яаловлповлпол. В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом. Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова

• Название: Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
• Анкор: яаловлповлпол
• Дата: 12.06.2022
• Размер: 1.56 Mb.
• Имя файла: В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом.pdf
• Тип: Учебное пособие; #587248
• страница: 7 из 15

2.2.2. Определить кривую рыночной доходности и найти годовые безрисковые процентные ставки
     
2 3
;
8 2
;
5 1
,
r
,
r
,
r
, если дана временная структура годовых процентных ставок при непрерывном начислении процентов
 
 
 
 
06 0
4
;
07 0
3
;
06 0
2
;
05 0
1
,
r
,
r
,
r
,
r




2.2.3. Определить кривую рыночной доходности и найти годовые безрисковые процентные ставки

    
75 1
;
2 1
;
25 0
,
r
,
r
,
r
, если дана временная структура годовых процентных ставок при непрерывном начислении процентов
 
 
 
 
06 0
0 2
;
05 0
5 1
;
05 0
0 1
;
04 0
5 0
,
,
r
,
,
r
,
,
r
,
,
r




2.2.4. Дана временная структура годовых процентных ставок при непрерывном начислении процентов
 
 
 
06 0
0 2
;
055 0
0 1
;
05 0
5 0
,
,
r
,
,
r
,
,
r



Найти стоимость облигации с потоком платежей:
Срок, годы
0,5 1,0 1,5 2,0
Платеж, долл.
10 10 10 1000
2.2.5. Определите временную структуру процентных ставок, если известны годовые безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении процентов
 
 
 
08 0
5 1
;
065 0
0 1
;
06 0
5 0
,
,
r
,
,
r
,
,
r



, и на рынке имеется облигация с потоком платежей:
Срок, годы
0 0, 5 1,0 1, 5 2,0 2,5 3,0
Платеж, долл.

105,09
+6
+6
+6
+6
+6
+106

48
2.2.6. Определите временную структуру процентных ставок, если даны годовые безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении процентов , а на рынке имеются облигации В
1
, В
2
с потоками платежей:
Срок, годы
0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5
Платеж, долл.
Облигация В
1

97,49
+2
+2
+2
+2
+2
+100
Срок, годы
0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 1,75 2,0
Платеж, долл.
Облигация В
2

107,1 +3
+3
+5
+3
+3
+3
+3 105
2.3. Арбитражная оценка потоков платежей по облигациям
Целью арбитражной оценки является выявление недооцененных или переоцененных потоков платежей по облигации, т. е. выявление облигаций с заниженными или завышенными рыночными ценами, а также расчет возможного дохода от арбитражной сделки (арбитража).
Арбитражная сделка ─это есть одновременная покупка и продажа на различных финансовых рынках ценных бумаг с идентичными потоками платежей для получения дохода от их стоимостной разницы.
Например, из двух потоков платежей по облигациям
B
1
и
B
2
:
Параметры облигаций
P
i
(0),,
долл.
C
i
(1),
долл.
C
i
(2),
долл.
C
i
(3),
долл.
r
i ,
℅
B
1

96
+7
+7
+107 8,65
B
2

97
+7
+7
+107 8,15 инвестор приобретет по цене 96 долл. поток платежей по облигации
B
1
если он проводит
селекцию облигаций.
Если же инвестор занимается
переформированием портфеля облигаций, то он продаст облигацию
B
2
по цене 97 долл. и купит облигацию
B
1
по цене 96 долл.
Точно также поступит инвестор, если для сравнительной оценки этих идентичных потоков платежей воспользуется критерием «внутренней доходности», так как большей внутренней доходности r
1
= 0,0865 > 0,0815 = r
2 соответствует облигация с меньшей стоимостью.
Однако показатель внутренняя доходность облигации является взвешенной средней процентных ставок для инвестирования на различные

49 сроки за период владения облигацией и приводит к потере информации о временной структуре процентных ставок при оценке потоков с различной продолжительностью. Это влечет принятие неправильных решений. То же самое может происходить при оценке потоков с различными величинами и периодичностью платежей, а также при отсутствии учета условий реинвестирования платежей и субъективного характера отношения инвесторов к риску невозвращения кредитов и т. д.
Тем не менее, существуют другие критерии, позволяющие достаточно просто и точно выявлять арбитражные ситуации. К таким критериям можно отнести критерий «безрисковых ставок», использующий данные об их временной структуре, т. е. данные о кривой рыночной доходности.
При этом из облигаций со сроком погашения через t
n лет и с платежами через
1
t
,
2
t
, …,
n
t
лет от текущего момента по критерию безрисковой ставки отдается предпочтение облигации с доходностью, равной
)
(
n
t
r

=max{r i
(t n
)} по всем i = 1, 2,…, m n
Однако после выявления арбитражной ситуации необходимо оценить возможный результат арбитражной сделки. Для этого применяют критерий
«одной стоимости». Согласно этому критерию стоимости идентичных потоков платежей должны быть одинаковы, в противном случае появляется арбитражный доход. Необходимо отметить, что критерий «одной стоимости» применим, когда существует возможность воспроизведения каждого платежа оцениваемого потока набором платежей от других облигаций, имеющих хождение на рынке. При этом подобранный набор облигаций называют
арбитражным портфелем, а саму оценку называют арбитражной.
Пусть на рынке имеются облигация
i
B
(i = 0, 1, 2, …, n) с номинальной стоимостью
i
A
и текущей рыночной ценой
i
P
, по которой до погашения осталось k (k = 0, 1, 2,…, n) платежей
)
(
k
i
t
C
через
k
t
лет от текущего момента
(табл. 2.3.1).
Таблица 2.3.1
Параметры облигаций
0
B
1
B
2
B
3
B
…
B
n-1
В
n
i
A
0
A
1
A
2
A
3
A
…
1

n
A
n
A
i
P
0
P
1
P
2
P
3
P
…
1

n
P
n
P
)
(
1
t
C
i
)
(
1 0
t
C
)
(
1 1
t
C
)
(
1 2
t
C
)
(
1 3
t
C
…
)
(
1 1
t
C
n

)
(
1
t
C
n
)
(
2
t
C
i
)
(
2 0
t
C
)
(
2 1
t
C
)
(
2 2
t
C
)
(
2 3
t
C
…
)
(
2 1
t
C
n

0
)
(
3
t
C
i
)
(
3 0
t
C
)
(
3 1
t
C
)
(
3 2
t
C
)
(
3 3
t
C
…
0 0
…
…
…
…
…
…
…
…
)
(
1

n
i
t
C
)
(
1 0

n
t
C
)
(
1 1

n
t
C
)
(
1 2

n
t
C
0
…
0 0
C
i
(t
n
)
)
(
n
t
C
0
)
(
n
t
C
1 0
0
…
0 0

50
Проведение арбитражной оценки по критерию «одной стоимости» заключается в формировании такого арбитражного портфеля из набора облигаций
1
B
,
2
B
, …,
n
B
, поток платежей по которому будет совпадать с оцениваемым потоком платежей по облигации
0
B
. При этом разность между стоимостью оцениваемой облигации и стоимостью арбитражного портфеля равна арбитражной оценке. Для реализации указанной оценки формируется: матрица платежей по облигациям арбитражного портфеля
C
t
C
t
C
t
C
n
n









0
)
(
)
(
)
(
1 1
1 1
; матрица платежей по оцениваемой облигации
0 0
1 0
C
t
C
t
C
n









)
(
)
(
; матрица долей каждой облигации в структуре арбитражного портфеля
X
x
x
n











1
; матрица рыночных цен облигаций арбитражного портфеля


P
P
,...,
P
,
P
n

2 1
. Затем, решив систему линейных уравнений
0
C
CX

, находим Х ─ количественную структуру арбитражного портфеля.
Положительный знак компоненты x
i
вектора X указывает на то, что облигация В
i покупается (или дается кредит под ставку, соответствующую данной облигации). Отрицательный знак компоненты x
i
вектора X указывает на то, что облигация В
i продается (или берется кредит под ставку, соответствующую данной облигации).
Затем определяется стоимость арбитражного портфеля
PX
P
A

и величина арбитражной оценки
A
P
P

0
Аналогично оценивается поток платежей по облигации
0
B
, в которую инвестирована любая сумма
*
P
0
, а также поток платежей с учетом налогов и комиссионных расходов. В первом случае все платежи по облигации
0
B
пересчитываются к инвестиционной сумме
*
P
0
, используя соотношения
)
(
)
(
)
(
0 0
0 0
k
k
t
C
P
P
t
C



, i = 1, 2, …, n.
Во втором случае платежи по всем облигациям изменяются на величину налога на купонные выплаты и налога на прирост капитала.
Пример 2.3.1. Даны платежи по облигациям
1
B
,
2
B
,
3
B
и
4
B
, с номинальной стоимостью 100 долл. каждая, и их внутренние доходности:

51
Параметры облигаций
B
1
B
2 3
B
4
B
P
i
(0) [долл.]

109,60

104,50

96,40

100,00
C
i
(1) [долл.]
+12,00
+10,00
+8,00
+112,00
C
i
(2) [долл.]
+12,00
+10,00 +108,00
C
i
(3) [долл.]
+112,00 +110,00 r
i %
8,2576 8,2461 10,08 12,00
Какую из облигаций В
1
или В
2
, до погашения которых осталось три платежа, следует рекомендовать инвестору для покупки?
Что должен предпринять инвестор, если в его портфеле есть облигация В
1
?
▲ Очевидно, что по критерию «внутренняя доходность» (последняя строка таблицы данных) можно рекомендовать для покупки облигации В
1
Проверим наши рекомендации с помощью критерия «безрисковая ставка». Для этого составим уравнение финансовой эквивалентности для соответствующих облигаций и найдем безрисковые процентные ставки, а именно:
В
4
: 100 = 112


1 1
1 1


)
(
r

)
1
(
4
r
= 12% = r
*
(1),
В
3
: 96,4 = 8(1 + 0,12)
1

+108


2 2
2 1


)
(
r

)
2
(
3
r
= 10% = r
*
(2),
В
1
: 109,6=12(1+0,12)
1

+12(1+0,1)
2

+112


3 3
3 1


)
(
r

)
3
(
2
r
=7,98%,
В
2
: 104,5=10(1+0,12)
1

+10(1+0,1)
2

+110


3 4
3 1


)
(
r

)
3
(
1
r
=8,01% = r
3
*
(3).
Таким образом, по критерию безрисковая ставка предпочтительнее оказалась облигация В
2
, имеющая меньшую внутреннюю доходность, и приобретение облигации В
1
было бы худшим решением. Чтобы показать это с помощью критерия одной стоимости, выпишем соответствующие матрицы:
0 112 12 12
C









;
C









0 0
110 0
108 10 112 8
10
;
X
x
x
x











4 3
2
; Р= (104,50; 96,40; 100) и, решив систему линейных уравнений:











,
112 110
,
12 108 10
,
12 112 8
10 2
3 2
4 3
2
x
x
x
x
x
x
найдем структуру арбитражного портфеля
T
X
=(1,0182; 0,0168; 0,0150) и его стоимость
A
P
= РХ
= 109,52. Следовательно, проведенная арбитражная оценка в пользу арбитражного портфеля, так как он дешевле облигации
1
B
на 0,08 долл.
(=109,60–109,52) и для покупки необходимо рекомендовать облигацию
2
B
В случае, когда до арбитражной оценки в портфеле инвестора была

52 облигация
1
B
, необходимо после арбитражной оценки:
─ продать облигацию
1
B
за 109,60 долл. (или взять ту же сумму на три года в кредит под 12% годовых);
─ купить облигации на сумму 109,52 долл. в следующей структуре:

облигацию
2
B
на 106,40 долл. (или дать ту же сумму в кредит на три года под 10% годовых),

облигацию
3
B
на 1,6195 долл. (или дать ту же сумму в кредит на два года под 8% годовых ),

облигацию
4
B
на 1,5 долл., (или дать ту же сумму в кредит на год под
12% годовых );
─ разницу 0,08 долл. использовать по своему усмотрению, так как при этом все платежи по облигации
1
B
будут компенсированы платежами по облигациям арбитражного портфеля. ■
Теперь можно сформулировать стратегию арбитражной оценки потока платежей:
1) если потоки платежей идентичны и нет ограничений на условия их реинвестирования, на нейтральность инвестора к риску и на постоянство кривой рыночной доходности, тогда бывает достаточно воспользоваться критерием «внутренняя доходность». Большей внутренней доходности соответствуют более дешевые потоки платежей по облигации;
2) при наличии перечисленных ограничений следует использовать критерий безрисковая ставка. Тогда при разных безрисковых ставках для облигаций с одинаковым количеством выплат до погашения возможен арбитраж. При этом следует покупать облигацию с более высокой безрисковой процентной ставкой;
3) для выявления арбитражного результата необходимо провести оценку облигации по критерию «одной стоимости» при условии, что на рынке имеются облигации с полным набором более коротких потоков платежей;
4) после принятия решения на реструктуризацию потока платежей, т. е. замену одного потока платежей равносильной суммой потоков от арбитражного портфеля облигаций, необходимо принять решение на продажу (или взять кредит), а также покупку (или предоставить кредит) более коротких потоков платежей.
Отметим, что арбитражный процесс будет протекать до тех пор, пока не прекратится выполнение предпосылок для арбитража, либо доходы от арбитражных сделок перестанут компенсировать затраты на них.
Пример 2.3.2. Даны платежи по четырем купонным облигациям, номинальной стоимостью по 100 долл. каждая, и их внутренние доходности:

53
Параметры облигаций
B
1
B
2 3
B
4
B
P
i
(0) [долл.]

104,00

98,00

101,00

100,00
C
i
(1) [долл.]
+11,00
+7,00
+109,00 +107,50
C
i
(2) [долл.]
+111,00 +107,00
-
- r
i %
8,25 8,15 7,92 7,50
Купоны по облигациям облагаются 30 %-ным налогом, а прирост капитала налогом не облагается.
1. Какую из облигаций
B
1
или
B
2
с двумя купонными платежами до погашения рекомендовать инвестору?
2. В портфеле инвестора имеются облигации
1
B
, номинальной стоимостью
100 000 долл. Какие рекомендации по перераспределению облигаций в портфеле можно дать инвестору, если комиссионные расходы на покупку и продажу облигаций составляют: а) 0,8% и б) 0,2% от инвестиционного объема, а минимальная номинальная стоимость облигаций равна 100 долл.?
▲ После уплаты налогов с купонов потоки платежей по облигациям и их внутренние доходности станут равными:
Параметры облигаций
B
1
B
2 3
B
4
B
P
i
(0) [долл.]

104,00

98,00

101,00

100,00
C
i
(1) [долл.]
+7,70
+4,90
+106,30 +105,25
C
i
(2) [долл.]
+107,70 +104,90
-
- r
i
‘
%
5,54 5,99 5,248 5,25
Внутренняя доходность облигации
2
B
(последняя строка таблицы) стала больше, чем у облигации
1
B
(сравните внутренние доходности до и после уплаты налогов). Вычислим безрисковые процентные ставки для этих облигаций:
В
1
: 104 = 7,7 (1 + 0,0525)
1

+ 107,7 (1 +
2 4
2

))
(
r

)
2
(
1
r
= 5,54%.
В
2
: 98 = 4,9(1 + 0,0525)
1

+ 104,9(1 +
2 3
2

))
(
r

)
2
(
2
r
= 6,01% = r*(2),
Очевидно, если инвестор занимается селекцией облигаций, то ему следует рекомендовать облигацию
2
B
. Если же инвестор переформировывает портфель ценных бумаг, в котором есть облигации
1
B
, то ему необходимо рекомендовать продать эту облигацию. При этом возможный арбитражный

54 результат оценим определяется с помощью критерия «одной стоимости». Из решения системы линейных уравнений






,
7
,
107 9
,
104
,
7
,
7 25
,
105 9
,
4 2
4 2
x
x
x
находим структуру арбитражного портфеля
)
;
(
4 2
x
x
X
T

= (1,02669; 0,02536) и его стоимость
A
P
= РХ = 103,1516, где Р = (98; 100).
Таким образом, арбитражный портфель из облигаций
2
B
и
4
B
дешевле на
0,8484 долл. (=104

103,1516), чем облигация
1
B
Если номинальная стоимость исходного портфеля инвестора, состоящего только из облигации
1
B
, равна 100 000 д. е., то матрица потока платежей по такому портфелю имеет вид
T
C
0
= (7700; 107700) и решение системы






,
700 107 9
,
104
,
700 7
25
,
105 9
,
4 2
4 2
x
x
x
дает структуру арбитражного портфеля вида
)
;
(
4 2
x
x
X
T

= (1026,699; 25,3607). Откуда затраты на покупку облигаций
2
B
и
4
B
будут соответственно равны 100616 (=98•1026,699)долл. и 2536,00(=100•
25,3607), а с учетом ограничений на минимальную номинальную стоимость облигаций (
min
A
= 100 долл.) 100600 и 2600 долл. соответственно. Тогда структура арбитражного портфеля будет
)
;
(
4 2
x
x
X
T

= (1026; 25), его стоимость
A
P
= 103200 долл. ─ ниже стоимости исходного портфеля Р = 104000 долл. на
800 долл.
Общий инвестиционный оборот при замене исходного портфеля арбитражным портфелем составит 207200 долл. (т. е. 104000+103200). При этом комиссионные расходы составят 1657,60 и 414,40 долл. соответственно для случаев, когда ставка комиссионных равна 0,8 и 0,2%. Таким образом, только при ставке комиссионных в 0,2% расходы при замене исходного портфеля на арбитражный портфель будут меньше арбитражного результата и арбитражная сделка может иметь смысл. ■