Отчет по лабораторным работам по дисциплине Конструирование программ

• Название: Отчет по лабораторным работам по дисциплине Конструирование программ
• Дата: 06.03.2021
• Размер: 356.47 Kb.
• Имя файла: Otchyot.docx
• Тип: Отчет; #182374
• страница: 8 из 9

Лабораторная работа № 9. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений

Существует большое число методов приближенного решения дифференциальных уравнений, основанных на самых различных идеях. Численные методы дают приближенное решение в виде таблицы значений в точках .

Простейшим методом численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка , удовлетворяющего начальному условию , является метод Эйлера. В нем величины вычисляются по формуле



Метод Эйлера относится к группе одношаговых, в которых для расчета точки требуется информация только о последней вычисленной точке . Геометрическая интерпретация метода изложена в подразд. 7.4.

Методы Рунге - Кутты обладают следующими отличительными свойствами:

1) являются одношаговыми: чтобы найти нужна информация только о предыдущей точке ;

2) согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где степень различна для различных методов и называется порядком метода;

3) не требуют вычисления производных от , а только вычисления функции.

Именно благодаря третьему свойству методы Рунге - Кутты более известны, нежели ряд Тейлора. Однако для вычисления одной последующей точки решения приходится вычислять несколько раз при различных значениях

Классический метод Рунге - Кутты описывается системой следующих шести уравнений:

(7.4.13)
Ошибка метода при его использовании функцию необходимо вычислять дважды.

Существуют более точные методы оценки погрешности интегрирования, основанные на использовании для контроля точности двух различных методов Рунге - Кутты. Один из самых эффективных - метод Рунге - Кутты - Фельберга. В этом методе для оценки погрешности метода пятого порядка используются формулы метода четвертого порядка точности, причем на одном шаге интегрирования требуется всего лишь шесть вычислений значений правой части
Задание № 1. Решить заданное дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера и Рунге – Кутты четвертого порядка на отрезке с шагом и оценить погрешность интегрирования по правилу Рунге.

25.

Код программы

#include

#include

using namespace std;

double cos(double x)

{

double y = 1, prev, a = 1, fact = 1;

int i=1;

const double E = 0.0001;

do

{

prev = y;

a *= x*x;

for (int j = 2 * (i - 1) + 1; j <= 2 * i; ++j)

fact *= j;

if (i % 2) y -= a / fact;

else y += a / fact;

++i;

} while (abs(y - prev) > E);

return y;

}

double func(double x, double y)

{

return cos(y) / (1.25 + x) - 0.5*y*y;

}

int main()

{

setlocale(LC_ALL, "rus");

double x1 = 0, x2 = 1, h = 0.1, x = x1 + h, y = 0, prev;

cout << "Метод Эйлера" << endl;

cout << "x = 0; y = 0" << endl;

do

{

y += h*func(x, y);

cout << "x = " << x << "; y = " << y << endl;

x += h;

} while (x <= x2);
cout << "Метод Рунге - Кутты" << endl;

double A[4][3];

A[0][0] = x1;

A[0][1] = 0;

cout << "x = 0; y = 0" << endl;

do

{

A[2][0] = A[1][0] = A[0][0] + h / 2;

A[3][0] = A[0][0] + h;

A[0][2] = func(A[0][0], A[0][1]);

A[1][1] = A[0][1] + h / 2 * A[0][2];

A[1][2] = func(A[1][0], A[1][1]);

A[2][1] = A[0][1] + h / 2 * A[1][2];

A[2][2] = func(A[2][0], A[2][1]);

A[3][1] = A[0][1] + h * A[2][2];

A[3][2] = func(A[3][0], A[3][1]);

A[0][1] += h*(A[0][2] + 2 * A[1][2] + 2 * A[2][2] + A[3][2])/6;

A[0][0] += h;

cout << "x = " << A[0][0] << "; y = " << A[0][1] << endl;

} while (A[0][0] <= x2-h);
_getch();

return 0;

}