яаловлповлпол. В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом. Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова

• Название: Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
• Анкор: яаловлповлпол
• Дата: 12.06.2022
• Размер: 1.56 Mb.
• Имя файла: В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом.pdf
• Тип: Учебное пособие; #587248
• страница: 8 из 15

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
2.3.1. Перечислите критерии выявления арбитражных возможностей.
2.3.2. Перечислите критерии выявления результатов арбитражной сделки.
2.3.3. Почему критерий внутренней доходности может привести к неверным выводам при арбитражной оценке?
2.3.4. Какой из критериев дает более точный ответ о существовании арбитражной ситуации?
2.3.5. Какой принцип лежит в основе критерия «одной стоимости»?
2.3.6. Сформулируйте последовательность применения критерия «одной

55 стоимость».
2.3.7. Опишите стратегию арбитражной оценки потока платежей по облигации.
ЗАДАЧИ
2.3.1. Даны параметры четырех купонных облигаций:
Параметры облигация
A,
долл.
f,
%
P,
долл.
T,
года
m,
период
B
1 100,00 10 103,62 3 1
B
2 100,00 8 96,20 3
1
B
3 100,00 9 100,00 2 1
B
4 100,00 7 95,00 1
1
Проведите арбитражную оценку облигаций, по которым осталось три платежа до погашения.
2.3.2. Даны параметры пяти купонных облигаций:
Параметры облигации
А,
долл.
f,
%
P,
долл.
T,
года
m,
период
В
1 100,00 7 94,00 2
2
В
2 100,00 10 105,00 2 2
В
3 100,00 9 102,02 1,5 2
В
4 100,00 8 98,30 1
2
В
5 100,00 6 48,02 0,5 1
Проведите арбитражную оценку облигаций, по которым до погашения осталось два года, если по облигации В
1 выплачивается за полгода до погашения 30% номинальной стоимости, а по облигации В
2
─ 20% номинальной стоимости
(соответственно уменьшаются величины последних купонов по этим облигациям).
2.3.3. Даны параметры четырех купонных облигаций:
Параметры облигация
A,
долл.
f ,
%
P,
долл.
T,
года
m ,
период
B
1 100,00 6 90,24 3
1
B
2 100,00 12 105,36 3 1
B
3 100,00 10 101,05 2 1
B
4
100,00 9 100,00 1 1
Проведите арбитражную оценку облигаций, по которым до погашения осталось три года.
2.3.4. В условиях задачи 2.3.3 даны параметры еще двух купонных облигаций
В
5 и В
6
:

56
Параметры облигации
A,
долл.
f ,
%
P,
долл.
T,
года
m ,
период
B
5 100,00 8 92,00 2 1
B
6 100,00 8 94,00 1 1
Проведите оценку облигаций, до погашения которых осталось три года, по критерию «безрисковой ставки».
2.3.5. В условиях задачи 2.3.4 купоны облагаются 30%-ным налогом, Какую из облигаций В
1
или В
2
рекомендовать инвестору для покупки? В портфеле инвестора имеются облигации В
1
номинальной стоимостью 100 000 долл. Какие рекомендации по перераспределению облигаций в портфеле можно дать инвестору, если комиссионные расходы на покупку и продажу облигаций составляют: а) 0,5% и б) 0,1% от инвестиционного объема, а минимальная номинальная стоимость облигаций равна 100 долл.?

57
3. Процентный риск при инвестировании в облигации
Мы рассматриваем облигации без дефолт-риска. Однако это не означает, что инвестиции в такие облигации вообще не имеют риска. В частности, инвестиции в облигации без дефолт-риска связаны с процентным риском, т. е. риском, обусловленным неожиданными изменениями рыночных ставок процента. Оценка процентного риска и защита от него при инвестировании в облигации является содержанием данного раздела.

3.1. Дюрация и выпуклость облигации
Дюрация облигации представляет собой некоторую меру процентного риска облигации, а показатель выпуклости облигации дает оценку того, насколько хорошо дюрация измеряет процентный риск облигации.
Рассмотрим облигацию, по которой через
l
t
,
,
t
,
t

2 1
лет,
l
t
t
t





2 1
0
, должны выплачиваться денежные суммы
l
t
t
t
C
,
,
C
,
C

2 1
соответственно.
Предположим, что годовая внутренняя доходность данной облигации при начислении процентов m раз в год равна r. Тогда текущая рыночная стоимость облигации определяется равенством
  







 

l
k
m
t
t
k
k
m
r
C
r
P
1 1
Если годовая внутренняя доходность облигации изменится на величину

r и станет равной r
r
 
, то и стоимость облигации изменится и станет равной

















l
k
m
t
t
k
k
m
r
r
C
r
r
P
1 1
. Предполагая, что

r достаточно мало по абсолютной величине, приращение стоимости облигации

  
r
P
r
r
P
P





можно записать приближенно в одном из двух следующих видов:
 
r
r
P
P





или
 
   
2 2
1
r
r
P
r
r
P
P









Тогда относительное изменение стоимости облигации можно записать в виде соотношений:

58
 
 
 
r
r
P
r
P
r
P
P





или
 
 
 
 
   
2 2
1
r
r
P
r
P
r
r
P
r
P
r
P
P









Так как
 


 
,
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
k
k
k
k
k
t
k
m
k
k
m
t
t
k
k
m
t
k
t
C
V
t
m
r
m
r
C
t
m
r
m
m
r
m
t
C
r
P





















 










 








где
 
m
t
t
t
m
k
k
k
m
r
C
C
V






 


1
является приведенным значением платежа C
t
k
, k=1,2,…,

, то
 
 
 
 
P r
P r
r
m
t
V
C
P r
k
k
l
m
t
k

 





1 1
1

Определение. Число
 
 
r
P
C
V
t
D
k
t
m
l
k
k
m





1
(3.1.1) называется дюрацией (Маколея) облигации (при начислении процентов m раз в год).
Нетрудно заметить, что дюрация облигации представляет собой сумму сроков платежей по этой облигации, взвешенных долей приведенных значений соответствующих платежей от текущей стоимости облигации. В самом деле
 
 
 
 
   
1 1
1 1
1










r
P
r
P
C
V
r
P
r
P
C
V
l
k
t
m
t
m
l
k
k
k
Поэтому дюрацию облигации часто называют средним сроком
платежей по облигации. Относительное изменение стоимости облигации можно записать теперь через дюрацию в виде
 


















m
r
r
D
r
P
P
m
1
(3.1.2)

59
Так как
 


 
,
C
V
m
t
t
m
r
m
m
r
m
t
C
t
m
r
C
t
r
P
k
k
k
k
k
t
l
k
m
k
k
l
k
m
t
k
t
k
l
k
m
t
t
k

















 







 








 























 




1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
1 1
1
то
 
 
 
 
r
P
C
V
m
t
t
m
r
r
P
r
P
k
t
m
l
k
k
k







 







 




1 2
1 1
1
Определение. Число
 
 
r
P
C
V
m
t
t
C
k
t
m
l
k
k
k
m







 




1 1
(3.1.3) называется выпуклостью (Маколея) облигации (при начислении процентов m раз в год).
С помощью дюрации и выпуклости облигации относительное изменение стоимости облигации можно записать в виде
 
2 1
2 1


































m
r
r
C
m
r
r
D
r
P
P
m
m
(3.1.4)
Кроме того, из (3.1.2) и (3.1.4) следует, что


 
 




















m
r
r
r
P
D
r
P
r
r
P
m
1
,

60


 
 
 
2 1
2 1





































m
r
r
r
P
C
m
r
r
r
P
D
r
P
r
r
P
m
m
Пример 3.1.1. Дана 8%-ная купонная облигация номиналом 1000 долл., по которой в течение 5 лет оплачиваются один раз в год купоны.
1. Найдем дюрацию
D
1
и выпуклость
С
1
данной облигации при начислении процентов один раз в год.
2. Определим относительные изменения стоимости облигации по формулам (3.1.2) и (3.1.4) при изменениях годовой внутренней доходности облигации, равной 8%, на величину

r

0 005 0 01
,
,
;
и

0 01
, . Найденные значения относительных изменений стоимости облигаций сравним с их истинными значениями.
▲ Результаты расчета дюрации и выпуклости облигации cведены в таблицу:
k
Размер платежа,
C
t
k
Приведенное значение платежа,
 
 

V C
C
r
t
t
t
k
k
k
1 1


 

V C
P
t
k
1
 
t
V C
P
k
t
k

1


 
t t
V C
P
k k
t
k

1 1

1 80 74,074074 0,074074 0,074074 0,148148 2
80 68,587106 0,068587 0,137174 0,411522 3
80 63,506579 0,063506 0,190521 0,762089 4
80 58,802388 0,058802 0,235210 1,176050 5
1080 735,029853 0,735030 3,675150 22,050900

1000,000000 1,000000 4,312129 25,724754
Таким образом, мы получили, что
Р (0,08) = 1000,00, D
1
= 4,312 лет, С
1
= 25,725 (лет
2
).
1.
При

r

0 005
,
: а)
 

P
P 0 08 0 005 108 4 312 0 019963
,
,
,
,
,
 

 
; б)
 

P
P 0 08 0 019963 1
2 0 005 1 0 08 25 725 0 019681 2
,
,
,
,
,
,
 







 
; c)
 

  
 

P
P
P
P
P
0 08 0 085 0 08 0 08 0 019704
,
,
,
,
,


 
2.
При

r

0 01
, :

61 а)
 

P
P 0 08 0 039926
,
,
 
; б)
 

P
P 0 08 0 038823
,
,
 
; с)

P
P
 
0 038897
,
3.
При

r
 
0 01
,
: а)
 

P
P 0 08 0 039926
,
,

; б)
 

P
P 0 08 0 041029
,
,

; с)
 

P
P 0 08 0 041002
,
,

. ■
Предположим, что временная структура процентных ставок является ровной, т. е. годовые безрисковые процентные ставки для инвестиций всех сроков одинаковы и равны r (при начислении процентов m раз в год). Тогда годовая внутренняя доходность облигации при начислении процентов m раз в год также будет равна r. Если же все годовые безрисковые процентные ставки изменятся на одну и ту же величину

r , то годовая внутренняя доходность облигации окажется равной r
r
 
и будет иметь место следующее приближенное равенство:
 
2 1
2 1


































m
r
r
C
m
r
r
D
r
P
P
m
m
, где D
m
и C
m
– соответственно дюрация и выпуклость облигации.
Это означает, что дюрацию можно рассматривать как меру процентного
риска, так как она оценивает чувствительность стоимости облигации к указанным выше изменениям временной структуры процентных ставок.
Выпуклость облигации можно интерпретировать как показатель того, насколько хорошо дюрация служит мерой процентного риска.
Замечание 1. Дюрацию и выпуклость облигации можно определить и при непрерывном начислении процентов. Если

r

годовая внутренняя доходность облигации при непрерывном начислении процентов, то
 
 
 










l
k
t
k
l
k
t
r
t
k
r
P
C
V
t
r
P
e
C
t
D
k
k
k
1 1
,
 
 







l
k
t
k
r
P
C
V
t
C
k
1 2
При этом имеют место следующие приближенные равенства:
 
r
D
r
P
P






;
 
 
2 2
r
C
r
D
r
P
P










,

62 где

  


P
P r
r
P r




, а

r – достаточно малое по абсолютной величине изменение годовой внутренней доходности.
Замечание 2. Дюрацию и выпуклость купонной облигации, по которой купоны оплачиваются m раз в год, принято определять при начислении процентов m раз в год.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
3.1.1. Выпишите выражения для величины изменения стоимости облигации через ее первую производную, а также с учетом второй производной, при изменении ее годовой внутренней доходности.
3.1.2. Выпишите выражения для определения относительного изменения стоимости облигации через ее первую производную, а также с учетом второй производной, при изменении ее годовой внутренней доходности.