яаловлповлпол. В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом. Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова

• Название: Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
• Анкор: яаловлповлпол
• Дата: 12.06.2022
• Размер: 1.56 Mb.
• Имя файла: В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом.pdf
• Тип: Учебное пособие; #587248
• страница: 5 из 15

Пример 1.3.5. Рассмотрим купонную облигацию, у которой: A

1000 долл., f
m
T



8 1
4
%,
,
года, а годовая внутренняя доходность без учета налогов равна 8,77% (пример 1.3.4). Определим годовую внутреннюю доходность этой облигации с учетом налогов.
▲ Если ставка налогов на процентные платежи составляет 20%, а ставка налогов на прирост капитала равна 28%, то согласно формуле (1.3.6) внутренняя доходность облигации с учетом налогов приближенно находится следующим образом:

 



0695 0
2 0
1 08 0
08 0
0877 0
28 0
1
,
,
,
,
,
,
r









или
6,95%.
В примере 1.3.4 годовая внутренняя доходность данной облигации с учетом налогов была определена в 6,98%. ■
Для того, чтобы найти годовую внутреннюю доходность облигации с учетом налогов при наличии инфляции, необходимо вычислить номинальную годовую внутреннюю доходность после уплаты налогов r

, а затем с помощью уравнения Фишера определить величину реальной годовой внутренней доходности с учетом выплаченных налогов.
Пример 1.3.6. Купонная облигация имеет следующие данные: A

100 долл., f
m
T



6 1
3
%,
,
года, а текущая стоимость равна 96,2 долл.
Определим реальную годовую внутреннюю доходность этой облигации, если ожидаемый средний годовой темп прироста инфляции составляет 4%, а ставки налогов на прирост капитала и процентный доход одинаковы и равны 30%.
▲ Номинальную годовую внутреннюю доходность облигации с учетом налогов получим, решив уравнение
















3 3
2 1
3 0
2 96 100 100 1
3 0
1 6
1 3
0 1
6 1
3 0
1 6
2 96
r
,
,
r
,
r
,
r
,
,





















, откуда
%
r
5


. Реальную годовую внутреннюю доходность с учетом налогов найдем по формуле
Фишера









real
real
r
r
r
, а именно:
009615 0
04 0
1 04 0
05 0
,
,
,
,
r
real





или 0,96%. ■

35
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.3.1. Что такое потребительская корзина?
1.3.2. Как определяется индекс потребительских цен?
1.3.3. Определите понятие «покупательная способность денежной единицы».
1.3.4. Поясните смысл терминов: «инфляция» и «дефляция».
1.3.5. Сформулируйте определение средне годового темпа прироста инфляции.
1.3.6. Напишите уравнение, решением которого является реальная годовая внутренняя доходность облигации.
1.3.7. Какие факторы связывает уравнение Фишера?
1.3.8. Как влияют налоги с процентных доходов и с прироста капитала на годовую внутреннюю доходность облигации?
ЗАДАЧИ
1.3.1. За 3 года индекс потребительских цен вырос на 40%. Определите среднегодовой темп прироста инфляции.
1.3.2. Определить среднегодовой темп прироста инфляции, если индекс потребительских цен вырос за 2,5 года на: а) 18% ; б) 10%.
1.3.3. Даны относительные изменения индекса потребительских цен за 6 лет:
t, годы
1 2
3 4
5 6


t
,
t 1


, %
10,25 9,56 8,32 9,35 10,12 9,38
Определите средний годовой темп прироста инфляции за эти 6 лет.
1.3.4. Даны показатели трех облигаций:
Облигация
А, долл.
f, %
m
T, годы
Р, долл.
В
1 100 10 1
4 94
В
2 100 8
1 5
90
В
3 100 10 2
4 92
Определите реальную внутреннюю доходность каждой облигации, если ожи- даемый годовой темп прироста инфляции равен 5%.
1.3.5. Дан поток платежей по облигации:
Срок, годы
0 1
2 3
4
Платеж, долл.

100 6
6 6
106
Определите реальную годовую внутреннюю доходность облигации, если ожидаемый годовой темп прироста инфляции для первых двух лет равен 3%, а для последующих двух лет – 4%.

36
1.3.6. Дана купонная облигация с A

1000 долл., f
m
T



10 1
6
%,
,
лет и годовой номинальной внутренней доходностью, равной 12%. Найти точное и приближенное значения годовой внутренней доходности с учетом налогов, если ставка налогов на купонные доходы равна 25%, а на прирост капитала –
30%.
1.3.7. Дана купонная облигация с A

1000 долл., f
m
T



6 1
5
%,
,
лет и внутренней доходностью без учета налогов, равной 10%. Найти точное и приближенное значения годовой внутренней доходности с учетом налогов, если ставка налогов на купонные доходы равна 25%, а на прирост капитала –
30%.
1.3.8. Дана купонная облигация с A

100 долл., f
m
T



10 1
3
%,
,
года и текущей стоимостью 102,70 долл. Ожидаемый среднегодовой темп прироста инфляции равен 4%. Найти номинальную и реальную годовые внутренние доходности облигации с учетом налогов, если ставки налогов на купонный доход и на прирост капитала одинаковы и равны: а) 20% ; б) 30% ; в) 40% .
1.3.9. Даны две купонные облигации с A

100 долл., f
m
T



10 1
3
%,
,
года, а их годовые внутренние доходности без учета налогов соответственно равны 5 и 7,5%. Какую из этих облигаций можно рекомендовать инвестору, если первая не облагается налогами, а купонный доход и прирост капитала по второй облигации облагаются налогами по ставке 25%?

37
2. Рыночная доходность и арбитражные сделки
Самый распространенный способ сравнения и оценки облигаций по возможности приносить доход их владельцам базируется на понятии внутренней доходности облигации. Однако при этом возможны неверные выводы из-за потери информации о структуре потока платежей по облигации.
Более точно выявить недооцененную или переоцененную облигацию можно, зная временную структуру безрисковых (рыночных) процентных ставок.
Поэтому в данном разделе уделено основное внимание понятию безрисковой процентной ставки и определению ее значения для любого срока инвестирования. Результатом выявления недооцененной или переоцененной облигации является арбитражная сделка, доход от которой можно рассчитать, используя критерий одной стоимости. В заключение рассматриваются способы использования этого критерия при различных условиях инвестирования.
2.1. Безрисковые процентные ставки
Будем называть облигацию чисто дисконтной, если по ней должен производиться только один платеж в момент ее погашения.
Рассмотрим чисто дисконтную облигацию без дефолт-риска, по которой через t лет должна выплачиваться сумма
a
t
, а текущая рыночная стоимость этой облигации равна
b
t
Годовая внутренняя доходность данной облигации
 
t
,
m
r
при начислении процентов m раз в год определяется из равенства
 
t
m
t
t
m
t,
m
r
a
b




 

1
. Тогда
 




















1 1
t
m
t
t
b
a
m
t,
m
r
(2.1.1)
Аналогично, годовая внутренняя доходность
 
t
r

рассматриваемой облигации при непрерывном начислении процентов удовлетворяет равенству
 
t
t
r
t
t
e
a
b



и, следовательно,
 







t
t
b
a
ln
t
t
r
1
(2.1.2)
При этом выполняется равенство

38
 
 



 

m
t
,
m
r
ln
m
t
r
1
(2.1.3)
Определение. Годовая внутренняя доходность чисто дисконтной облигации без дефолт-риска погашаемой через t лет называется годовой
безрисковой процентной ставкой для инвестиции на t лет.
Заметим, что можно говорить о безрисковых процентных ставках для инвестиций на t лет как при непрерывном начислении процентов, так и при начислении процентов m раз в год, так как зная одну из них, всегда можно найти и другую.
Пример 2.1.1. Чисто дисконтная облигация, по которой через пять лет должны выплатить100 долл., продается по цене 85 долл. Определим годовую безрисковую процентную ставку для инвестиции на пять лет при начислении процента два раза в год и непрерывно.
▲ Из (2.1.1) при m = 2 получим
 
032769 0
1 85 100 2
5
;
2 10 1
,
r


















, т. е. искомая годовая безрисковая процентная ставка при начислении процентов два раза в год равна 3,28%. Из (2.1.2) следует, что
 

ln
,
r 5 1
5 100 85 0 032504
 

или 3,25%. При этом
 
 
032503 0
2 5
;
2 1
2 5
,
r
ln
r




 


. ■
Рассмотрим теперь облигацию В, по которой через
n
t,
,
t
,
t

2 1
лет должны выплачиваться денежные суммы
n
t
t
t
C
,
,
C
,
C

2 1
соответственно.
Текущую рыночную стоимость этой облигации обозначим через P .
Предположим, что выполняются следующие условия.
1. Известны годовые безрисковые процентные ставки для инвестиций на
n
t,
,
t
,
t

2 1
лет.
2. На рынке можно приобрести в любых количествах и без трансакционных расходов чисто дисконтные облигации
n
B
B
B
,
,
,
2 1

, погашаемые через
n
t,
,
t,
t

2 1
лет соответственно.
Тогда имеют место следующие два равенства:








 

n
i
t
m
i
t
i
i
m
t
,
m
r
C
P
1 1
,
(2.1.4)

39 где


i
t
,
m
r
- годовая безрисковая процентная ставка для инвестиций на
t
i
лет при начислении процентов m раз в год,
n
,
,
,
i

2 1

, и
 
i
i
i
t
t
r
n
i
t
e
C
P





1
,
(2.1.5) где
 
i
t
r
– годовая безрисковая процентная ставка для инвестиций на
t
i
лет при непрерывном начислении процентов,
n
,
,
,
i

2 1

Докажем, например, что выполняется равенство (2.1.4).
▲ Из чисто дисконтных облигаций
n
B
B
B
,
,
,
2 1

сформируем портфель П, который содержит облигации вида В
1
в количестве
1 1
t
t
a
C
шт.; вида В
2
в количестве
2 2
t
t
a
C
шт.; … ; вида В
n в количестве
n
n
t
t
a
C
шт., где
a
t
i
– платеж при погашении облигации
n
i
B
i
,
,
2
,
1
,


Поток платежей от портфеля П в точности совпадает с потоком платежей от облигации В. Так как и портфель П и облигация В не содержат дефолт-риска, то их текущие рыночные стоимости должны совпадать, т. е.
,
1












n
i
i
t
i
t
i
t
b
a
C
P
где
b
t
i

текущая рыночная стоимость облигации
i
B
. При этом по определению годовой безрисковой ставки имеет место равенство
 
b
a
r m t
m
t
t
i
m t
i
i
i









1
,
. Следовательно,
 






 

n
i
t
m
i
t
i
i
m
t,
m
r
C
P
1 1
Равенство (2.1.5) доказывается аналогичным образом. ■
Пример 2.1.2. Определим текущую рыночную стоимость облигации, по которой через 1, 1,5, 2 и 3 года должны выплачиваться суммы: 10 долл., 10 долл., 10 долл. и 110 долл., если известны годовые безрисковые процентные ставки
 
%
r
5 1

,
 
%
,
r
6 5
1

,
 
%
,
r
5 6
2

,
 
%
r
7 3

при непрерывном начислении процентов.
▲ Текущую рыночную стоимость облигации можно найти с помощью равенства (2.1.5), которое в нашем случае примет вид
3 07 0
2 065 0
5 1
06 0
1 05 0
110 10 10 10
















,
,
,
,
,
e
e
e
e
P
Дальнейшие расчеты сведены в таблицу

40
t
i
, лет
 
r t
i
 
r t t
i
i

 
e
r t t
i i



C
t
i
, долл.
 
C e
t
r t t
i
i i



1 0,05 0,05 0,951229 10 9,51229 1,5 0,06 0,09 0,913931 10 9,13931 2
0,065 0,13 0,878095 10 8,78095 3
0,07 0,21 0,810584 110 89,16427

116,59682
Таким образом, текущая рыночная стоимость данной облигации составляет 116,60 долл.■
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
2.1.1. Дайте определение чисто дисконтной облигации.
2.1.2. Сформулируйте определение годовой безрисковой процентной ставки для инвестирования на t лет.
2.1.3. Выпишете формулу для определения стоимости облигации с помощью годовых безрисковых процентных ставок.
2.1.4. Напишите зависимость между годовыми безрисковыми ставками при начислении процента m раз в год и при непрерывном начислении процента для инвестирования на t лет.
ЗАДАЧИ
2.1.1. Даныпотоки платежей по трем чисто дисконтным государственным облигациям В
1
, В
2
, В
3
:
Облигация
Платежи через период времени, долл.
0 лет
2 года
2,5 года
3 года
В
1

90
+100


В
2

85

+100

В
3

80


+100
Определите годовые безрисковые процентные ставки при начислении процентов один раз в год для инвестиций на 2, 2,5 и 3 года.
2.1.2. Даныпотоки платежей по четырем чисто дисконтным государственным облигациям В
1
, В
2
, В
3
и В
4
:
Облигации
Платежи через период времени, долл.
0 лет
1,5 года
2,5 года
3,5 года
4,5 года
В
1

90
+100



В
2

85

+100



41
В
3

80


+120

В
4

76



+120
Определите годовые безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении процентов для инвестиций на 1,5, 2,5, 3,5 и 4,5 года.
2.1.3. Известны годовые безрисковые процентные ставки при начислении процентов один раз в год


r 1 0 5 0 06
; ,
,

;
 
r 1 10 0 07
; ,
,

;
 
r 1 15 0 075
; ,
,

;


r 1 2 0 0 08
; ,
,

. Определите текущую рыночную стоимость облигации с потоком платежей:
Срок, годы
0,5 1,0 1,5 2,0
Платеж, долл.
10 10 10 110
2.1.4. Известны годовые безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении процентов
 
,
,
r 0 25 0 06

;
 
,
,
r 0 5 0 068

;
 
,
,
r 0 75 0 075

;
 
,
,
r 10 0 083

Определите стоимость облигации с потоком платежей:
Срок, годы
0,25 0,5 0,75 1,0
Платеж, долл.
5 5
5 105 а также годовую внутреннюю доходность этой облигации при непрерывном начислении процентов.