|
|
Методика преподования математики. Предисловие рецензенты доктор педагогических наук, профессор Н. М. Назарова кандидат педагогических наук В. В. Эк Перова М. Н
Со сравнением дробей можно познакомить учащихся, широко используя их знания и опыт в получении дробей путем деления целого предмета (единицы) на равные части. Берем яблоко, делим
1 2
его на 4 равные доли. Сравним -т долю яблока и -у. Что больше:
12 21
-т или -т-? Учащиеся наглядно убеждаются в том, что -г > -г. Так же
231 3 сравниваются т и т; т и т- Учитель обращает внимание на знаме-
297
натели и числители сравниваемых дробей. Учащиеся, набл1< убеждаются, что среди дробей с одинаковыми знаменатс дробь с большим числителем оказывается ббльшей.
о ,„543621
Затем учитель пишет ряд дробей -г, р -^, •?, -^, 4- с одинако!
знаменателями, но разными числителями и просит рассказ;
показать, как получить эти дроби, используя полоски бумаги
отрезки. Он обращает внимание учащихся сначала на знамена
всех записанных дробей (знаменатели всех дробей одинаковьп
затем на их числители (числители разные) и с помощью чер-
просит сравнить эти дроби. Так учащиеся подводятся к обобще
что при одинаковых знаменателях та дробь больше, у которой
литель больше. Для вывода правила необходимо рассмотреть
круге, дробных счетах, квадрате) еще ряд дробей с одинаков!..ми
знаменателями, но разными числителями и сравнить их.
— Такие упражнения позволят ум
щимся сознательно усвоить праин ло сравнения дробей с одинаковы тз ми знаменателями. Во всех случаях следует подчеркивать и останавли ] | вать внимание учащихся на том,
 ^ , „*. .*м * \ЛТ1(
т 1 1 2 что доли, которые сравниваются,
одинаковые, но количество этих
Рис 24 долей разное. Следовательно, чем
больше долей, тем дробь больше. Далее учащимся можно предлагать задания более отвлеченного
- 158 характера, например такие: сравнить следующие дроби: 4-, •*-, тг,
43297 , » / * \
Б"' Б"' 6"' Р Б'' записать их от меньшей к большей (и наоборот);
назвать наименьшую (наибольшую) дробь из данного ряда дробей;
с о
назвать из данного ряда дробей дроби меньше ^- (больше •?•).
Чтобы предупредить формальное усвоение учащимися знаний по этой теме, механическое использование правил сравнения дробей, необходимо время от времени требовать от учащихся изображения и сравнения дробей на рисунках (рис. 24)
В это время целесообразно научить учащихся сравнивать дроби с единицей и на основе этих знаний дать понятие о правильной и неправильной дроби. Например, следует выполнить задание: пока-
- ,„145
зать образование дробей -^, -^, -г на отрезках, полосках, кругах;
298
ить иа вопрос, какие из дробей меньше единицы, какие и 1, какие больше 1.
Правильные и неправильные дроби. Смешанное число
Представление о правильных и неправильных дробях формиру-и и на основе использования наглядности и практической дея-Н-Ч1.ЦОСТИ учащихся.
Учащимся предлагается взять целый круг (единицу), разделить
' к> на равные части, взять одну четвертую часть (-т ) . затем две
/ 9 ''\ ^ 3 ч\ V4-'
•им верти I -^ I , три четверти I -^ 1 и сравнить полученные части
(дроби) с целым кругом (с единицей). В итоге ученики убеждаются I том, что эти дроби меньше единицы. Подобное сравнение проводится и на других пособиях: квадратах, полосках, отрезках.
123412 7 Учащиеся получают дроби: р -^, р -^, •§-, -^ ... ^ и др. Учитель
Каждый раз подчеркивает, что эти дроби меньше единицы, одновременно обращая внимание на то, что числители всех этих дробей меньше знаменателя. На основе многократных наблюдений, практической деятельности учащиеся подводятся к обобщению: дробь, меньшая единицы, называется правильной дробью. Числитель и знаменатель правильных дробей учащимся предлагается сравнить самим. Наиболее сильные учащиеся самостоятельно могут сделать вывод: у правильной дроби числитель всегда меньше знаменателя.
Аналогичными приемами учащиеся знакомятся с образованием неправильной дроби и подводятся к ее определению. Им предлагается взять четыре равные доли того круга, который они разделили
4 на 4 равные части. Получилась дробь -?. Если четвертые доли
приложить друг к другу, то образуется целый круг, т. е. единица. Таким образом, учащиеся убеждаются, что -т равны 1 (единице).
Затем учитель демонстрирует два круга, разделенные на 4 равные части; одновременно учащиеся берут 2 равных по размеру круга и делят каждый на 4 равные части.
Последовательно учитель показывает, а учащиеся откладывают на партах одну, две, три и т. д. четвертые доли. Одновременно даются названия взятому числу долей, сравниваются числители и
299
ц.01. ч^авниьаются по величине числители и знаменатели дробей, и учащиеся подводятся к выводу правила: дроби, ко" равны или больше единицы, называются неправильными д> ми. У неправильной дроби числитель равен или больше зна теля. Далее проводятся упражнения на дифференциацию пра ных и неправильных дробей. Например, такие: 1) начертить оту зок, разделить его на б равных частей, написать все дроби, коч рые получились, указать правильные дроби; 2) начертить две П лоски, равные по длине, каждую полоску разделить на 5 равнь частей, записать отдельно правильные и неправильные дроби; 3) ь писать правильные, а затем неправильные дроби с данными знамеь,
? ? ? ? ? ,\ телями: тг, -?, •*-, •*-, у; 4; написать неправильные, а затем правили
ные дроби с данными числителями: у, у, у, у; 5) из ряда дробв|
436621758 ...:
тг> т> т> г- о"- 77)' я"» з"1 о" выписать сначала только правильные др_
би, а затем дроби, равные единице (как называются дроби, равны^ единице?); 6) записать 5 правильных и 5 неправильных дробей объяснить, как получилась каждая дробь; 7) используя таблицы а изображением предметов, разделенных на несколько равных час! тей, записать или назвать все дроби, а затем выделить из ни)| правильные и неправильные.
Понятие смешанного числа следует также формировать с помс щью наглядных пособий, дидактического материала, а главное, < помощью практической деятельности с этим материалом самш учащихся, их жизненного опыта.
Например, можно предложить такие задачи:
«Купили целую буханку хлеба и еще половину буханки. Сколь^ ко купили хлеба?»
Смешанное число записывается целым числом и дробью.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБЕЙ
В школе VIII вида учащиеся знакомятся со следующими преобразованиями дробей: выражением дроби в более крупных долях (6-й класс), выражением неправильной дроби целым или смешанным числом (6-й класс), выражением дробей в одинаковых долях (7-й класс), выражением смешанного числа неправильной дробью (7-й класс).
300
Выражение неправильной дроби целым или смешанным числом
I Изучение данного материала следует начать с задания: взять 2 шитых круга и каждый из них разделить на 4 равные доли, подсчи-ь количество четвертых долей (рис. 25). Далее предлагается Писать это количество дробью ( т ) • Затем четвертые доли при-1дываются друг к другу и ученики убеждаются, что получился
л
1ый круг. Следовательно, -т= 1 . К четырем четвертям добавляет-последовательно еще по -т, и ученики записывают: т=1, -7=1 6 2 7 3 8 9
Г
4'
=1 4'
Учитель обращает внимание учащихся на то, что во всех рассмотренных случаях они брали неправильную дробь, а в результате преобразования получали или целое, или смешанное число, т. е. выражали неправильную дробь целым или смешанным числом. Далее надо стремиться к тому, чтобы учащиеся самостоятельно определили, каким арифметическим действием это преобразова-" пие можно выполнить. Яркими примерами, приводящими к ответу
4 . 8 0 5 ,1 7 ,3 „ Л
на вопрос, являются: -2-=! и т=2, 4"=1т и т Т "ЫВ°Д: чтобы
выразить неправильную дробь целым или смешанным числом, нужно числитель дроби разделить на знаменатель, частное записать целым числом, остаток записать в числитель, а знаменатель оставить тот же. Так как правило громоздкое, совсем не обязательно, чтобы учащиеся заучивали его наизусть. Они должны уметь последовательно рассказать о действиях при выполнении данного преобразования.
Перед тем как познакомить учащихся с выражением неправильной дроби целым или смешанным числом, целесообразно повторить с ними деление целого числа на целое с остатком.
Закреплению нового для учащихся преобразования способствует решение задач жизненно-практического характера, например:
301
«В вазе лежит девять четвертых долей апельсина. Скол| целых апельсинов можно сложить из этих долей? Сколько чети тых долей останется?»
«Для изготовления крышек для коробочек каждый лист карте
35 разрезают на 16 равных долей. Получили -^. Сколько цел!
листов картона разрезали? Сколько шестнадцатых долей отрез! от следующего куска?» И т. д.
Выражение целого и смешанного числа неправильной дробью
Знакомству учащихся с этим новым преобразованием должп предшествовать решение задач, например:
«2 равных по длине куска ткани, имеющих форму квадрат. > разрезали на 4 равные части. Из каждой такой части сшили платок. Сколько получилось платков?» I Запись: 2= -14^-, 2= -% ]
Далее учитель предлагает учащимся выполнить такое задание «Возьмите целый круг и еще половину круга, равного по размс ру первому. Разрежьте целый круг пополам. Сколько всего поло
1 3
вин получилось? Запишите: было 1 •*• круга, стало •*• круга, значит ,
,13 1 2 = 2*'
Таким образом, опираясь на наглядно-практическую основу, рассматриваем еще ряд примеров. В рассматриваемых примерах учащимся предлагается сравнить исходное число (смешанное или целое) и число, которое получилось после преобразования (неправильная дробь).
Чтобы познакомить учеников с правилом выражения целого и смешанного числа неправильной дробью, надо привлечь их внимание к сравнению знаменателей смешанного числа и неправильной дроби, а также к тому, как получается числитель, например:
12 1 3 3 12 3
1 2"=?, 1 = 2", да еще ^, всего ^ 3 ^=?, 3=-^-, да еще ^, всего
будет -^-. В итоге формулируется правило: чтобы смешанное число
выразить неправильной дробью, надо знаменатель умножить на целое число, прибавить к произведению числитель и сумму записать числителем, а знаменатель оставить без изменения.
Вначале нужно упражнять учащихся в выражении неправильной дробью единицы, затем любого другого целого числа с указанием знаменателя, а уже затем смешанного числа:
7'
302
Основное свойство дроби1
[онятие неизменяемости дроби при одновременном увеличении
1 уменьшении ее членов, т. е. числителя и знаменателя, усваи-
1тся учащимися школы VIII вида с большим трудом. Это поня-
Ь необходимо вводить на наглядном и дидактическом материале,
,'ичем важно, чтобы учащиеся не только наблюдали за деятельностью учителя, но и сами активно работали с дидактическим материалом и на основе наблюдений и практической деятельности приходили к определенным выводам, обобщению.
Например, учитель берет целую репу, делит ее на 2 равные •мсти и спрашивает: «Что получили при делении целой репы
пополам? (2 половины.) Покажите •*• репы. Разрежем (разделим)
1 2
половину репы еще на 2 равные части. Что получим? -у. Запишем:
1 2
тт=-т- Сравним числители и знаменатели этих дробей. Во сколько
раз увеличился числитель? Во сколько раз увеличился знаменатель? Во сколько раз увеличились и числитель, и знаменатель? Изменилась ли дробь? Почему не изменилась? Какими стали доли: крупнее или мельче? Увеличилось или уменьшилось число
долей?»
Затем все учащиеся делят круг на 2 равные части, каждую половину делят еще на 2 равные части, каждую четверть еще на
2 равные части и т. д. и записывают: "о^А^тг^тгг и т- Л- Потом
устанавливают, во сколько раз увеличился числитель и знамена
тель дроби, изменилась ли дробь. Затем чертят отрезок и делят
его последовательно на 3, 6, 12 равных частей и записывают:
1_2_ 4
"3
"6
Т2-
1 21 4 При сравнении дробей -^ и -^, -^ и -^ обнаруживается, что
числитель и знаменатель дроби тг увеличивается в одно и то же число раз, дробь от этого не изменяется.
После рассмотрения ряда примеров следует предложить учащимся ответить на вопрос: «Изменится ли дробь, если числитель Некоторые знания по теме «Обыкновенные дроби» исключаются из учебных программ по математике в коррекционных школах VIII вида, но они сообщаются учащимся в школах для детей с задержкой психического развития, в классах выравнивания для детей, испытывающих трудности в обучении математике. В данном учебнике параграфы, где дается методика изучения этого материала,
обозначены звездочкой (*).
303
I
л
и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (увеличит -в одно и то же число раз)?» Кроме того, надо попросить учащихс самим привести примеры.
Аналогичные примеры приводятся при рассмотрении уменыш ния числителя и знаменателя в одно и то же число раз (числители и знаменатель делятся на одно то же число). Например, кр>'
( 4 \ делят на 8 равных частей, берут 4 восьмые доли круга I -о- ]
укрупнив доли, берут четвертые, их будет 2. Укрупнив доли
4 2 1 берут вторые. Их будет 1 :
й=-д—-%- Сравнивают последователь!I
числители и знаменатели этих дробей, отвечая на вопросы: «В<> сколько раз уменьшается числитель и знаменатель? Изменится ли дробь?».
Хорошим пособием являются полосы, разделенные на 12, 6, 3 равные части (рис. 26).
Н
-1 =1-1
12 6 3 Рис. 26
а основании рассмотренных примеров учащиеся могут сделать вывод: дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (уменьшить в одно и то же число раз). Затем дается обобщенный вывод — основное свойство дроби: дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби увеличить или умень шить в одно и то же число раз.
Сокращение дробей
Предварительно необходимо готовить учащихся к этому преоб разованию дробей. Как известно, сократить дробь — это значит числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число Но делителем должно быть такое число, которое дает в ответе несократимую дробь.
За месяц-полтора до ознакомления учащихся с сокращением дробей проводится подготовительная работа — предлагается из таблицы умножения назвать два ответа, которые делятся на одно и то же число. Например: «Назовите два числа, которые делятся на 4». (Сначала учащиеся смотрят' в таблицу, а потом называют эти числа по памяти.) Они называют и числа, и результаты их. деления на 4. Затем учитель предлагает ученикам для дроби, 304
например |, подобрать делитель — для числителя и знаменателя
(опорой для выполнения такого действия является таблица умно
жения). 5
Далее учитель предлагает подобрать делитель для дроби -^. (В
какую таблицу надо посмотреть? На какое число можно разделить 5 и 15?) Выясняется, что при делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число величина дроби не изменилась (это можно показать на полоске, отрезке, круге), только стали крупнее доли: -тг=т- ВиД ДРоби стал проще- Учащиеся подводятся к выводу правила сокращения дробей.
Учащимся школы VIII вида часто оказывается трудно подобрать наибольшее число, на которое делится и числитель, и знаменатель дроби. Поэтому нередко наблюдаются ошибки такого характера, как -^=|, т. е. ученик не нашел наибольший общий делитель для чисел 4 и 12. Поэтому на первых порах можно разрешить постепенное деление, т. е. -^=^=^ но при ЭТОМ °Пра" шивать, на какое число разделили числитель и знаменатель дроби сначала, на какое число потом и затем на какое число сразу можно было разделить числитель и знаменатель дроби. Такие вопросы помогают учащимся постепенно отыскивать наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю*
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю нужно рассматривать не как самоцель, а как преобразование, необходимое для сравнения дробей, а затем и для выполнения действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Учащиеся уже знакомы со сравнением дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями и с одинаковыми знаменателями, но разными числителями. Однако они еще не умеют сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.
Перед тем как объяснять учащимся смысл нового преобразования, необходимо повторить пройденный материал, выполнив, например, такие задания:
Сравнить дроби |, у, |. Сказать правило сравнения дробей с
одинаковыми числителями.
305
Сравнить дроби -г-, тт, ?-, -?. Сказать правило сравнения др
с одинаковыми знаменателями.
3 1
Сравнить дроби ^ и -^. Эти дроби учащиеся сравнить затрудняются, так как у них разные числители и разные знаменатели. Чтобы ] сравнить эти дроби, нужно сделать равными числители или знаменатели этих дробей. Обычно в одинаковых долях выражают знаменате-| ли, т. е. приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.
Учащихся необходимо познакомить со способом выражения \ дробей в одинаковых долях.
Сначала рассматриваются дроби с разными знаменателями, но такие, у которых знаменатель одной дроби делится без остатка на знаменатель другой дроби и, следовательно, может являться и знаменателем другой дроби.
3 1 Например, у дробей тг и •*• знаменателями являются числа 8 и 2.
Чтобы выразить эти дроби в одинаковых долях, учитель предлагает меньший знаменатель умножать последовательно на числа 2, 3, 4 и т. д. и делать это до тех пор, пока не получится результат, равный знаменателю первой дроби. Например, 2 умножим на 2, получим 4. Знаменатели опять у двух дробей разные. Далее 2 умножим на 3, получим 6. Число 6 также не подходит. 2 умножим на 4, получим 8. В этом случае знаменатели стали одинаковыми. Чтобы дробь не изменилась, надо и числитель дроби -^ умножить на 4 (на основании основного свойства дроби). Получим
4 34
дробь д-. Теперь дроби •§• и -д- выражены в одинаковых долях. Их
легко и сравнивать, и выполнять с ними действия.
Найти число, на которое нужно умножить меньший знаменатель одной из дробей, можно делением большего знаменателя на меньший. Например, если 8 разделить на 2, то получим число 4. На это число нужно умножить и знаменатель, и числитель дроби. Значит, чтобы выразить в одинаковых долях несколько дробей, нужно больший знаменатель разделить на меньший, частное умножить на знаменатель и числитель дроби с меньшими знаменате-
15 2 лями. Например, даны дроби ^-, -^ и -д. Чтобы эти дроби привести
к наименьшему общему знаменателю, нужно 12:6=2, 2x6=12, 306
'2x1=2. Дробь ^ примет вид -^. Затем 12:3=4, 4x3=12,
2 8 152
4x2 = 8. Дробь д- примет вид -^-. Следовательно, дроби ^-, -^ и -у
25 8 примут соответственно вид -™-, -гя- и -г*-, т. е. окажутся выражен-
ными в одинаковых долях.
Проводятся упражнения, которые позволяют сформировать умения приведения дробей к общему наименьшему знаменателю.
с о о
Например, надо выразить в одинаковых долях дроби ттг и •*•• тт.
I 3 I- Т
Чтобы учащиеся не забывали то частное, которое получается от деления большего знаменателя на меньший, целесообразно его
с
записывать над дробью с меньшим знаменателем. Например, -т^- и
2х5 6 10 ,д ,51
-у, тт и ТВ"' Можно также предложить сравнить дроби -^ и т^.
4227
5 И ТВ"' 3 и ? и Т- д'
Затем рассматриваются такие дроби, у которых больший знаменатель не делится на меньший и, следовательно, не является
3 5 общим для данных дробей. Например, •§• и ^-. Знаменатель 8 не
делится на 6. В этом случае больший знаменатель 8 будем последовательно умножать на числа числового ряда, начиная с 2, до тех пор, пока не получим число, которое делится без остатка на оба знаменателя 8 и 6. Чтобы дроби остались равными данным, числители нужно соответственно умножить на те же числа. На-
3 5 пример, чтобы дроби •§• и -^ были выражены в одинаковых долях,
больший знаменатель 8 умножаем на 2(8x2 = 16). 16 не делится на 6, значит, 8 умножаем на следующее число 3(8x3=24). 24 делится на 6 и на 8, значит, 24 — общий знаменатель для данных дробей. Но чтобы дроби остались равными, числители их надо увеличить во столько же раз, во сколько раз увеличили знаменатели, 8 увеличили в 3 раза, значит, и числитель этой дроби 3
увеличим в 3 раза.
3 9
Дробь -д примет вид щ. Знаменатель 6 увеличили в 4 раза.
Т
Дроби -д и -г- примут соответственно вид ^т и
^-
аким образом, подводим учащихся к общему выводу (правил знакомим их с алгоритмом выражения дробей в одинаковых дс
3 5 Например, даны две дроби т и у.
ч
1. Находим наименьший общий знаменатель: 7x2=14, 7x3=1..
7x4=28. 28 делится на 4 и на 7. 28 — наименьший общий знам<
, а3 5 натель для дробей т и у-
2. Находим дополнительные множители: 28:4=7,
2
\7
8:7=4.
= \4
Запишем их над дробями: —г- и -=-
Числители дробей умножим на дополнительные множителц|
3x7=21, 5x4=20.
„ , 21 20 о
Получим дроби с одинаковыми знаменателями ^г и ^тг. Значит,!
_. 3 5 дроби х и 7мы привели к общему наименьшему знаменателю.
Опыт показывает, что ознакомление учащихся с преобразование» дробей целесообразно проводить перед изучением различных ариф метических действий с дробями. Например, сокращение дробей ил», замену неправильной дроби целым или смешанным числом целесооб-^ разно дать перед изучением сложения и вычитания дробей с одина-| ковыми знаменателями, так как в полученной сумме или разноси придется делать либо одно, либо оба преобразования.
и 1,1 2 15.38 ,15, 7 • 12 ,
Например, т+т=т=7; 7+7=7=\7; ^+^-^-=1
Приведение дробей к наименьшему общему знаменател, лучше изучать с учащимися перед темой «Сложение и вычитание! дробей с разными знаменателями», а замену смешанного числа! неправильной дробью — перед темой «Умножение и деление дро-' бей на целое число».
Сложение и вычитание обыкновенных дробей
1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Исследование, проведенное Алышевой Т.В.1, свидетельствует о целесообразности при изучении действий сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями использовать аналогию со сложением и вычитанием уже известных учащимся
Алышева Т. В. Изучение арифметических действий с обыкновенными дробями учащимися вспомогательной школы //Дефектология.—1992.— № 4.— С. 25-27.
308
исел, полученных в результате измерения величин, и проводить ручение действий дедуктивным методом, т. е. «от общего к частому».
Сначала повторяется сложение и вычитание чисел с наимено-»аниями мер стоимости, длины. Например, 8 р. 20 к. ± 4 р. 15 к.
Лри выполнении устного сложения и вычитания нужно склады-
1ать (вычитать) сначала рубли, а потом копейки.
3 м 45 см ± 2 м 24 см — сначала складываются (вычитаются) метры, а потом сантиметры.
; При сложении и вычитании дробей рассматривается общий случай: выполнение этих действий со смешанными дробями (знаменатели одинаковые): 3-?- ± 1-г. В этом случае надо: «Сложить (вычесть) целые числа, затем числители, а знаменатель остается тем же». Это общее правило распространяется на все случаи сложения и вычитания дробей. Постепенно вводятся частные случаи: сложение смешанного числа с дробью 1у + -=•= \-= \, потом
( 1 1\ ^ '
смешанного числа с целым \-= + 4 = 5у . После этого рассматриваются более трудные случаи вычитания: 1) из смешанного числа дроби: 4д
п=4д-; 2) из смешанного числа целого: 4д—2=2-д-.
После усвоения этих достаточно простых случаев вычитания учащиеся знакомятся с более трудными случаями, когда требуется преобразование уменьшаемого: вычитание из одной целой единицы или из нескольких единиц, например:
\ О О О 2, л О <-)Э О п
1
Ь-
Ь
Ь-
5' 6
5
2Ь
'5-2'5-
В первом случае единицу нужно представить в виде дроби со знаменателем, равным знаменателю вычитаемого. Во втором случае из целого числа берем единицу и также ее записываем в виде неправильной дроби со знаменателем вычитаемого, получаем в уменьшаемом смешанное число. Вычитание выполняется по общему правилу.
Наконец рассматривается наиболее трудный случай вычитания: из смешанного числа, причем числитель дробной части меньше
1 3
числителя в вычитаемом: 5^—^. В этом случае надо уменьшаемое изменить так, чтобы можно было применить общее правило, т. е. в уменьшаемом занять из целого одну единицу и раздробить
309
.5 1 6
в пятые доли, получим 1=-г, да еще -г, получится -г, прим<-|>
,6 3 5 5 &
примет такой вид: 4^
^, к его решению уже можно применим
общее правило.
Использование дедуктивного метода обучения сложению и вычп танию дробей будет способствовать развитию у учащихся умении обобщать, сравнивать, дифференцировать, включать отдельные случаи вычислений в общую систему знаний о действиях с дробями.
2. Сложение и вычитание дробей и смешанных чисел с разными знаменателями*.
а) больший знаменатель является НОЗ:
о ?+|, Н; 2) 1|+', 4-ш' 3> 4+4 4-4
б) больший знаменатель не является НОЗ:
п 3 4 7 2. 9г .3 , 7 ,3 2. 04^2.. 1 гЗ 92 1} Б-+7' 8-9' 2)%+8' 15—5' 3) %+%' 5Т-23'
Выполнение сложения и вычитания дробей, имеющих разные з менатели, представляет значительные трудности для умственно -сталых школьников, так как, прежде чем выполнять действия, требуется привести дроби к наименьшему знаменателю, в связи с чем внимание учащихся переключается на дополнительную операцию (удлиняется запись выражения — требуется несколько раз переписывать выражение, ставя знак равенства). Это требует от учащихся сосредоточенности внимания. А внимание учащихся с нарушением интеллекта характеризуется, как известно, отвлекаемостью, рассеянностью. Это нередко приводит к потере целых, знака равенства, а то и компонента. Чтобы избежать подобных ошибок, можно на первых порах предложить учащимся запись выражения проговорить устно, а именно сказать, какие операции надо выполнить и в какой последовательности: 1) привести дроби к наименьшему знаменателю; 2) выполнить действие; 3) произвести, если нужно, преобразование в ответе.
При выполнении сложения дроби со смешанным числом надо обратить внимание учащихся на значение суммы и каждого слагаемого, сравнив со свойством суммы целых чисел.
То же самое необходимо сделать и при знакомстве с вычитанием дробей, подчеркнув общность свойств разности целых и дробных чисел.
Для этого целесообразно решить и сравнить пары примеров на нахождение суммы и разности целых и дробных чисел: 310
396+127
4,3 . 3 , -1 5 + 5' 1ТО+5ТО
Вывод: сумма больше каждого из слагаемых, разность меньше или равна уменьшаемому.
Сложение и вычитание дробей необходимо связать с жизненно-практическими заданиями и упражнениями, которые могут быть мыполнены и устно. Например:
«На отделку блузки отрезали -^ м белой и -^ м синей тесьмы.
Сколько тесьмы пошло на отделку блузки?»
ъ - - о -3
«От рейки длиной 2 м отпилили один кусок длиной -% м и
„ 1 ,, - ->
второй — длиной 4" м. Какова длина оставшейся рейки?»
Отметим, что в этих задачах даны числа, полученные от измерения величин. Это позволяет закрепить в памяти учащихся наиболее употребительные в повседневной жизни соотношения: •к- м — это 50 см, -^ м — это 25 см, -? м — это 20 см, -^ ч — это 15 мин и т. д.
В этот период следует решать с учащимися примеры на нахождение неизвестных компонентов сложения и вычитания, сопоставляя нахождение неизвестных компонентов сложения и вычитания дробных и целых чисел.
Учащиеся должны убедиться, что переместительный и сочетательный закон арифметических действий над целыми числами распространяются и на действия над дробными числами. Так же как и при изучении действий с целыми числами, учащиеся получают
лишь практическое знакомство с законами — их использование
3 для рационализации вычислений. Например, решить пример -^+2
удобнее, переставив местами слагаемые, т. е. использовав переместительный закон сложения.
Решение примеров с предварительным обдумыванием порядка выполнения действий развивает сообразительность, смекалку, предупреждает шаблонность и имеет большое корригирующее значение.
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ*
В школе VIII вида рассматривается только умножение и деление дробей и смешанных чисел на целое число. Изучение этих
311
действий, так же как и изучение сложения и вычитания, дает параллельно.
Для удобства изложения мы сначала рассмотрим методику зь
комства с умножением дроби на целое число, а затем с деление
дроби на целое число. •
Прежде чем знакомить учащихся с умножением дроби на цел^ число, необходимо повторить умножение целых чисел.
При рассмотрении умножения дроби на целое число необхоД| мо соблюдать определенную последовательность разных случае] которая определяется степенью их трудности.
Умножение дроби на целое число.
Умножение смешанного числа на целое.
Подготовительными заданиями к объяснению умножения дрой
на целое число являются задания на умножение целых чисел | последующей заменой действия умножения действием сложений например: заменить умножение 7-3=21 сложением 7+7+7=21| заменить действие умножения (первый множитель — дробь второй множитель — целое число) действием сложен» д-хЗ=д-+д-4-д-=-д. При этом обращается внимание на числитель знаменатель произведения и первого множителя. С помощью во просов: «Изменился ли знаменатель дроби при умножении? Чт| произошло с числителем дроби?» — учащиеся приходят к выводу^ что числитель увеличился в 3 раза, а знаменатель не изменился.. Для вывода правила умножения дроби на целое число недостаточно ограничиться рассмотрением только одного примера, нужно, рассмотреть еще несколько примеров:
2
2 7 * -
2,2,2 2+2+2 =++7=
7
• 3 6
-
-7;
3
3,3
• 2 6 3
Правильность ответов в этих примерах необходимо подтвердить демонстрацией рисунков.
В рассмотренных примерах внимание учащихся надо обратить на то, что в числителе сумму одинаковых слагаемых (трех двоек) можно заменить произведением (2 • 3). Это позволит подвести их
л» 2 о 2 • 3 6
к более сокращенной записи: у 3= — ^ — =у, а следовательно, и к
выводу правила. Кроме того, при умножении дроби на целое число получается произведение, большее первого множителя. После усвоения правила умножения дроби на целое число необходимо показать учащимся, что до умножения числителя на целое 312
Исло надо сопоставить эти числа со знаменателем и, если у них Ьть общий делитель, разделить на него и только потом произвес-умножение. Такой прием предварительного сокращения чисел,
Е
10 =
писанных в числителе и знаменателе, облегчает вычисления, пример: -г-10=—?—=-г-=8. Это же действие выполним с пред-рительным сокращением числителя и знаменателя на общий |делитель:
I Дети с интеллектуальным недоразвитием редко прибегают к | рациональным приемам вычисления, используя, как правило, только те приемы, которые стали стереотипными. Поэтому учителю надо иногда просто требовать, чтобы учащиеся использовали рациональные способы действий.
Перед объяснением умножения смешанного числа на целое необходимо повторить умножение чисел, полученных при измерении величин, вида 15 р. 32 к.-3. Сначала следует дать подробную запись при решении этого примера: 1 р. = 100 к.
1532 к.
15 р. = 100 к.-15=1500 к. 1500 к.+32 к. = 1532 к.
4596 к.
Однако тут же надо показать, что некоторые примеры легче решать в уме, умножая отдельно число рублей и копеек.
При умножении смешанного числа на целое обращается внимание на то, что смешанное число надо выразить (записать) в виде неправильной дроби, а затем выполнять умножение по правилу умножения дроби на целое число, например:
-
4 _ 35 „
(Сопоставить с умножением 15 р. 32 к. на целое число 3.)
Недостатком этого способа вычислений является его громоздкость: большие числа, которые получаются в числителе, затрудняют вычисления. Однако у этого способа есть и преимущество: в дальнейшем, когда учащиеся будут знакомиться с делением смешанного числа на целое, перед выполнением действия им потребуется выразить смешанное число неправильной дробью.
313
Наиболее сильным учащимся можно показать и второй сп| умножения смешанного числа на целое (без записи смешан| числа неправильной дробью), например:
(
Сопоставить с умножением чисел, полученных от измерения личин, устно: 15 р. 32 к. -3=45 р. 96 к.)
В этом случае умножается целое число на целое, получен», произведение записывается целым числом, затем умножаете!, дробная часть числа по правилу умножения дроби на целое число,.
При изучении темы «Умножение дроби на целое число» следу*! ет решать примеры и задачи на увеличение дроби в несколько!
2 раз. Необходимо показать учащимся, что пример у 3 можно про*
2 2 I
читать по-разному: у умножить на 3, у увеличить в 3 раза, найти!
22 I
произведение у и 3; множители у и 3, найти произведение. После!
2 о 6 '
решения примера уЗ=у следует сравнить произведение и пер-
6 ' 2
2 6 0
выи множитель: у больше у в 3 раза, •=• меньше у в 3 раза.
Надо решать примеры и с неизвестным числителем или знаменателем в первом множителе вида: -
--2=-г, т=г-2=-я-.
Можно предложить и более трудные примеры вида:
. а , 4 1 ,-, 3 П г-, 2
1-а-4=Ъи'а=Г>П'П=5
2. Дробь тг увеличить в 3 раза.
Деление дроби на целое число дается в следующей последовательности:
Деление дроби на целое число без предварительного сокра
щения.
Деление смешанного числа на целое число без предваритель
ного сокращения.
Деление с предварительным сокращением.
Учащимся необходимо показать и такие случаи деления дроби или смешанного числа на целое, когда предварительное сокращение облегчает процесс выполнения действия. Например:
4Ж2 315Ш5
5-2=7^-=5' 34-9 = Т":9 = 4^=Т2-
1 3
314
На основе наблюдений и конкретной деятельности учащиеся
н'мнодятся к выводу: при делении дроби на целое число доли
1.ПЮВЯТСЯ мельче, число же долей не изменяется. Например,
| гни взять половину яблока и разделить эту половину на 2 рав-
ц.к' части (-я- : 2 ] , то получится по -т яблока. Записываем: -к\2=-^.
Каждый ученик должен самостоятельно половину круга (полоски, Отрезки) разделить на 2 равные части и записать результат деле-
ния.
Далее рассматривается деление, например, -^ на 3 равные
2 2
Части: -^:3=к- Учащиеся видят, что получились при делении девятые доли, а число их не изменилось. Сравниваются числитель и знаменатель частного и делимого: знаменатель увеличился в 3 раза, а числитель не изменился. Отсюда можно сделать вывод: чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель умножить на это число, а числитель оставить тот же. На основе правила решается пример: Затем на предметах уча-
щиеся должны еще раз показать процесс деления и убедиться, что пример решен верно.
Деление дроби на целое число необходимо сопоставить с умножением дроби на целое число, решая взаимно обратные примеры вида При этом следует сравнить
произведение и частное соответственно с первым множителем и делимым. Это надо для того, чтобы учащихся подвести к обобщению: при умножении дроби на целое число произведение во столько раз больше первого множителя, сколько единиц содержится во втором множителе. Аналогичный вывод нужно сделать и для частного.
Деление смешанного числа на целое дается по аналогии со вторым способом умножения смешанного числа на целое, например: Смешанное число обращается в непра-
вильную дробь и деление производится по правилу деления дроби на целое число.
Наиболее сильных учащихся нужно познакомить и с особыми случаями деления. Если целая часть смешанного числа нацело делится на делитель, то смешанное число не обращается в непра-
315
вильную дробь, например: 2-^'.2=\-^. Нужно делить сначала
|
|
|
Скачать 4.24 Mb.