яаловлповлпол. В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом. Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова

• Название: Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
• Анкор: яаловлповлпол
• Дата: 12.06.2022
• Размер: 1.56 Mb.
• Имя файла: В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом.pdf
• Тип: Учебное пособие; #587248
• страница: 6 из 15

2.1.5. По 5%-ной купонной облигации номиналом 100 долл. обещают произ- водить каждые полгода купонные платежи. Определите стоимость облигации в момент, когда до погашения облигации остается: а) 3,3 года; б) 3,0 года.
Годовые безрисковые процентные ставки при начислении процентов два раза в год для всех сроков равны 6%.
2.1.6. По 6%-ной купонной облигации номиналом 200 долл. обещают произ- водить каждый квартал купонные платежи. Определите стоимость облигации в момент, когда до погашения облигации остается: а) 16 месяцев; б) 15 месяцев.
Годовые безрисковые процентные ставки при начислении процентов 4 раза в год для всех сроков равны 5%.
2.2. Временная структура процентных ставок
Рассмотрим все чисто дисконтные облигации без дефолт-риска, которые в данный момент времени находятся в обращении, т. е. свободно покупаются и продаются на рынке. По каждой такой облигации можно определить соответствующую годовую безрисковую процентную ставку при непрерывном

42 начислении процентов.
Определение. Набор годовых безрисковых процентных ставок
   
 


k
t
r

,
,
t
r
,
t
r

2 1
, которые можно в данный момент определить по чисто дисконтным облигациям, называется временной структурой годовых процентных ставок
при непрерывном начислении процентов.
Замечание. Аналогично можно было бы определить временную структуру годовых ставок процента при его начислении m раз в год. Однако, зная временную структуру процентных ставок при непрерывном начислении их, всегда можно найти временную структуру процентных ставок при начислении их m раз в год и наоборот по известным соотношения:
 
 

ln
,
r t
m
r m t
m
 







1
и
 
 
r m t
m e
r t
m
,

 









1
Поэтому мы будем рассматривать временную структуру годовых ставок процента только при непрерывном начислении его.
Временную структуру годовых процентных ставок можно изобразить графически так, как показано на рис. 2.2.1.
Рис. 2.2.1. Кривая рыночной доходности
Зная временную структуру годовых процентных ставок
   
 


k
t
r
,
,
t
r
,
t
r

2 1
,
k
t
t
t





2 1
0
, можно определить годовые безрисковые процентные ставки
 

r t для инвестиций на любой срок t,


k
t
,
t
0

. Кроме того, если имеются какие-нибудь облигации со сроками до погашения, большими
t
k
, то можно определить и годовые безрисковые

43 процентные ставки
 

r t при t
t
k

Определение. График функции
 
t
r
r

, где
 
t
r – годовая безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении процентов для инвестиции на
t лет, называется кривой рыночной доходности.
Чтобы построить кривую рыночной доходности на отрезке


0, t
k
, используем временную структуру годовых процентных ставок
   
 


k
t
r
,
,
t
r
,
t
r

2 1
, где
k
t
t
t





2 1
0
и, например, интерполирование
(k

1)-го порядка:
 
  

 




 















k
k
k
k
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
r
t
r
1 1
1 3
1 2
1 1
3 2
1


(2.2.1)
  













 








 




1 2
2 1
1 2
2 1
2 1
2 3
2 1
2 1
3 1
2



























k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
k
t
r
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
r





Нетрудно заметить, что
 
t
r является многочленом степени k

1 относите- льно переменной t. При этом, если
k
t,
,
t
,
t
t

2 1

, то значения этого многочлена совпадают с
   
 
k
t
r
,
,
t
r
,
t
r

2 1
соответственно.
Пример 2.2.1. Даны годовые процентные ставки для инвестиций соответственно на 1, 1,5 и 2 года:
 
 
 
065 0
2 06 0
5 1
05 0
1
,
r
,
,
,
r
,
,
r



Определить кривую рыночной доходности на промежутке от 0 до 2 лет, а также текущую стоимость облигации, погашаемой через 1,8 года по номинальной стоимости в 100 долл.
▲ В соответствии с данными соотношение (2.2.1) примет вид
 




 








5 0
1 5
1 1
065 0
5 0
5 0
2 1
06 0
1 5
0 2
5 1
05 0
,
,
t
t
,
,
,
t
t
,
,
t
,
t
,
t
r

















Следовательно, кривая рыночной доходности на отрезке


0 2 0
;
, определяется зависимостью от времени, вида r
t
t
 
 
 
0 01 0 045 0 015 2
,
,
,
Откуда
 
 
 
0636 0
015 0
8 1
045 0
8 1
01 0
8 1
2
,
,
,
,
,
,
,
r







и по формуле (2.1.5) определяем рыночную стоимость облигации
18 89 100 8
1 0636 0
,
e
P
,
,





. ■
Предположим теперь, что известна кривая рыночной доходности
 
t
r
r

на отрезке


0, t
k
, и на рынке имеется облигация с рыночной стоимостью Р, по которой через время
n
k
k
t
t
t
t
t
,
,
,
,
,
,
1 2
1



, где


n
k
k
t
t
t
t
t










1 2
1 0
должны выплачиваться соответственно

44 денежные суммы
n
k
k
t
t
t
t
t
C
,
,
C
,
C
,
,
C
,
C



1 2
1

Для того, чтобы найти приближенные значения годовых безрисковых процентных ставок
  

 
n
k
k
t
r
,
,
t
r
,
t
r

2 1


, воспользуемся линейным интерполированием на отрезке


n
k
t
,
t
. Годовая безрисковая процентная ставка
 
k
t
r
нам известна по условию, а
 
n
t
r
положим равной r (рис. 2.2.2).
Рис. 2.2.2.
Тогда
 
 


 
 
 
 


































































,
r
b
a
t
r
,
r
b
a
t
t
t
t
r
t
t
t
t
t
r
t
r
,
r
b
a
t
t
t
t
r
t
t
t
t
t
r
t
r
,
r
b
a
t
t
t
t
r
t
t
t
t
t
r
t
r
n
n
n
n
n
k
n
k
n
n
k
n
n
k
n
k
k
k
n
k
k
n
k
n
k
k
k
k
k
k
n
k
k
n
k
n
k
k
k
1 1
1 1
1 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1


















(2.2.2) где
n
n
n
n
k
k
k
k
b
,
a
,
b
,
a
,
,
b
,
a
,
b
,
a
1 1
2 2
1 1







─ известные величины.
Так как текущая рыночная стоимость облигации равна Р, то должно выполняться следующее равенство:

45
 


i
t
r
i
b
i
a
i
t
i
t
i
t
r
i
t
e
C
e
C
P
n
k
i
k
i













1 1

(2.2.3)
Таким образом, мы имеем уравнение (2.2.3), решив которое, найдем величину r, а затем по формулам (2.2.2) и все годовые безрисковые процентные ставки
  

 
n
k
k
t
r
,
,
t
r
,
t
r

2 1


Пример2.2.2. Известны годовые процентные ставки
 
 
 
06 0
3 05 0
2 04 0
1
,
r
,
,
r
,
,
r



и дана облигация (без дефолт-риска) стоимостью 90 долл., по которой через 1,
2, 3, 4, 5 лет должны выплачиваться суммы 5, 5, 5, 5, 100 долл. соответственно. Найдем годовые безрисковые процентные ставки
 

r 4 и
 

r 5 .
▲
Так как
 
 
r
r
,
,
r


5 06 0
3
,то
 
03 0
2 4
,
r
r


(рис. 2.2.3).
Рис. 2.2.3
Решив уравнение


5 4
03 0
2 3
06 0
2 05 0
04 0
100 5
5 5
5 90




















r
,
r
,
,
,
e
e
e
e
e
, получим r

0 0644
,
. Тогда
 
 
0644 0
5 0622 0
03 0
2 4
,
r
,
,
,
r
r




.■
Замечание. Если на рынке имеются облигации с разными сроками до погашения, выпущенные эмитентами одного и того же кредитного рейтинга, то аналогичным образом можно построить кривую рыночной доходности для соответствующих инвестиций.
Например, при наличии на финансовом рынке облигаций с разным числом платежей до погашения можно построить временную структуру годовых безрисковых процентных ставок следующим образом.

46
Вначале для i-й облигации из совокупности облигаций {В
1
, B
2
,…,
B
m1
} с одним платежом до погашения через промежуток времени
1
t
от текущего момента определяем величину годовой безрисковой ставки
)
(
1
t
r
i
для инвестирования на t
1
лет из уравнений финансовой эквивалентности вида
1 1
1 1
t
i
i
i
t
r
t
C
P



))
(
)(
(
, i = 1, 2, …,
1
m
Для инвестирования на срок
1
t
лет будет пользоваться спросом облигация с наибольшей годовой внутренней доходностью. Поэтому из всех ставок
)}
(
{
1
t
r
i
выбираем наибольшую r
*
(t
1
) , т. е.
)}
(
{
max
)
(
1 1
t
r
t
r
i


по всем i = 1, 2, …,
1
m
и считаем ее годовой безрисковой ставкой для инвестирования на срок
1
t
лет.
Выбранную ставку используем при определении безрисковых ставок для инвестирования на срок больший, чем t
1
лет. При этом для каждой облигации
i из совокупности {В
1
, B
2
,…, B
m2
} облигаций с двумя платежами через
1
t
и
2
t
лет от текущего момента составляем уравнения финансовой эквивалентности вида
2 1
2 2
1 1
1 1
t
i
i
t
i
i
t
r
t
C
t
r
t
C
P







))
(
)(
(
))
(
)(
(
, i = 1, 2, …,
2
m
Из всех ставок для инвестирования на срок
2
t
лет выбираем наибольшую процентную ставку r
*
(t
2
), т.е.
)}
(
{
max
)
(
2 2
t
r
t
r
i


по всем i = 1, 2, …,
2
m
и считаем ее годовой безрисковой ставкой для инвестирования на t
2
лет.
Выбранную ставку используем при определении годовых безрисковых ставок для инвестирования на срок не меньше, чем
3
t
лет.
Далее рассматриваем облигации со сроком погашения через
3
t
лет и с тремя платежами через
1
t
,
2
t
,
3
t
лет от текущего момента времени и т. д.
В результате получим последовательность
)}
(
{
k
t
r

годовых безрисковых процентных ставок для инвестирования на сроки
k
t
(k =1, 2, …, n) лет.
Используя формулы интерполирования, строим кривую рыночной доходности r
= r(t), по которой можно определить годовую безрисковую процентную ставку для инвестирования на любой срок t до момента
n
t
Из облигаций со сроком погашения через t n
лет отдаётся предпочтение облигации с годовой доходностью, равной
)
(
n
t
r

=max{r i
(t n
)} по всем i =
1,2,…,m n

47
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
2.2.1. Дайте определение временной структуры годовых процентных ставок.
2.2.2. Определите понятие кривой рыночной доходности.
2.2.3. Опишите использование формул интерполирования для определения кривой рыночной доходности.
2.2.4. Какие данные необходимо иметь для линейного интерполирования с целью приближенного вычисления годовых безрисковых процентных ставок за пределами интервала определения кривой рыночной доходности?
2.2.5. Как найти временную структуру годовых процентных ставок, если на рынке имеются купонные облигации с разными сроками до погашения?
2.2.6. Какую из двух разных по величине годовых безрисковых ставок процента необходимо выбрать для дальнейших финансовых вычислений? Ответ обоснуйте.
ЗАДАЧИ
2.2.1. Определить кривую рыночной доходности, если известны годовые безрисковые процентные ставки: а)
 
 
;
055
,
0 2

;
04
,
0 1



r
r
б)
 
 
 
06
,
0 2

;
05
,
0 1

;
04
,
0 5
,
0




r
r
r