Пояснительная записка Цель данного пособия помочь студентам глубже разобраться в разделах теоретической механики Кинематика
 Скачать 1.98 Mb.
|
|
Пример 6. На шкив радиусом R= 20 см свободно намотана нерастяжимая нить, на которой висит груз (рис.5). Двигаясь вертикально вниз из состояния покоя по уравнению x= 400t2cм, где x- расстояние от неподвижной оси mn, груз приводит во вращение шкив. При этом нить сматывается без скольжения. Найти закон вращательного движения, угловую скорость и угловое ускорения шкива, а также полное ускорение обода колеса. Решение. Система состоит из трех тел: шкива, груза В и нити. Шкив совершает вращательное движение, а груз и нить – поступательное. Отметим точку А, которая принадлежит одновременно двум телам – шкиву и нити. Скорость точки А, принадлежащей нити, Vа= Vb= dx/dt = 800t см/с  Рис. 4 Так как по условию задачи нить нерастяжима и сматывается без скольжения, то скорость той же точки А, но принадлежащей шкиву, равна VА = R ω=20 ω, тогда 20 ω= 800t, ω=40t 1/с. Угловое ускорение шкива ε = d ω/dt=40 1/с= const Закон вращательного движения шкива  Так как по условию ω0=0, то φ=20t2. Касательное ускорение точки А: αt=Rε=20*40 =8 м/с2= const Нормальное ускорение точки А:  Пример 7 Маховое колесо вращается равномерно с угловой скоростью 16 рад/с. Определит, сколько оборотов сделает колесо за 5 мин вращения. Решение 1. 1. Находим угол поворота в радианах, имея в виду что ω= 16 рад/с и t= 5мин=300с: φ= ωt =16*300=4800 рад 2. Находим число оборотов маховика:  оборота.Решение 2. Переведем угловую скорость ω=16 рад/с в об/мин:  об/минИмея в виду, что уравнение равномерного вращательного движения можно представить так: N = nt, находим N=152,5 *5 = 763 оборота Пример 8 Маховик, вращающийся с частотой n0 = 90 об/мин, с некоторого момента начинает вращаться равноускоренно и через 1,5 мин достигает частоты вращения n =150 об/мин. Определить угловое ускорение маховика? Какую скорость имеют точки на цилиндрической поверхности маховика через 45 сек после начала равноускоренного движения, если диаметр маховика 1,2 м? Решение Все угловые величины выражаем в радианном измерении. Если n0 = 90 об/мин, то  рад/сЕсли n = 150 об/мин, то  рад/сИз уравнения ω = ω0+ ε t находим угловое ускорение, учитывая, что изменение угловой скорости происходит за t=1,5 мин=90с:  Определяем из формулы  Находим, какому числу оборотов соответствует этот угол поворота:  оборотов.Прежде, чем найти по формуле v1= R ω1 скорость точек на ободе маховика в момент времени t = 45 с после начала равноускоренного вращения, необходимо найти угловую скорость маховика ω1 в этот момент: ω1= ω0+ ε t1= 3π+ π/45*45= 4 π рад/с Зная, что  м, получаем v1= R ω1=4 π*0,6 = 7,54 м/сПример 9. Колесо, вращающееся с частотой 1500 об /мин, при торможении начинает вращаться равнозамедленно и через 30 с останавливается. Определить угловое ускорение и число оборотов колеса с момента начала торможения до остановки. Решение. Выразим начальную угловую скорость в рад/с:  рад/сНайдем угловое ускорение из формулы  рад/с 375 оборотовПример 10. Неравномерное вращательное движение. Вращение вала в течение первых 20с происходит согласно уравнению φ=0,8 t3. определить угловую скорость вала в конце 20-й секунды, угловое ускорение в начале движения, в конце 10-й и 20-й секунды, сколько всего оборотов сделает вал за 20 с. Решение. Определим число оборотов вала за 20 с. Для этого предварительно найдем угол поворота за 20 с: φ=0,8 t3= 0,8 * 203 = 6400 рад.  оборотовОпределим уравнение угловой скорости вала:  Найдем угловую скорость вала в конце 20-й секунды ωк=2,4 t2 = 2,4 *202 = 960 рад/с Если выразить эту угловую скорость в об/мин, то  об/минОпределим уравнение углового ускорения:  5. Найдем угловое ускорение в начале движения (t=0), в конце 10-й секунды (t=10), и 20-й секунды (t=20): ε0 = 4,8t0=0; ε10 = 4,8t 10=48 рад/с; ε 20 = 4,8t20=96 рад/с. Задачи для самостоятельного решения Вариант 1 1. Поезд движется со скоростью 72 км/час, при торможении он получает ускорение (замедление), равное 0,4 м/с2. Найти, за какое время до прихода поезда на станцию и на каком от нее расстоянии должно быть начало торможения. Ответ: t=50с, S=500м 2. Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно, через 10 мин после начала движения оно имеет частоту вращения 120 об/мин. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 минут? Ответ: 600 оборотов Вариант 2 1. Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/час, определить замедление (ускорение) его при посадке на пути S=1200 м, движение равнозамедленное. Ответ: а=5,15 м/с2 2. Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость ω=2π рад/сек, сделав 10 оборотов, оно вследствие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое ускорение колеса, считая его постоянным. Ответ: ε=0,1 π рад/с2 Вариант 3 1. При загрузке бетономешалки частота вращения барабана падает с 20 до 15 об/мин в течение 1 мин. Вычислить угловое ускорение, считая его постоянным, и число оборотов бетономешалки за этот промежуток времени. Ответ: ε =0,0087 рад/с2, N= 17,5 оборотов 2. Тепловоз проходит закругление длиной 960 м за 40 секунд. Радиус закругления по всей его длине 800 м. определить скорость тепловоза и ускорение, если движение равномерное. Ответ: V= 24 м/с, а=0,72 м/с2 Вариант 4 1. В момент включения двигателя маховик имел 210 об/мин. Сколько оборотов сделает он до полной остановки при замедлении (ускорении) 0,628 рад/с? Какова продолжительность торможения? Ответ: N=61,3 оборотов; t=35c 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 49 м/с. Определить наибольшую достигнутую высоту. Ответ: H= 122,5 м Вариант 5 1. Какой наружный диаметр имеет шлифовальный круг, если его частота вращения 3350 об/мин, а скорость шлифования составляет 35 м/с? Ответ: D=200м 2. Считая, что спутник движется равномерно вокруг Земли по круговой орбите радиусом 6750 км, и его период обращения 1 час 31 мин, определить скорость и нормальное ускорение. Ответ: V= 7,76 км/с, а=8,92 м/с2 Вариант 6 1. Барабан подъемной машины имеет диаметр 5,6 м. Скорость движения каната 16 м/с. Определить частоту вращения барабана. Сколько оборотов сделает барабан во время подъема, если глубина шахты 575 м? Ответ: n=54, 6 об/мин, N= 32,7 оборота 2. Тело свободно падает с высоты 44,1 м. Определить время падения и скорость в момент достижения Земли. Ответ: t=3 c; V= 29,4 м/с Вариант 7 1. Поезд, имея начальную скорость 57 км/час, прошел 600 м за первые 30 секунд. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и ускорение поезда в конце 30 секунды, если рассматриваемое движение поезда происходит на закругленном радиусе R=1 км. Ответ: V=25 м/с, а=0,708 м/с2 2. С момента выключения мотора пропеллер самолета, вращавшийся с n=1200 об/мин, сделал до остановки 80 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки, если вращение равнозамедленное? Ответ: t=8 c Вариант 8 1. Угол полного ускорения точки обода махового колеса к радиусу равен 600. Касательное ускорение ее в данный момент αt =10√3 м/с2. Найти нормальное ускорение точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии R=0,5 м. Радиус колеса R=1 м. Ответ: αn = 5 м/с2 2. Точка движется с начальной скоростью V0 = 1,2 м/с и касательным ускорением αt = 1,2 м/с2 и проходит путь S= 30 м. Найти конечную скорость. Ответ: Vк=9 м/с Тест №7 Вращательное движение. Линейная скорость. Угловая скорость. Для каждого вопроса группы А указать правильный ответ из группы А, для каждого вопроса группы В указать правильный ответ из группы В. Вопросы группы А Что называется периодом вращательного движения? Что называется частотой вращения? Какая существует аналитическая связь между частотой и периодом? В каких единицах измеряется период? В каких единицах измеряется частота? Что называется линейной скоростью вращательного движения? Как направлена линейная скорость? В каких единицах измеряется линейная скорость? Вопросы группы В Какой вид имеет формула линейной скорости? Что называется угловой скоростью? Какой вид имеет формула угловой скорости? В каких единицах измеряется угловая скорость? Что принимается за один радиан? Сколько радиан содержится в полной окружности? Какая существует аналитическая связь между линейной и угловой скоростью?
Тест №8 Центростремительное ускорение. Центростремительная и центробежная силы Для каждого вопроса группы А указать правильный ответ из группы В. То же для группы С Вопросы группы А Какое вращательное движение называется равномерным? Остается ли постоянной при равномерном вращательном движении линейная скорость как векторная величина? Какая величин характеризует изменение линейной скорости по направлению при равномерном вращательном движении? Какой вид имеет формула центростремительного ускорения? В каких единицах измеряется центростремительное ускорение? Может ли возникнуть ускорение без воздействия на тело силы? Какая сила является центростремительной? Какая сила является центробежной?
Вопросы группы В Какое направление имеет центростремительная сила? Какое направление имеет центробежная сила? Какой вид имеет формула центробежной силы? Какой вид имеет формула центростремительной силы? В каких единицах измеряется центробежная сила в СИ? На основании какого закона можно заключить, что центробежная сила и центростремительная сила равны? Могут ли центробежная и центростремительная силы возникать и исчезать одновременно? Какой вид имеет формула центробежной силы?
Вопросы группы С Могут ли центростремительная и центробежная силы взаимно уравновешиваться? Камень, привязанный к нити, вращается по окружности. Какая сила в этом случае является центробежной? Какая сила в примере предыдущего вопроса является центростремительной? Автомашина движется по выпуклому мосту. Чему равна здесь центростремительная сила в момент прохождения автомашины через середину моста? Какая сила в примере предыдущего вопроса является центробежной? Какая сила является центростремительной во вращательном движении Луны вокруг Солнца? Какая сила в примере предыдущего вопроса является центробежной?
|