яаловлповлпол. В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом. Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
 Скачать 1.56 Mb.
|
|
4.3.5. Какие действия предпримет инвестор, если непосредственно после некоторого платежа по портфелю облигаций не будет возможности сформировать портфель с требуемой дюрацией? ЗАДАЧИ 4.3.1. В начальный момент времени годовые безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 8%, а на рынке имеются купонные облигации со следующими параметрами: A 1 100 долл., 2 1 10 1 1 1 T , m %, f года, A 2 100 долл., 4 1 10 2 2 2 T , m %, f года. Какова будет стратегия иммунизации при инвестировании 10000 долл. в данные облигации сроком на 3 года для приведенных ниже вариантов а, b, c и d изменения годовых безрисковых процентных ставок: Время, годы Годовая безрисковая ставка в % по вариантам a b c d t = 0,5 9 8 10 11 t = 1,5 8 9 8 9 4.3.2. В начальный момент времени годовые безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 9%, а на рынке имеются облигации В 1 и В 2 с потоками платежей: а) облигация В 1 t k 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 C t k 5 5 6 6 6 110 в) облигация В 2 t k 1,0 2,0 3,0 C t k 10 10 110 Какова должна быть стратегия иммунизации при инвестировании 5000 долл. в данные облигации сроком на 2 года, если годовые безрисковые процентные ставки при начислении процентов один раз в год изменялись так, как указано ниже 97 t 0,1 0,6 1,1 Cтавка, % 8 7 6 4.3.3. В начальный момент времени годовые безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10%, на рынке имеются облигации В 1 , В 2 и В 3 с потоками платежей : а) облигация В 1 t k 1,0 2,0 C t k 10 110 в) облигация В 2 t k 1,0 3,0 2,0 C t k 10 10 110 с) облигация В 3 t k 1,0 2,0 3,0 4,0 C t k 10 10 10 110 Какова будет стратегия иммунизации при инвестировании 6000 долл. в данные облигации сроком на 3 года, если годовые безрисковые процентные ставки изменялись, как приведено ниже t, годы 0,5 1,5 Ставка, % 9 8 При этом доля средств, инвестированная во второй вид облигации, должна составлять 20%? 4.4. Возможные стратегии инвестирования в портфель облигаций Существующие стратегии управления инвестициями в облигации разделяют на пассивные и активные. При пассивной стратегии управления структура портфеля облигаций, сформированная в начальный момент времени, остается неизменной в течение времени владения портфелем облигаций независимо от ситуации на рынке. Активная стратегия управления инвестициями в облигации предполагает изменение структуры портфеля в соответствии с изменениями условий на рынке. Рассмотренная ранее стратегия иммунизации инвестиции в портфель облигаций относится к активным стратегиям управления. Важными примерами пассивных стратегий управления портфелями облигаций являются стратегии, позволяющие сбалансировать входящие и 98 выходящие потоки платежей. Это так называемые стратегии мэтчинга. Рассмотрим ситуацию, в которой некоторый финансовый посредник должен через n i t , , t , , t 1 лет выплачивать денежные суммы в размерах n i t t t S , , S , , S 1 соответственно. В это же время на рынке имеются облигации l видов, стоимости которых соответственно равны l j P , , P , , P 1 При этом в момент времени t i (i =1, 2, ... , n) по j-й облигации производится платеж величиной C t j i ( ) (j =1, 2, ... , l). Тогда возникает следующая задача: в данный момент времени сформировать портфель облигаций так, чтобы поток платежей от этого портфеля был достаточным для выполнения всех обязательств финансового посредника, а стоимость этого портфеля облигаций была наименьшей. Для решения этой задачи, обозначим через x j (j =1, 2, ... , l) количество облигаций j-го вида в момент времени t = 0. Тогда стоимость всего портфеля облигаций будет определяться равенством l j j j x P f 1 Чтобы поток платежей от сформированного портфеля облигаций позволял выполнять все обязательства посредника, достаточно соблюдать следующие соотношения: n , ... , , i, S x C i i t l j j ) j ( t 2 1 1 , а также условий не отрицательности введенных переменных. Таким образом, приходим к задаче линейного программирования вида , , 2 , 1 , 0 , , , 2 , 1 , min 1 ) ( 1 l j x n i S x C x P f j t l j j j t l j j j i i (4.4.1) Пример 4.4.1. Финансовому посреднику необходимо через год выплатить 200 долл., а еще через год – 1100 долл. На рынке имеются облигации двух видов В 1 и В 2 с потоками платежей, указанными ниже: Облигации Платеж в долл. через период времени t t=0 t = 1 t = 2 В 1 80 100 В 2 100 10 110 99 Сформируем такой портфель из данных облигаций, платежи от которого позволили бы выполнить обязательства посредника, а затраты на его формирование были бы наименьшими. ▲ Поставленную задачу запишем в виде (4.4.1) min 100 80 2 1 x x f 100 10 200 110 1100 1 2 2 x x x , , x x 1 2 0 0 , и решим графическим методом (рис. 4.4.1). Рис. 4.4.1 Следовательно, в портфель войдет одна облигация В 1 и десять облигаций В 2 . При этом стоимость портфеля будет равна f 80 1 100 10 1080.■ Замечание. Рассмотренная стратегия управления портфелем облигаций позволяет посреднику выполнить свои обязательства при любых изменениях на рынке. Однако эту стратегию можно модернизировать с возможностью использовать поступающие платежи от портфеля облигаций для выполнения последующих обязательств посредника. Для этого обозначим через F t i , i = 1, 2, ..., n – 1, ту часть платежа, поступающего от портфеля облигаций в момент времени t i , которая инвестируется под годовую безрисковую процентную ставку с целью использования ее в дальнейшем для выполнения обязательств посредника в момент времени t i 1 Тогда математическая постановка задачи будет иметь следующий вид: l j j j x P f 1 min 100 l j t t t n t j j t l j t t t t i t j j t l j t t j j t , S r F x C , n , , , i , F S r F x C , F S x C n n n n n i i i i i i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 , l , , , j , x j 2 1 0 1 2 1 0 n , , , i , F i t (4.4.2) Очевидно, что для решения задачи (4.4..2) необходимо знать годовую безрисковую процентную ставку r i для инвестирования в момент времени t i на срок t t i i 1 лет. Однако проще спрогнозировать величину i r i r min Тогда задачу (4.4.2) можно записать в виде l j j j x P f 1 min l j t t t t j j t l j t t t t t j j t l j t t j j t , S r F x C , n , , , i, F S r F x C , F S x C n n n n n i i i i i i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 , l , , , j , x j 2 1 0 1 2 1 0 n , , , i , F i t (4.4.3) Пример 4.4.2. Пусть в примере 4.4..1 величина годовой безрисковой процентной ставки равна 10% и часть платежа в момент времени t = 1 используется для выполнения обязательств посредника в момент времени t =2. ▲Условия задачи можно записать в виде (4.4.3), а именно min 100 80 2 1 x x f . F , x , x , , F x , F x x 0 0 0 1100 1 0 1 110 200 10 100 1 2 1 1 2 1 2 1 Решим задачу симплексным методом (симплекс таблицы 4.4.1, 4.4.2, 4.4.3). 101 Таблица 4.4.1 1 x 2 x 1 F 1 y 2 y b 100 10 1 1 0 200 0 110 1,1 0 1 1100 80 100 0 0 0 0 Таблица 4.4.2 1 x 2 x 1 F 1 y 2 y b 1 0,1 0,01 0,01 0 2 0 110 1,1 0 1 1100 0 92 0,8 0,8 0 160 Таблица 4.4.3 1 x 2 x 1 F 1 y 2 y b 1 1,1 0 0,01 110 1 12 0 100 1 0 11 10 1000 0 12 0 0,8 11 8 960 Следовательно, оптимальное решение этой задачи x 1 12 ; x 2 0 ; F 1 1000 , а затраты на формирование портфеля, состоящего из 12 облигаций В 1 , составляют f min 960.■ К активным стратегиям управления портфелем облигаций, кроме стратегии иммунизации, относится также стратегия обмена облигаций портфеля. Такая стратегия позволяет посреднику получить прибыль от портфеля облигаций, продавая одни облигации и докупая другие так, чтобы поток платежей от нового портфеля не стал хуже, чем от старого портфеля. Для формализации задачи отыскания стратегии замены облигаций введем следующие обозначения: P j – затраты на покупку одной облигации j – го вида, j = 1, 2, ... , l; Q j -– выручка от продажи одной облигации j -– го вида, j = 1, 2, ... , l; C t j i – платеж по облигации j–го вида в момент времени t i , i =1,2,..., n; x j – количество покупаемых облигаций j – го вида, j = 1, 2, ... , l; y j -– количество продаваемых облигаций j– го вида, j = 1, 2, ... , l, при этом предполагается, что величины y j ограничены сверху, т. е. 102 l j b y j j ,..., 2 , 1 , ; F t i – та часть платежа от портфеля облигаций в момент времени t i , которая может быть использована для выполнения обязательства посредника в момент времени 1 2 1 1 n , , , i , t i Тогда приходим к следующей задаче линейного программирования: l j l j j j j j x P y Q f 1 1 max l j l j j j t t t t j j t l j t l j j j t t t t j j t l j t l j j j t j j t , y C r F x C , n , , , i , F y C r F x C , F y C x C n n n n n i i i i i i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 , l , , , j , y , x j j 2 1 0 0 , l , , , j , b y j j 2 1 . n , , , i , F i t 1 2 1 0 (4.4.4) Пример 4.4.3. Найдем оптимальный обмен облигаций портфеля, если на рынке имеются облигации В 1 и В 2 со следующими параметрами: Обл игация C t j 1 , долл. C t j 2 , долл. P j , долл. Q j , долл. В 1 10 100 110 110 В 2 100 90 90 Разрешается продавать не более двух облигаций каждого вида, а годовая безрисковая процентная ставка равна 10%. ▲ Запишем условия задачи в виде (4.4.4) и решим симплексным методом (симплекс таблицы 4.4.4, 4.4.5, 4.4.6, 4.4.7). max 90 110 90 110 2 1 2 1 x x y y f , y , y , y , F x , F y y x x 2 0 2 0 100 1 0 1 100 100 10 100 10 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 x x 1 2 0 0 , , F 1 0 . 103 Таблица 4.4.4 x 1 x 2 y 1 y 2 F 1 z 1 z 2 z 3 z 4 b 10 100 10 100 1 1 0 0 0 0 100 0 100 0 1,1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 110 90 110 90 0 0 0 0 0 0 Таблица 4.4.5 x 1 x 2 y 1 y 2 F 1 z 1 z 2 z 3 z 4 b 0,1 1 0,1 1 0,01 0,01 0 0 0 0 100 0 100 0 1,1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 Таблица 4.4.6 x 1 x 2 y 1 y 2 F 1 z 1 z 2 z 3 z 4 b 0,1 1 0 1 0,01 0,01 0 0,1 0 0,2 100 0 0 0 1,1 0 1 100 0 200 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 Таблица 4.4.7 x 1 x 2 y 1 y 2 F 1 z 1 z 2 z 3 z 4 b 1,01 1 0 1 0 0,01 0,009 0,1 0 2,02 90,91 0 0 0 1 0 0,91 9091 0 181,82 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 19,10 0 0 90 0 0,9 0,0009 101 0 38,2 Оптимальное решение 82 , 181 0 2 02 , 2 0 1 2 1 2 1 F y y x x ; ; ; ; , а прибыль 2 , 38 02 , 2 90 2 110 max f . ■ Еще одна важная стратегия управления инвестициями носит название «выравнивание дюраций». Пусть финансовый посредник достоверно знает, что в моменты времени n t , , t , t 2 1 ему придется выплачивать по своим обязательствам суммы n t t t l , , l , l 2 1 соответственно. Будем считать, что годовые безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и равны r (при начислении процентов m раз в год). В этом случае можно определить текущую рыночную стоимость P r обязательств 104 посредника и дюрацию D r p потока платежей по этим обязательствам. Выясним, какова должна быть дюрация потока платежей от активов, чтобы позиция посредника была защищена от процентного риска. Если годовые безрисковые процентные ставки изменяются на величину r , то относительное изменение стоимости обязательств и активов посредника можно определить с помощью равенств , 1 , 1 r D m r r r Q r Q r D m r r r P r P q p где Q r рыночная стоимость активов посредника, а D r q дюрация потока платежей от этих активов. Тогда r P r D r Q r D m r r r Q r P p q 1 Естественно, дюрацию D r q выбрать так, чтобы P r Q r 0 . Следовательно, посредник должен сформировать свой портфель активов так, чтобы выполнялось равенство D r D r P r Q r q p |