яаловлповлпол. В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом. Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
 Скачать 1.56 Mb.
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 4.2.1. Определите дюрацию (Маколея) и выпуклость (Маколея) портфеля облигаций. Напишите выражения для их вычисления. 4.2.2. Дайте определение модифицированной дюрации и модифицируемой выпуклости портфеля облигаций. 4.2.3. Напишите зависимость относительного изменения стоимости портфеля облигаций от изменения его годовой внутренней доходности через модифицируемую дюрацию и модифицируемую выпуклость этого портфеля. 4.2.4. Напишите выражение для вычисления модифицированной дюрации и модифицированной выпуклости портфеля облигаций, если годовые безрисковые процентные ставки изменяются на малую величину. 4.2.5. Определите средневзвешенную по стоимости дюрацию и средневзвешенную по стоимости выпуклость портфеля облигаций. 4.2.6. Напишите зависимость относительного изменения стоимости портфеля облигаций от изменения его годовой внутренней доходности через средневзвешенную по стоимости дюрацию и средневзвешенную по стоимости выпуклость этого портфеля. 4.2.7. Какой из двух портфелей облигаций, имеющих равные средневзвешенные дюраци, но разные средневзвешенные выпуклости, предпочтет инвестор? 4.2.8. Выпишите выражения для вычисления дюрации и выпуклости портфеля через дюрации и выпуклости его облигаций. 4.2.9. В каких пределах изменяется дюрация и выпуклость портфеля облигаций в зависимости от величин дюрации и выпуклости облигаций, входящих в портфель? 4.2.10. Можно ли сформировать портфель облигаций с заданной дюрацией? ЗАДАЧИ 4.2.1. Дана временная структура процентных ставок при начислении процентов дважды в год: 90 Срок, годы 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Проц. ставка, % 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 и даны параметры купонных облигаций, входящих в портфель, В 1 , В 2 и В 3 с полугодовыми купонами: Облигация Номинал, долл. Купонная ставка, % Срок до погашения, годы В 1 1000 8 1,0 В 2 600 9 2,0 В 3 200 10 2,5 1) найдите годовую внутреннюю и средневзвешенную доходности портфеля облигаций (при начислении процентов дважды в год). 2) найдите модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость портфеля облигаций. 3) найдите средневзвешенную дюрацию и выпуклость портфеля облигаций. 4) определите относительное изменение стоимости портфеля облигаций точно и приближенно при изменении годовых безрисковых процентных ставок на величину 50 r б. п. и на 50 r б. п. 4.2..2. Временная структура процентных ставок является ровной. Дюрации четырех видов облигаций соответственно равны 1,5; 2,0; 3,5 и 5,0 лет, а их выпуклость – 5, 8, 10 и 12 лет 2 . Инвестор приобрел облигации соответственно на суммы 1000, 1500, 2500 и 4000 долл. Найдите дюрацию и показатель выпуклости портфеля из данных видов облигаций, а также относительное изменение стоимости инвестиции в данный портфель, если годовые безрисковые процентные ставки для всех сроков изменились с 8 до 9% годовых. 4.2.3. Дюрации облигаций В 1 и В 2 соответственно равны 2 и 3 года. Найдите портфель из этих облигаций, дюрация которого равна 2,75 года, если временная структура процентных ставок является ровной. 4.2.4. Дюрации четырех видов облигаций соответственно равны 2; 3; 5 и 7 лет, а их показатели выпуклости – 5, 6, 10 и 12 лет 2 . Найдите портфель облигаций, дюрация которого равна 3,5 года, если временная структура процентных ставок является ровной. При этом показатель выпуклости портфеля облигаций должен быть наибольшим. 4.2.5. Решите задачу 4.2.4 при условии, что . , , , 2 0 4 0 3 1 91 4.3. Защита стоимости инвестиции в портфель облигаций от процентного риска Пусть на финансовом рынке обращаются l видов облигаций без дефолт- риска. Условия на данном рынке в течение времени меняются. Рассмотрим стратегию управления инвестициями в облигации портфеля при возможных изменениях безрисковых процентных ставок. Предположим, что рассматриваемый рынок облигаций удовлетворяет следующим условиям: 1. В начальный момент времени годовые безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и равны r (например, при начислении процентов один раз в год). 2. Могут происходить только такие изменения годовых безрисковых процентных ставок, при которых все они изменяются на одну и ту же величину. 3. Облигации можно покупать и продавать в любых количествах, причем без каких-либо трансакционных расходов. 4. Можно кредитовать любые денежные суммы под соответствующие годовые безрисковые процентные ставки. Пусть инвестор располагает в начальный момент времени денежной суммой , которую он собирается инвестировать в рассматриваемые облигации. Цель данного инвестора состоит в том, чтобы при любых изменениях ставок на рынке облигаций обеспечить на заданный момент времени Т стоимость своей инвестиции, не меньшую, чем T r 1 . Величину T r 1 будем называть планируемой стоимостью инвестиции в портфель облигаций. Так как инвестор должен защитить свою инвестицию от возможных изменений временной структуры процентных ставок, то в начальный момент времени он формирует портфель облигаций так, чтобы дюрация портфеля равнялась заданному промежутку времени Т. Для этого необходимо найти решение следующей системы уравнений и неравенств: l j j l j j j , , T D 1 1 0 1 l , , , j , j 2 1 0 , (4.3.1) где 0 j D – дюрация облигации j-го вида в начальный момент времени. Если 92 соблюдается условие j j j j D T D max min , то система (4.3.1) имеет хотя бы одно решение 0 0 0 1 l j , , , , . Тогда портфель 0 0 0 1 0 l j , , , , , где l , , , j , j j 2 1 0 0 , будет иметь дюрацию, равную Т. Будем считать, что по портфелю 0 должны в моменты времени n t , , t , t 2 1 выплачиваться денежные суммы 0 0 0 2 1 n t t t U , , U , U соответственно. Если до момента времени t 1 годовые безрисковые процентные ставки изменятся, а в дальнейшем меняться не будут, то стоимость инвестиции в портфель облигаций на момент времени T будет равна n n t t t t t t T r U r U r U r 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 t t t t t t t t T n n r U r U U r В силу иммунизирующего свойства дюрации облигации справедливо неравенство T t t t t t t t t T r r U r U U r n n 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 0 1 0 0 1 (4.3.2) Заметим, что в момент времени t 1 инвестор располагает денежной суммой 0 1 t U и портфелем облигаций стоимостью n k t k t r k t U 2 1 1 1 0 В силу неравенства (4.3.2) портфель 0 защищен от изменений 93 временной структуры процентных ставок, происходящих до момента времени t 1 . Однако, этот портфель не защищен против изменений временной структуры процентных ставок, которые могут произойти между моментами времени t 1 и t 2 . Поэтому в момент времени t 1 инвестор должен пересмотреть свой портфель облигаций так, чтобы его дюрация стала равной 1 t T Для этого, если соблюдается условие j j j j D t T D max min 1 , то необходимо найти решение следующей системы уравнений и неравенств: l j j l j j j , , t T D 1 1 1 1 1 , l , , , j , j 2 1 0 (4.3.3) где 1 j D – дюрация облигации j-го вида в момент времени l , , , j , t 2 1 1 Если вектор 1 1 1 1 l j , , , , является решение системы (4.3.3), то портфель 1 1 1 1 1 , , , , l j ,где , 1 1 1 1 2 2 1 1 0 1 0 0 1 1 t t t t t t t j j n n r U r U U j=1,2,…, будет иметь дюрацию, равную 1 t T лет. Новая, т.е. в момент времени t 1 , планируемая стоимость инвестиции будет равна n k t t t t t T k k r U U r 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Эта планируемая стоимость инвестиции в П 1 , в силу неравенства (4.3.2), не меньше T r 1 . При этом она защищена от изменений временной структуры процентных ставок, происходящих между моментами времени t 1 и t 2 . Это означает, что, если годовые безрисковые процентные ставки между этими моментами времени изменятся, а в дальнейшем меняться не будут, то на момент времени Т стоимость инвестиции будет больше или равна T r 1 Аналогичным образом, в случае необходимости, пересматривается портфель облигаций в момент времени t 2 и т. д. до момента времени Т. Замечание. Если в некоторый момент времени t k [0,T], k = 1, 2,… невозможно сформировать портфель облигаций с дюрацией, равной T–t k , то 94 портфель облигаций следует продать и все имеющиеся средства инвестировать под годовую безрисковую процентную ставку до момента времени Т. Пример 4.3.1. Вначальный момент времени годовые безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и равны 8% (при начислении процентов один раз в год). На рынке имеются купонные облигации со следующими параметрами: A 1 100 долл., 2 1 8 1 1 1 T , m %, f ; A 2 100 долл., 4 1 8 2 2 2 T , m %, f Инвестор, располагающий суммой 1000 долл., формирует портфель из данных облигаций. Какова будет стратегия иммунизации портфеля облигаций, если инвестиционный горизонт инвестора Т = 3 года, а временная структура процентных ставок менялась следующим образом: через 0,5 года ставки упали до 7%, а через 1,5 года – до 6%? ▲ Планируемая стоимость инвестиции в облигации равна 71 1259 08 0 1 1000 3 , , долл. Так как в начальный момент времени 5771 3 9259 1 0 2 0 1 , D , , D и выполняется условие j j j j D T D max min , то для формирования портфеля облигаций с трехгодичной дюрацией решается система: , , , , 1 3 5771 3 9259 1 2 1 2 1 1 2 0 0 , Решение этой системы 3495 0 9259 1 5771 3 3 5771 3 0 1 , , , , , 6505 0 9259 1 5771 3 9259 1 3 0 2 , , , , Поэтому в начальный момент времени инвестор с учетом того, что: 100 0 2 , 100 0 1 P P , формирует портфель облигаций 5 650 ; 5 349 0 , , с поток платежей 0 k t 1 2 3 4 0 k t U 80 429,50 52,04 702,54 В момент времени t 1 1 дюрации облигаций станут равными 95 7862 2 1 1 2 1 1 , D , D , а их стоимости P P 1 1 2 1 100 9346 102 6243 , , ; В этот момент времени инвестор располагает суммой, равной 33753 1100 07 1 54 702 07 1 04 52 07 1 50 429 80 3 2 , , , , , , , , а новая планируемая стоимость инвестиции будет 77644 1259 07 1 33753 1100 2 , , , Чтобы сформировать новый портфель облигаций с дюрацией, равной 2 годам после проверки условия j j j j D T D max 1 min , решаем систему , , , 1 2 7862 2 2 1 2 1 1 2 0 0 , Решение системы имеет вид 1 1 2 7862 2 2 7862 10 0 4401 , , , , , 2 1 2 1 2 7862 10 0 5599 , , , . Тогда в момент времени t 1 1 инвестор формируется портфель облигаций с поток платежей: 1 k t 1 2 3 1 k t U 566,18 48,03 648,47 В момент времени 2 2 t невозможно сформировать портфель облигаций с дюрацией, равной 1 году, так как первая облигация уже оказалась погашенной и условие j j j j D T D max 2 min не выполняется. Поэтому имеющийся портфель П 1 облигаций продается и вся сумма, находящаяся в распоряжении инвестора, инвестируется на один год под годовую безрисковую ставку в 6%. Таким образом, в результате инвестор через три года получит сумму 945 1259 06 1 06 1 47 648 06 1 03 48 18 566 2 , , , , , , , долл., которая больше планируемой изначально суммы, равной 1259,71 долл. ■ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 4.3.1. Каким условиям должен удовлетворять финансовый рынок, чтобы можно было защитить стоимость инвестиции в портфель облигаций от процентного риска? 96 4.3.2. Выпишите систему уравнений и неравенств, решением которой является структура портфеля облигаций с заданной дюрацией. 4.3.3. Какую денежную сумму может иметь инвестор от портфеля облигаций непосредственно после первого платежа по портфелю? 4.3.4. Какова планируемая стоимость инвестиции в портфель облигаций непосредственно после первого платежа по портфелю? |