яаловлповлпол. В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом. Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
 Скачать 1.56 Mb.
|
|
Рис. 3.3.3 Следствие 2. Пусть в начальный момент времени все годовые безрисковые процентные ставки одинаковы. Тогда на момент времени, равный дюрации облигации, инвестиция в облигацию иммунизирована (защищена) против изменений годовых безрисковых процентных ставок на одну и ту же величину, происходящих до первого купонного платежа. Пример 3.3.2. Дана 8%-ная двухгодичная купонная облигация номиналом 100 долл. с полугодовыми купонами. Годовые безрисковые процентные ставки для всех сроков равны 8%. Найдем: 1) дюрацию облигации и планируемую стоимость инвестиции в облигацию на момент времени, равный дюрации облигации; 2) моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости 76 рассматриваемой инвестиции совпадают, если сразу же после покупки облигации годовые безрисковые процентные ставки станут равными: а) r 1 7 % ; б) r 2 9 % ; 3) фактические стоимости инвестиции 2 1 D , r P и 2 2 D , r P ▲ 1.Расчеты дюрации и стоимости приведены в таблице t i C t i V C t i 2 V C P t i 2 t V C P i t i 2 r 0 08 , r 1 0 07 , r 2 0 09 , r 0 08 , r 0 08 , 0,5 4 3,846154 3,864734 3,827751 0,038462 0,019231 1,0 4 3,698225 3,734043 3,662920 0,036982 0,036982 1,5 4 3,555985 3,607771 3,505186 0,035560 0,053340 2,0 104 88,899636 90,629992 87,210380 0,888996 1,777992 100,000000 101,836540 98,206237 1,000000 1,887545 Следовательно, дюрация облигации 8875 1 2 , D . Найдем планируемую стоимость инвестиции в облигацию на момент t 18875 , лет, т. е. 9580 , 115 08 , 0 04 , 0 1 8875 , 1 ; 08 , 0 2 8875 , 1 P P 2. Моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают, соответственно равны . , , , , , ln , ln r t , , , , , , ln , ln r t * * 886969 1 004796 0 2 018101 0 04 1 045 1 2 2062 98 100 888121 1 004819 0 2 018198 0 04 1 035 1 2 8365 101 100 2 1 Таким образом 07 0 09 0 2 , t D , t * * 3. 9587 115 2 07 0 1 07 0 ; 07 0 2 8875 1 2 , , , P D , P , , 9586 115 2 09 0 1 09 0 ; 09 0 2 8875 1 2 , , , P D , P , В любом случае фактическая стоимость инвестиции больше ее планируемой стоимости. ■ 77 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 3.3.1. Как понимать слова «стоимость инвестиции в облигацию на любой момент времени до погашения этой облигации»? 3.3.2. Выпишите выражение для определения планируемой стоимости инвестиции в облигацию. 3.3.3. Выпишите выражение для определения фактической стоимости инвестиции в облигацию. 3.3.4. Каков характер функций, определяющих зависимость планируемой стоимости инвестиции в облигацию от времени? 3.3.5. Каков характер функций, определяющих зависимость фактической стоимости инвестиции в облигацию от времени? 3.3.6. Существует ли момент времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции в облигацию совпадают? 3.3.7. Напишите формулу для нахождения момента времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции в облигацию совпадают. 3.3.8. Какие условия необходимо выполнить, чтобы фактическая стоимость инвестиции в облигацию была не меньше плановой стоимости той же инвестиции? 3.3.9. На каком временном промежутке находится дюрация облигации, если величина годовой безрисковой процентной ставки изменяется от r 1 до r 2 ? ЗАДАЧИ 3.3.1. Дан поток платежей по облигации: Срок, годы 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Платеж, долл. 5 5 5 5 5 105 Определите стоимость инвестиции в облигацию через 1,5 года после ее покупки для годовых безрисковых процентных ставок (при начислении процентов дважды в год), приведенных ниже Момент времени, годы Годовая безрисковая процентная ставка в % для инвестирования на сроки 0,5 года 1,0 год 1,5 года 0,5 4 5 6 1,0 5 5 6 1,5 6 6 7 3.3..2. Дана 10%-ная трехгодичная купонная облигация номиналом 100 долл. с 78 ежегодными купонами. Все годовые безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 10%. Определите: 1) планируемую и фактическую стоимость инвестиции в облигацию в любой момент времени t 0 3 , , если сразу же после покупки облигации все годовые безрисковые процентные ставки стали равными 11%; 2) момент времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадут; 3) дюрацию облигации в момент покупки. 3.3.3. Дана 6% пятилетняя купонная облигация номиналом 1000 долл. с ежегодными купонами. Все годовые безрисковые процентные ставки равны 6%. Найдите: 1) дюрацию облигации и планируемую стоимость инвестиции в облигацию на момент времени равный дюрации; 2) фактическую стоимость этой инвестиции, если сразу же после покупки облигации годовые безрисковые процентные ставки стали равными 5%; 3) стоимость инвестиции в облигацию на момент времени, равный дюрации облигации, если через 3 года после покупки облигации годовые безрисковые процентные ставки стали равными 7%. 3.3.4. Дана 9% пятилетняя купонная облигация номиналом 1000 долл. с полугодовыми купонами. Все годовые безрисковые процентные ставки равны 9%. Найдите: 1) дюрацию облигации и планируемую стоимость инвестиции в облигацию на момент времени, равный дюрации облигации; 2) фактические стоимости данной инвестиции на момент времени равный дюрации, если сразу же после покупки облигации годовые безрисковые процентные ставки стали равными: а) 8% ; б) 10%; 3) моменты времени, когда фактические стоимости инвестиции совпадут с планируемой стоимостью инвестиции в случаях 2а и 2б; 4) стоимость инвестиции в облигацию на момент времени, равный дюрации, если сразу же после покупки облигации годовые безрисковые процентные ставки стали равными 8%, а еще через два года – 9%. 79 4. Портфель облигаций Большинство инвесторов для защиты портфеля от кредитного риска формируют его из облигаций разных эмитентов, осуществляя, таким образом, диверсификацию своих вложений. Оценка доходности таких вложений, возможный при этом риск и способы защиты от этого рискарассматриваются в данном разделе. Рассмотрены также возможные цели и стратегии формирования портфелей облигаций. 4.1. Доходность портфеля облигаций Предположим, что на рынке имеются облигации l видов без дефолт- риска, стоимости которых в данный момент времени равны соответственно l j P , , P , , P 1 Будем считать, что можно покупать любое количество данных облигаций. Инвестор, затратив сумму j на покупку облигаций j-го вида, l , , , j 2 1 , сформирует портфель облигаций l j , , , , 1 стоимостью j j l 1 Обозначим через n t , , t , t 2 1 моменты времени, когда хотя бы по одной из облигаций производится платеж. Если C t j i – платеж по j-й облигации в момент времени t i , , , i 2 1 , n, то инвестор, покупая портфель облигаций l j , , , , 1 , приобретает право на получение следующего потока платежей j t l j j j t j t l j j j t j t l j j j t n n i i C P C C P C C P C 1 1 1 , , , , 1 1 Следовательно, по своим инвестиционным качествам портфель облигаций l j , , , , 1 эквивалентен одной облигации стоимостью j j l 1 , по которой в моменты времени n t , , t , t 2 1 производятся платежи: n t t t C , , C , C 2 1 Пример 4.1.1. Определим поток платежей от портфеля П(200, 400, 500), сформированного из облигаций В 1 , В 2 и В 3 с потоками платежей, значения которых приведены в таблице. 80 Облигация Платеж в долл. через период времени 0 лет 0,5 года 1 год 1,5 года 2 года В 1 100,00 5,0 5,0 5,0 105 B 2 100,00 10,0 110 В 3 105,00 6 106 ▲ Так как 5 0 57 38 75 28 10 6 105 500 5 100 200 1 1 , t , , C t , 0 1 76 554 76 504 00 40 10 106 105 500 10 100 400 5 100 200 2 2 , t , , , C t , C t t 3 200 100 5 10 15 3 , , 0 2 00 650 00 440 210 110 100 400 105 100 200 4 4 , t , , C t , то поток платежей от портфеля П(200, 400, 500) имеет вид: Срок, годы 0 0,5 1,0 1,5 2,0 Платеж, долл. 1100,00 38,57 554,76 10,00 650,00 ■ Определение. Годовой внутренней доходностью портфеля облигаций П называется годовая внутренняя доходность облигации, эквивалентной портфелю П. Пример 4.1.2. Найдем годовую внутреннюю доходность портфеля П из примера 4.1.1 при начислении процентов дважды в год. ▲ Поток платежей от облигации, эквивалентной портфелю П, найден в примере 4.1.1. Для отыскания годовой внутренней доходности портфеля П достаточно решить уравнение 00 1100 2 1 650 2 1 10 2 1 76 554 2 1 57 38 4 3 2 , r r r , r , Так как 0892 0, r , то годовая внутренняя доходность портфеля П при начислении процентов дважды в год равна 8,92%. ■ Наряду с годовой внутренней доходностью портфеля облигаций, часто рассматривается ещё и средневзвешенная доходность этого портфеля. Определение. Годовой средневзвешенной доходностью портфеля облигаций l j , , , , 1 называется взвешенная по стоимости сумма годовых доходностей облигаций этого портфеля, т. е. 81 l j j j вз r r 1 , где l j j j j , 1 ; j r годовая доходность облигации j го вида, l , , , j 2 1 Пример 4.1.3. Определим годовую средневзвешенную доходность портфеля облигаций П из примера 4.1.1 при начислении процентов дважды в год. ▲ Предварительно найдем годовые внутренние доходности облигаций из портфеля П при начислении процентов дважды в год. Очевидно, что годовая внутренняя доходность первой облигации совпадает с купонной ставкой этой облигации и равна 10,00%, т. е. % , r 00 10 1 Годовая внутренняя доходность второй облигации находится из уравнения 110 2 1 110 2 1 10 4 2 2 2 r r . Откуда % , r 76 9 2 . Аналогично, получим % , r 74 6 3 из 105 2 1 106 2 1 6 2 3 3 r r Находим годовую средневзвешенную доходность данного портфеля при начислении процентов дважды в год % , % , % , % r вз 43 8 1100 500 74 6 1100 400 76 9 1100 200 10 . ■ Из рассмотренных примеров следует, что годовая внутренняя доходность портфеля облигаций может значительно отличаться от его годовой средневзвешенной доходности. Однако имеет место следующее: Утверждение 4.1.1. Годовая средневзвешенная доходность портфеля облигаций совпадает с его годовой внутренней доходностью, если все облигации портфеля имеют одну и ту же доходность. ▲ Рассмотрим портфель облигаций l j , , , , 1 стоимостью l j j 1 . Если j t i C платеж по j й облигации в момент времени i t , n , , , i 2 1 , l , , , j 2 1 , то платеж по портфелю облигаций П в момент t i , n , , , i 2 1 , имеет следующий вид 82 , 1 j i t l j j j i t C P C где j P текущая стоимость облигации j го вида, l , , , j 2 1 Предположим, что годовые внутренние доходности облигаций портфеля П совпадают и равны r (при начислении процентов m раз в год). Тогда l , , , j , m r C P n i m t j t j i i 2 1 1 1 , а годовая средневзвешенная доходность портфеля П также равна r , так как r r r r l j j l j j вз 1 1 . При этом n i l j j t j j m t n i m t j t i i i i C P m r m r C 1 1 1 1 1 1 l j j l j j j j l j n i m t j t j j P P m r C P i i 1 1 1 1 1 Из последнего соотношения следует, что годовая внутренняя доходность портфеля П при начислении процентов m раз в год также равна r . ■ |