яаловлповлпол. В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом. Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
 Скачать 1.56 Mb.
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 4.1.1. Выпишите выражение для определения платежей от портфеля облигаций. 4.1.2. Дайте определение внутренней доходности портфеля облигаций. 4.1.3. Дайте определение средневзвешенной доходности портфеля облигаций. 4.1.4. При каких условиях средневзвешенная доходность портфеля облигаций совпадает с его внутренней доходностью? ЗАДАЧИ 4.1.1. Дан портфель из облигаций В 1 , В 2 и В 3 с полугодовыми купонами: Номер Купонная Номинал Срок Внутренняя 83 облигации, j ставка облигации до погашения, года доходность, m=2 1 6,0% 1000 2,0 5% 2 6,5% 2000 2,5 6% 3 7,0% 3000 3,0 7% Найдите годовые внутреннюю и средневзвешенную доходности портфеля облигаций (при начислении процентов дважды в год). 4.1.2. Найдите годовые внутреннюю и средневзвешенную доходности портфеля облигаций П(2000, 1000, 2000, 3000) при начислении процентов один раз в год, если облигации портфеля имеют потоки: Облигации Платежи в долл. через промежуток времени 0 лет 0,5 года 1 год 1,5 года 2 года В 1 –217,50 5 10 15 200 В 2 –100,00 6 6 6 106 В 3 –213,76 10 10 10 200 В 4 –145,80 8 8 8 150 4.2. Дюрация и выпуклость портфеля облигаций Предположим, что на рынке имеются облигации l видов, стоимости которых в текущий момент времени равны соответственно l j P , , P , , P 1 , и рассмотрим портфель облигаций l j , , , , 1 , где j – денежная сумма, инвестированная в облигацию j-го вида, l , , , j 2 1 Портфель облигаций П эквивалентен облигации, стоимостью j j l 1 , по которой в моменты времени n i t , , t , , t 1 должны выплачиваться денежные суммы j n t C l j j P j n t C j i t C l j j P j i t C j t C l j j P j t C 1 , , 1 , , 1 1 1 соответственно, где C t j i – платеж по облигации j-го вида в момент времени t i , , , i 2 1 , n , l , , , j 2 1 Определение. Дюрацией (Маколея) m D (выпуклостью (Маколея) m C ) портфеля облигаций П при начислении процентов m раз в год называется дюрация (выпуклость) облигации (по Маколею), эквивалентной 84 этому портфелю облигаций. Если r годовая внутренняя доходность портфеля облигаций П при начислении процентов m раз в год, то n i m i t m r i t C i t m D 1 ; 1 1 n i m i t m r i t C m i t i t m C 1 1 1 1 Тогда модифицированная дюрация мод D и модифицированная выпуклость мод С портфеля облигаций П определяются равенствами 2 1 1 m r C C , m r D D m мод m m мод m (4..2.1) Из определений модифицированной дюрации и модифицированной выпуклости портфеля облигаций следует, что 2 2 r мод m C r мод m D r , (4.2.2) где r достаточно малое (по абсолютной величине) приращение годовой внутренней доходности портфеля облигаций П, а r –соответствующее ей относительное изменение стоимости портфеля. Если задана временная структура процентных ставок при начислении процентов m раз в год n t m n r t m r t m r , , , 2 , 2 , 1 , 1 , то модифицированную дюрацию мод m D и модифицированную выпуклость мод m С портфеля облигаций П можно приближенно оценить по формулам: r r r мод m D 2 , 2 2 r r r мод m C , где r стоимость портфеля облигаций П при уменьшении всех годовых безрисковых процентных ставок на величину 0 r ; r стоимость портфеля облигаций П при увеличении всех годовых безрисковых процентных ставок на величину 0 r Пример 4.2.1. Задана временная структура процентных ставок при начислении процентов дважды в год: 85 Срок, годы 0,5 1,0 1,5 2,0 Годовая безрисковая процентная ставка, % 6 6,5 6 8 ▲ Рассмотрим портфель 500 1000 2000 , , из облигаций В 1 , В 2 и В 3 , параметры которых имеют следующие значения: Об ли гац ия Платеж в долл. через промежуток времени Ст ои м ост ь, д олл. Вн ут рен ня я доход ност ь, % Д ю рац ия , D Мод .. д ю рац ия D м од Вы пук лост ь С Мод .. вы пук лост ь C м од 0,5 г од а 1 г од 1,5 г од а 2 г од а В 1 6 6 6 106 107,5536 7,847 1,8698 1,7992 4,4781 4,1464 В 2 10 – 110 – 110,3743 6,000 1,4120 1,3709 2,7801 2,6205 В 3 8 100 – – 101,5707 6,480 0.9619 0,9317 1,4237 1,3357 В данном случае 0 2 ; 5 1 ; 0 1 ; 5 0 4 3 2 1 , t , t , t , t . Тогда 5545 241 5707 101 500 8 3743 110 1000 10 5536 107 2000 6 1 , , , , C t , 8402 603 5707 101 500 100 5536 107 2000 6 2 , , , C t , 1811 1108 3743 110 1000 110 5536 107 2000 6 3 , , , C t , 1102 1971 5536 107 2000 106 4 , , C t Годовая внутренняя доходность портфеля П при начислении процентов дважды в год равна 7,264% (годовая средневзвешенная доходность 7,124%). Находим дюрацию и выпуклость портфеля (по Маколею) 5972 1, D , 4888 3, C , а затем 5412 1 2 07264 0 1 5972 1 , , , D мод ; 2485 3 2 07264 0 1 4888 3 2 , , , С мод Выберем 50 r б. п., т. е. 005 , 0 r . Тогда 0422 , 3527 2 075 , 0 1 1102 , 1971 2 055 , 0 1 1811 , 1108 2 06 , 0 1 8402 , 603 2 055 , 0 1 5545 , 241 4 3 2 r 86 2543 , 3473 2 085 , 0 1 1102 , 1971 2 065 , 0 1 1811 , 1108 2 07 , 0 1 8402 , 603 2 065 , 0 1 5545 , 241 4 3 2 r и приближенные оценки будут: 5371 1 3500 005 0 2 2453 3473 0422 3527 , , , , D мод , 2857 3 3500 005 0 3500 2 2453 3473 0422 3527 2 , , , , C мод ■ Определение. Средневзвешенной дюрацией (средневзвешенной выпуклостью) портфеля облигаций l j , , , , 1 называется взвешенная по стоимости сумма модифицированных дюраций (модифицированных выпуклостей) облигаций этого портфеля, т. е. l j мод j j вз D D 1 ; l j мод j j вз C C 1 , (4.2.3) где мод j D модифицированная дюрация и мод j C модифицированная выпуклость облигации j го вида; j j , j j l 1 , l , , , j 2 1 В [1] доказано, что какова бы ни была временная структура процентных ставок, имеют место приближенные соотношения: вз мод D D , вз мод С С Если же временная структура процентных ставок является ровной, то приближенные равенства оказываются точными. Следствие. Если все годовые безрисковые процентные ставки мгновенно изменятся на величину r (достаточно малую по абсолютной величине), то относительное изменение стоимости портфеля облигаций можно оценить приближенно: 2 2 r C r D вз вз (4.2.4) Пример 4.2.2. Рассмотрим портфель 500 1000 2000 , , в условиях примера 4.2.1. и сравним точное и приближенное значения относительного 87 изменения стоимости портфеля П при различных изменениях годовых безрисковых процентных ставок. ▲ Так как 5529 1 3500 500 9317 0 3500 1000 3709 1 3500 2000 7992 1 , , , , D вз , 3089 3 3500 500 3357 1 3500 1000 6205 2 3500 2000 1464 4 , , , , С вз , то r , б. п * ,% 2 2 r C r D вз вз , % –200 3,141 3,172 –100 1,554 1,569 –50 0,773 0,781 +50 –0,764 –0,772 +100 –1,521 –1,536 +200 –3,009 –3,040 * б. п. – базисный пункт – сотая доля процента. ■ Замечание. Из соотношения (4.2.4) следует, что при одной и той же средневзвешенной дюрации у портфеля облигаций с большей средневзвешенной выпуклостью относительный рост стоимости больше, а относительное снижение – меньше. Таким образом, если ожидается изменение годовых безрисковых процентных ставок на одну и ту же величину, то из двух портфелей с равными средневзвешенными дюрациями для инвесторов более привлекателен портфель с большей средневзвешенной выпуклостью. Предположим, что в начальный момент времени годовые безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и равны r (при начислении процентов m раз в год). При таком предположении имеют место следующие утверждения: 1. Если D и C – дюрация и показатель выпуклости портфеля облигаций l j , , , , 1 , то l j j j D D 1 , l j j j C C 1 где j j j D n j , , , 2 , 1 , – дюрация облигаций j-го вида, а C j –выпуклости этих облигаций. ▲ По определению дюрации портфеля облигаций можно записать, что 88 D t C r m t r m P C i i n t t m i i n t m j j t j j l i i i i 1 1 1 1 1 1 1 1 j j l i t j j t m n j j j l t C P r m i D i i 1 1 1 1 . Аналогично устанавливается равенство для выпуклости портфеля облигаций. ■ 2. Для дюрации D и выпуклости C портфеля облигаций справедливы неравенства j D j D j D j max min , j C j C j C j max min ▲ Так как l j j j D D 1 , где 0 j j , а 1 1 j j , то из 1 1 1 1 1 1 ) max{ max } min{ min j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j D D D D D D D следует j D j D j D j max min . Второе неравенство доказывается аналогично. ■ 3. Если число D удовлетворяет неравенству j D l j D j D l j 1 max 1 min , то при любом 0 существует портфель стоимостью , образованный из данных облигаций, с дюрацией D. ▲ Достаточно убедиться, что система уравнений и неравенств l j j l j j j , , D D 1 1 1 l , , , j , j 2 1 0 (4.2.5) имеет хотя бы одно решение. |