху, последовавшую за веком Просвещения, все искали aurea mediocritas, золотую середину: в богатстве, росте, весе и т. д. Это стремление подчас заставляет принимать желаемое за действительное, оно во многом навеяно поисками гармонии и… платонизмом. Я навсегда запомнил директиву своего отца – “in medio stat virtus”, “доблесть – в уме- ренности”. Да, долгое время это было идеалом; посредственность в этом смысле даже счи- талась золотой. Всеохватывающая посредственность. Но Кетле поднял эту идею на новый уровень. На основе собранных им данных он начал создавать среднестатистические стандарты. Обхват груди, рост, вес детей при рождении – мало что избежало стандартизации. Отклонения от нормы, как он заметил, становятся экс- поненциально более редкими с увеличением амплитуды отклонения. Покончив с физиче- скими характеристиками, месье Кетле переключился на социальную сферу. L’homme moyen имел свои привычки, свои запросы, свои методы. Сконструировав таким образом l’homme moyen physique и Phomme moyen moral (физи- ческого среднего человека и нравственного среднего человека), Кетле обозначил некие пре- делы отклонения от среднего, внутри которых любого человека помещают слева или справа от центра и, по сути, “бракуют” тех, кто оказывается у самого края. Их объявляют аномалией. Это, естественно, очень вдохновило Маркса, который ссылается на понятие среднего, или нормального, идивидуума, введенное Кетле. Он утверждает в “Капитале”, что обществен- ные различия (например, те, что обусловлены распределением капитала) должны быть све- дены к минимуму. Надо отдать должное научной элите времен Кетле. Коллеги настороженно отнеслись к его теории. Начнем с того, что Огюстен Курно, философ, математик, экономист, усомнился в том, что можно учредить некий стандарт человека только на основании количественных характеристик. Этот стандарт будет зависеть от рассматриваемой выборки. Замеры, произ- веденные в одной провинции, могут отличаться от замеров в другой провинции. Ну и какие из них должны быть эталоном? По мнению Курно, l’homme moyen был бы чудовищем. Я так поясню его мысль. Даже если кому-то вдруг очень захотелось бы стать средним человеком, то ему при- шлось бы утаить от “замерщиков” свои профессиональные таланты, то, в чем он неизбежно превосходит остальных, – человек не может быть средним во всем. Пианист будет лучше “среднего” играть на пианино, но хуже, чем предписано “нормой”, ездить верхом. Чертеж- ник будет лучше чертить и так далее. Понятие человека, считающегося средним, отлича- ется от понятия человека среднего во всем, что он делает. В действительности абсолютно средний человек был бы наполовину мужчиной, наполовину женщиной. Кетле совершенно упустил это из виду. Ошибка Бога Еще больше удручает то, что во времена Кетле гауссово распределение называлось “la loi des erreurs” – “закон погрешностей”, так как одним из самых ранних его приложений было Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 182 распределение погрешностей в астрономических расчетах. Вам тоже не по себе? С откло- нением от среднего (в данном случае и от медианы тоже) обращались как с погрешностью! Не удивительно, что Марксу понравились идеи Кетле. Понятие усредненности распространилось мгновенно. “Так положено” спутали с “есть” – и все это с благословения науки. Понятие середняка глубоко вошло в культуру, ожи- давшую нарождения европейского среднего класса, в молодую культуру постнаполеонов- ского лавочника, опасающегося излишнего богатства и интеллектуального блеска. В прин- ципе считается, что мечта об обществе с нивелированными доходами отвечает стремлениям всякого рационально мыслящего человека, вынужденного иметь дело с генетической лоте- реей. Если бы вам предложили выбрать общество, в котором вы родитесь в следующей жизни, но неизвестно кем именно, скорее всего вы не стали бы рисковать – предпочли бы такое общество, в котором нет существенной разницы в доходах. Курьезной кульминацией восхваления посредственности стало появление во Фран- ции так называемого “пужадизма” 74 , политического движения, начавшегося с выступлений лавочников. Это было горячее братство людей более или менее благополучных, надеяв- шихся, что вся остальная вселенная подстроится под них – своего рода случай непролетар- ской революции. Их мелкоторгашеский менталитет проявлялся даже в том, как они обраща- лись с математикой. Думал ли Гаусс, что создает формулы для лавочников? Пуанкаре приходит на помощь Сам Пуанкаре относился к гауссиане с большой опаской. Я подозреваю, что он внутренне съеживался, когда ему предлагали этот и подобные подходы к моделированию неопределенности. Достаточно вспомнить, что колоколовидная кривая изначально предна- значалась для измерения астрономических погрешностей, а уже небесная механика самого Пуанкаре проникнута куда более глубоким пониманием неопределенности. Пуанкаре писал, что один из его друзей, “выдающийся физик”, жаловался ему, что физики пользуются “гауссовой кривой”, потому что, вслед за математиками, считают ее математической необходимостью, математики же пользуются ею, потому что считают ее эмпирической данностью. Будем справедливы Хочу особо отметить, что вообще-то (если оставить в стороне издержки в виде пси- хологии лавочников) я искренне верю в ценность срединности и посредственности – какой гуманист не мечтает уменьшить неравенство между людьми? Нет ничего более отталкива- ющего, чем безрассудно сотворенный идеал сверхчеловека! На самом деле меня тревожит иная проблема – эпистемологическая, то есть проблема познания. Пора уяснить, что реаль- ность – не Среднестан и нам надо научиться с этим жить. “Греки бы его обожествили” Список людей, у которых в мозгу угнездилась (благодаря своей платонической чистоте) гауссиана, невероятно велик. Сэр Фрэнсис Гальтон, двоюродный брат Чарльза Дарвина и внук Эразма Дарвина, был наряду со своим кузеном одним из последних независимых ученых-джентльменов, к како- 74 Термин “пужадизм” образован от имени Пьера Пужада (1920–2003). В 1953 г. он основал крайне правый “Союз по защите владельцев магазинов и ремесленников”, а в 1956 г. – политическую партию “Союз французского братства”, получившую свыше н % голосов избирателей на последних парламентских выборах Четвертой республики. (Прим. ред.) Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 183 вым также принадлежали лорд Кавендиш, лорд Кельвин, Людвиг Витгенштейн (на свой лад) и отчасти наш суперфилософ Бертран Рассел. Хотя Джон Мэйнард Кейнс не вполне вписы- вался в эту категорию, он мыслил в унисон с ней. Гальтон жил в викторианскую эпоху, когда обладатели наследственного состояния и неограниченного досуга не только упражнялись в верховой езде и стрельбе по дичи, но становились философами, учеными или (менее ода- ренные) политиками. Как это ни печально, вместе с той эпохой ушло нечто невосполнимое: истинные подвижники, занимающиеся наукой ради науки, не думающие о карьере. К сожалению, занятия наукой из бескорыстной любви к знанию не гарантируют, что ты будешь двигаться в правильном направлении. Познакомившись с “нормальным” распре- делением, Гальтон влюбился в него. Говорят, он однажды воскликнул, что, если бы грекам было о нем известно, они бы обожествили его. Возможно, восторг Гальтона тоже поспособ- ствовал воцарению гауссианы в научных умах. Гальтон не сподобился обзавестись надлежащим математическим багажом, но был прямо-таки одержим измерениями. Он не знал о законе больших чисел, но сам открыл его, проанализировав собранные данные. Он сконструировал доску Гальтона, или “quincunx” 75 , – что-то вроде автомата для игры в пинбол, с помощью которого можно смоделировать коло- коловидную кривую, – об этом я расскажу через несколько абзацев. Правда, Гальтон приме- нял кривую нормального распределения в таких областях, как генетика и наследственность, где ее использование оправданно. Но его энтузиазм помог внедрить зарождавшиеся стати- стические методы в социальные сферы. Ответьте, пожалуйста, “да” или “нет” А сейчас позвольте мне поговорить о размерах ущерба. Если вам нужны качественные (а не количественные) выводы, как в психологии или медицине, где вы вполне обойдетесь “безразмерными” ответами “да” или “нет”, то можете спокойно допустить, что находитесь в Среднестане. Влияние невероятного не будет слиш- ком большим. У него есть рак либо нет; она беременна либо нет и так далее. Смертельность или беременность не имеют степеней (если не рассматривать их в эпидемических масшта- бах). Но, когда вы манипулируете совокупностями, различными по величине (такими как доход, ваш капитал, прибыль с портфеля ценных бумаг или продажи книг), гауссиана может вас здорово подвести, так как эта сфера не в ее компетенции. Одно-единственное число спо- собно порушить все ваши средние показатели; одна-единственная потеря – зачеркнуть сотни и сотни прибылей. Уже нельзя говорить: “Это исключение”. Заявление “да, я могу потерять деньги” довольно бессмысленно, если не указать хотя бы приблизительную сумму. Потерять весь свой капитал или потерять долю своего дневного дохода – все-таки разница. Именно поэтому эмпирическая психология и открытые ею свойства человеческой при- роды, о которых я говорил в начале этой книги, не страдают от ложного использования гаус- сианы; психологам вообще повезло, ибо переменные, которыми они оперируют, в большин- стве своем не выходят за рамки обычной гауссовой статистики. Выясняя, сколько человек в выборке имеют определенную особенность или склонность к ошибке, они обычно добива- ются результата посредством ответов “да” или “нет”. Ни одно отдельно взятое наблюдение не может в корне изменить общего заключения. Теперь я представлю вам идею гауссианы, разобрав ее по кирпичикам. 75 Шахматный порядок (лат.). Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 184 Мысленный (численный) эксперимент, демонстрирующий, откуда происходит кривая нормального распределения Рассмотрим своего рода пинбольный автомат, такой, как на рисунке 8. Запустим 32 шара, предполагая, что доска правильно сбалансирована, так что у шара одинаковые шансы свалиться направо и налево на любом пересечении, наткнувшись на штырь. Ожидаемый результат – большая часть шаров “приземлится” в центральных ячейках: чем ячейки дальше от центра, тем меньше туда попадет шаров. Затем проведем мысленный эксперимент. Человек бросает монетку, смотрит, что выпало, орел или решка, и в зависимости от этого делает шаг влево или вправо. Это так называемое “случайное блуждание” не обязательно связано с ходьбой. С таким же успехом можно представить, что вместо шага вправо или влево вы каждый раз выигрываете или про- игрываете доллар, при этом ведя учет долларам, накопившимся у вас в кармане. Предположим, я заключаю с вами честное пари, где возможность выигрыша у вас при- мерно та же, что и проигрыша. Кидаем монетку. Орел – вы получаете доллар, решка – теря- ете доллар. Рис. 8. Доска Гальтона, или "quincunx" (в упрощении), – автомат для игры в пинбол Падающие шары, ударяясь о штыри, произвольно скатываются то вправо, то влево. На рисунке – самый вероятный сценарий, который очень похож на кривую нормального (то есть гауссова) распределения. Любезное приношение Александра Талеба. При первом броске вы либо выиграете, либо проиграете. При втором броске число возможных исходов удваивается. Вариант 1: выигрыш-выиг- рыш. Вариант 2: выигрыш-проигрыш. Вариант 3: проигрыш-выигрыш. Вариант 4: проиг- рыш-проигрыш. У каждого из этих вариантов одинаковые шансы, комбинация из одного выигрыша и одного проигрыша встречается вдвое чаще, так как варианты 2 и 3, выиг- рыш-проигрыш и проигрыш-выигрыш, приводят к одинаковому результату. И в этом ключ к гауссиане. В середине очень многое сглаживается, и, как мы увидим, к середине тяготеет большинство. Поэтому если при каждом броске разыгрывается доллар, то на втором броске ваши шансы таковы: 25 процентов, что вы приобретете или потеряете 2 доллара, и 50 про- центов, что выйдете в нуль. Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 185 Третий бросок снова удваивает число исходов, так что их становится восемь. Вари- ант 1 (выигрыш-выигрыш после двух бросков) разветвляется на выигрыш-выигрыш-выиг- рыш и выигрыш-выигрыш-проигрыш. Мы добавляем выигрыш или проигрыш к каждому из предыдущих результатов. Вариант 2 разветвляется на выигрыш-проигрыш-выигрыш и выигрыш-проигрыш-проигрыш. Вариант 3 разветвляется на проигрыш-выигрыш-выигрыш и проигрыш-выигрыш-проигрыш. Вариант 4 разветвляется на проигрыш-проигрыш-выиг- рыш и проигрыш-проигрыш-проигрыш. Теперь у нас восемь вариантов, все одинаково вероятные. Заметим, что снова можно сгруппировать средние исходы, в которых выигрыш перечеркивает проигрыш. (На доске Гальтона ситуации, когда шар отлетает влево, а затем вправо, или наоборот, преобладают, так что в результате в середине оказывается много шаров.) Совокупный итог таков: 1) три выигрыша; 2) два выигрыша, один проигрыш, итого один выигрыш; 3) два выигрыша, один проигрыш, итого один выигрыш; 4) один выигрыш, два проигрыша, итого один проигрыш; 5) два выигрыша, один проигрыш, итого один выиг- рыш; 6) два проигрыша, один выигрыш, итого один проигрыш; 7) два проигрыша, один выиг- рыш, итого один проигрыш; и, наконец, 8) три проигрыша. Из восьми вариантов вариант трех выигрышей встречается однажды. Вариант трех проигрышей встречается однажды. Вариант одного итогового проигрыша (один выигрыш, два проигрыша) встречается три раза. Вариант одного итогового выигрыша (один проиг- рыш, два выигрыша) встречается три раза. Сделаем еще один бросок, четвертый. Будет шестнадцать равновероятных исходов. Один вариант четырех выигрышей, один вариант четырех проигрышей, четыре варианта двух выигрышей, четыре варианта двух проигрышей и шесть вариантов выхода в нуль. “Quincunx” (это латинское производное от числительного “пять”) в нашем пинбольном примере представляет собой иллюстрацию пятого броска или шага, после которого шансы, как легко высчитать, возрастают до шестидесяти четырех. Вот идея, воплощенная в доске Фрэнсиса Гальтона. Гальтону явно недоставало здоровой лени и математической сметки: вместо того чтобы сооружать такое устройство, вообще-то проще было поработать с алгеб- рой или провести мысленный эксперимент вроде нашего. Однако продолжим игру до сорокового броска. На это уйдет лишь несколько минут, но понадобится калькулятор, чтобы вычислить количество исходов, так как наши мозги с этим не справятся. Получится 1 099 511 627 776 возможных комбинаций – то есть более тысячи миллиардов. Не затрудняйтесь просчитывать шаг за шагом – это будет два в сороко- вой степени, так как на каждом этапе каждая цепочка раздваивается. (Вспомните, как мы добавили выигрыш и проигрыш к вариантам третьего броска, удвоив число вариантов.) Из этих комбинаций только одна будет состоять из сорока выигрышей и только одна – из сорока проигрышей. Остальные будут тяготеть к середине, в данном случае – к нулю. Вам уже ясно, что этот тип случайности чрезвычайно беден крайностями. Все сорок бросков оказываются выигрышными лишь в одном случае из 1 099 511 627 776. Если вы станете час за часом проделывать это упражнение с сорока бросками, вам придется здо- рово попотеть, прежде чем выпадут сорок орлов (или сорок решек) подряд. Поскольку вы наверняка будете прерываться, чтобы поесть, поспорить с друзьями и соседями, попить пива и поспать, то готовьтесь, ради такой удачи, прожить около четырех миллионов жизней. А представьте, что вы добавляете один лишний бросок. Чтобы выкинуть орла сорок один раз подряд, понадобится потратить на попытки восемь миллионов жизней! Переход от 40 к 41 уменьшает шансы вдвое. Это – ключевое свойство немасштабируемого подхода к анализу случайности: крайние отклонения убывают с все возрастающей скоростью. А пятьдесят орлов подряд могут выпасть один-единственный раз на протяжении 4 миллиардов жизней! Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 186 Мы еще не получили “гауссову кривую”, но сильно приблизились к ней. Пока это про- тогауссиана, но суть уже видна. (На самом деле вы никогда не встретите “гауссову кривую” в чистом виде, так как это платоническая фигура – к ней можно только стремиться, но достичь ее невозможно.) Но, как показывает рисунок 9, знакомая колоколовидная форма уже про- сматривается. Способны ли мы ближе подойти к совершенной “гауссовой кривой”? Да. Для этого нужно разбить раунд на большее количество менее результативных бросков. Можно ставить на кон не доллар, а десять пенсов и бросать не 40, а 4000 раз, складывая результаты. Ожи- даемый риск будет приблизительно тем же – и в этом фокус. В соотношении двух назван- ных вариантов игры есть небольшой сознательный сдвиг. Мы умножили число бросков на 100, но поделили размер ставки на 10 – не ищите сейчас причины, просто предположите, что варианты “эквивалентны”. Общий риск эквивалентен, но теперь нам открылась возмож- ность выиграть или проиграть 40 долларов за 400 последовательных бросков. Шансы равны единице на единицу со 120 нулями, то есть 1/1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. Рис. 9. Количество выигрышей и проигрышей Продолжим процесс дробления. Будем бросать 400 000 раз, ставя на кон по 1 центу и подходя, таким образом, все ближе и ближе к гауссиане. Рисунок показывает распределение результатов между 40 и минус 40 долларами, то есть восьмьюдесятью смысловыми точками. При ставке в 1 цент мы доводим их до 8000 смысловых точек. Пойдем дальше. Мы можем бросить монету 4000 раз, ставя по 1/10 цента. Ну а как насчет 400 000 раз по 1/1000 цента? Совершенная кривая Гаусса (как платоническая форма) – это отображение бесконечного числа бросков с бесконечно малыми ставками. Не пробуйте их себе представить – не получится. Нам нет смысла говорить о “бесконечно малых” ставках (поскольку у нас их бесконечное множество, а значит, мы имеем дело с тем, что математики называют бесконечной структурой). Но хочу вас обрадовать: существует альтернатива. Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 187 Рис. 10. Более абстрактная версия: платоническая кривая Мы начали с простой ставки и пришли к чему-то абсолютно абстрактному. Начали с наблюдений и оказались в царстве математики. В математике вещи обретают абстрактную чистоту. Но, поскольку чистых абстракций в природе не существует, пожалуйста, даже не пытайтесь постичь глубинный смысл фигуры на рисунке 10. Просто знайте, как ею поль- зоваться. Воспринимайте ее как градусник: не обязательно понимать, что означает темпе- ратура, чтобы пользоваться показаниями градусника. Главное – знать соответствие между температурой и, скажем, комфортностью (или какими-то другими эмпирическими факто- рами). Шестьдесят градусов по Фаренгейту соответствуют приятной погоде; минус десять – не то, о чем следует мечтать. Не обязательно интересоваться действительной скоростью столкновений между частицами, которая помогла бы уяснить подоплеку понятия “темпера- тура”. Градусы – это некое подсобное средство, с помощью которого ваше сознание может перевести какие-то внешние явления на уровень чисел. Вот и гауссиана устроена так, что 68,2 процента наблюдений сосредоточиваются между минус одним и плюс одним стандарт- ным отклонением от среднего. Я повторю: даже не пытайтесь понять, является ли стан- дартное отклонение средним отклонением – нет, не является, и многие (слишком) многие люди, использующие термин стандартное отклонение, этого не понимают. Стандартное отклонение – это вопрос простого соотношения, обычное число, с которым соизмеряются явления, если они действительно из разряда “гауссовых”. Стандартное отклонение часто называется сигмой. Также говорят о дисперсии (дис- персия – это сигма в квадрате). Обратите внимание на симметричность “колокола”. Одинаковый результат получается при отрицательной и при положительной сигме. Шансы спуститься ниже минус четырех сигм равны шансам перевалить через четыре сигмы, у нас они 1 к 32 000. Как видите, основная идея “гауссовой кривой” (о чем я говорил выше) в том, что боль- шинство наблюдений колеблется в рамках заурядного, среднего, в то время как шансы откло- нения сокращаются быстрее и быстрее (экспоненциально), чем дальше вы уходите от цен- тра. Если хотите ухватить главное, вот оно: резкое ускорение падения шансов при удалении от середины. Вероятность аномалий стремительно уменьшается. Ими можно спокойно пре- небречь. Из этого свойства вытекает высший закон Среднестана: поскольку большие отклоне- ния чрезвычайно редки, их вклад в итог будет чрезвычайно мал. В примере с замерами человеческого роста я брал за единицу отклонения десять сан- тиметров, показывая, как тает процент гигантов по мере увеличения роста. Это были откло- Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 188 нения на одну сигму; а еще ростовая таблица наглядно показывает, как происходит “соизме- рение с сигмой”, – ее использование в качестве единицы измерения. Эти утешительные постулаты Выделим главные постулаты, определившиеся в ходе нашей игры в монетку, которая привела к протогауссовой, или рядовой, случайности. Первый главный постулат: броски не зависят друг от друга. У монетки нет памяти. То, что вам выпали орел или решка, вовсе не означает, что в следующий раз вас ждет удача. Умение бросать монету не приходит со временем. Если ввести такой параметр, как память или мастерство бросания, вся эта гауссова конструкция зашатается. Вспомним наши рассуждения из главы 14 о привязках и кумулятивном преимуществе. Обе теории утверждают, что сегодняшний выигрыш повышает шансы на выигрыш завтра. Поэтому вероятности зависят от истории и первый главный постулат, на котором строится гауссиана, в реальности не работает. В играх, конечно, прошлые выигрыши не должны уве- личивать вероятность будущих, но в жизни это не так, и поэтому я такой противник обуче- ния теории вероятности на примере игр. Если выигрыш влечет за собой дальнейший выиг- рыш, то у вас гораздо больше шансов стать свидетелем сорока выигрышей подряд, чем в пределах протогауссианы. Второй главный постулат: “сумасшедших” прыжков не бывает. Размер шага, этого элементарного кирпичика классического случайного распределения, всегда известен: как раз один шаг. Он всегда определен. Мы не встречали ситуаций с “сумасшедшей” неравно- мерностью движений. Помните, что, если один из этих двух главных постулатов отсутствует, ваши шаги (или подбросы монетки) не создадут в итоге гауссиану. При определенных обстоятельствах вы можете столкнуться с из ряда вон выходящей масштабно-инвариантной случайностью ман- дельбротовского типа. “Вездесущесть гауссианы” Всякий раз, когда я заявляю, что “гауссова кривая” вездесуща отнюдь не в реальной жизни, а только в умах статистиков, от меня требуют: “Докажи!” Как мы увидим в следую- щих двух главах, это сделать очень легко, а вот противоположное никому еще до сих пор доказать не удалось. Стоит мне высказать предположение, что существуют процессы, не описываемые гауссианой, меня просят это обосновать и, помимо фактов, “предъявить стоя- щую за ними теорию”. В главе 14 мы рассматривали модель “деньги идут к деньгам”, пред- лагавшуюся, чтобы оправдать неиспользование гауссианы. Разработчикам таких моделей приходится тратить уйму времени на подведение теоретической базы под возможные мас- штабируемые ситуации – как будто им надо за что-то извиняться. Теория-фигория! У меня с этим эпистемологическая проблема – с необходимостью оправдывать то, что миру не уда- ется соответствовать идеализированной модели, которую сумел пропиарить какой-то сле- пец, отрешенный от реальности. Я предпочитаю не моделировать возможные ситуации возникновения негауссовой слу- чайности (впадая тем самым в грех слепого теоретизирования), а делать нечто противопо- ложное: пристально изучать гауссиану и определять, где она действует, а где нет. Я знаю, где Среднестан. По-моему, именно приверженцы гауссианы часто (да что там – почти всегда) не вполне понимают, с чем они имеют дело, и должны обосновывать свои действия, а не наоборот. Эта вездесущесть гауссианы – не свойство мира, а проблема, существующая в наших умах и вытекающая из нашего взгляда на мир. Н. Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости (сборник)» 189 В следующей главе мы обратимся к масштабируемости окружающего мира и к свой- ствам фрактала. А в той, что за ней, коснемся злоупотребления гауссианой в социоэкономике и “необходимости строить теории”. Я порой излишне горячусь, но только потому, что провел значительную часть своей жизни, размышляя над этой проблемой. С тех пор как я начал думать над ней и проводить разнообразные мысленные эксперименты вроде описанного выше, я тщетно искал вокруг себя, в мире бизнеса и статистики, кого-нибудь, кто был бы до конца интеллектуально после- дователен в смысле осознания угрозы Черного лебедя и отказа от гауссианы и ее инструмен- тария. Многие, принявшие мою идею Черного лебедя, не смогли довести ее до логического завершения, а именно – не смогли признать, что нельзя использовать одну-единственную меру случайности, называемую стандартным отклонением (и называть ее “риском”); нельзя рассчитывать на простые ответы, когда речь идет о неопределенности. Отказ от гауссианы требует смелости, преданности истине и способности соединять разрозненные факты, тре- бует желания глубже постичь случайность. И еще нужно не возводить чужую мудрость в абсолют. Затем я начал знакомиться с физиками, которые отвергли гауссов подход, но стали жертвой другого заблуждения (иной формы платонизма), а именно – веры в точные предска- зательные модели, эксплуатирующие в основном привязку из главы 14. Я не мог найти ни одного глубокого и технически подкованного ученого, который смотрел бы на мир случай- ности и понимал его природу, видел бы в расчетах подспорье, а не самоцель. Мне потребо- валось около полутора десятилетий, чтобы открыть для себя такого мыслителя. Человека, сделавшего многих лебедей Серыми: Мандельброта – великого Бенуа Мандельброта. |