яаловлповлпол. В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом. Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова

• Название: Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
• Анкор: яаловлповлпол
• Дата: 12.06.2022
• Размер: 1.56 Mb.
• Имя файла: В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом.pdf
• Тип: Учебное пособие; #587248
• страница: 4 из 15

1.2.5. По купонной облигации номиналом 1000 долл. и сроком до погашения
9,25 лет обещают производить каждые полгода купонные платежи. Годовая внутренняя доходность облигации равна 9%. Сравните относительные изменения стоимости облигации при изменении ее внутренней доходности на величину

r

2%
для купонных ставок 8 и 9%.
1.2.6. По 8%-ной купонной облигации номиналом 1000 долл. и сроком до погашения 20 лет обещают производить ежегодно купонные платежи.
Определите размер премии (дисконта), если годовая внутренняя доходность облигации равна 9, 7 и 8%.
1.2.7. По 5% купонной облигации номиналом 2000 долл. и сроком до погашения 10 лет обещают производить ежеквартально купонные выплаты.
Определите размер премии (дисконта), если годовая внутренняя доходность облигации равна 7, 5 и 4%.
1.2.8. По 10%-ной купонной облигации номиналом 1000 долл. обещают производить ежегодные купонные выплаты в течение 5 лет. Годовая внутренняя доходность этой облигации равна 12% и не изменяется в течение времени. Найдите: а) размер дисконта после каждой купонной выплаты, т. е. D
5
,
D
4
, D
3
, D
2
, D
1
, D
0
; б) величины изменения дисконта в каждом из перечисленных случаев. Сделайте рисунок.
1.2.9. По 10%-ной купонной облигации номиналом 1000 долл. обещают производить ежегодные купонные выплаты в течение 10 лет. Годовая внутренняя доходность этой облигации равна 8% и остается постоянной до момента погашения облигации. Найдите: а) размер премии после каждой купонной выплаты, т.е. П
10
, П
9
, ... , П
1
, П
0
; б) величины изменения премии в каждом из перечисленных случаев. Сделайте рисунок.
1.2.10. Две 10%-ные купонные облигации А и В, каждая номиналом 1000 долл. и годовой внутренней доходностью 8%, имеют сроки до погашения 10 и 20 лет соответственно. Определить размер премии для каждой облигации в момент инвестирования и через год после этого, а также сравните изменения премий для этих облигаций, если купонные платежи производятся ежегодно.
1.2.11. Две 10%-ные купонные облигации А и В, каждая номиналом 1000 долл. и годовой внутренней доходностью 12%, имеют сроки до погашения 15 и 20 лет соответственно. Определить размер дисконта для каждой облигации в момент покупки и через год после этого, а также сравните изменения дисконтов для этих облигаций.

28
1.2.12. По 10%-ной купонной облигации номиналом 1000 долл. обещают в конце каждого квартала производить купонные выплаты в течение 5,2 лет. Годовая внутренняя доходность облигации равна 8% и не изменяется до погашения облигации. Найдите котируемую цену данной облигации и величину добавки, которую должен оплатить покупатель.
1.3. Инфляция, налоги и доходность облигации
Определение. Набор товаров и услуг, необходимых для нормальной жизни человека, называется потребительской корзиной.
Состав потребительской корзины устанавливается законодательно и периодически пересматривается. Пусть на отрезке времени
 
0, T состав потребительской корзины фиксирован. Однако экономика такова, что стоимость
 
K t этой потребительской корзины в моменты времени
 
t
T

0,
не является постоянной.
Определение. Индексом потребительских цен
 
I t в момент времени
 
t
T

0,
называется отношение стоимости потребительской корзины
 
K t в этот момент времени к стоимости этой же корзины
0
K в нулевой момент времени, т. е.
 
 
I t
K t
K

0
.
Покупательная способность денежной единицы в момент времени t
определяется долей потребительской корзины, приходящейся на эту денежную единицу, т.е.
 
1
K t
. Если в момент времени t h

эта доля составит


1
K t
h

, то относительное изменение покупательной способности денежной единицы за время от
t
до t
h

определяется соотношением


 
 


 


 


1 1
0 0
K t
h
K t
K t
K t
h
K t
K
K t
h
K
I t
I t
h







Откуда следует, что при
  

I t
I t
h


покупательная способность денежной единицы за время от
t
до
t
h

снижается , т. е. имеет место

29 инфляционный процесс, а при
  

I t
I t
h


покупательная способность денежной единицы увеличивается, т. е. имеет место дефляционный процесс.
Определение. Средним годовым темпом прироста инфляции за время от
t
до t
h

называется число



t t
h
,

, удовлетворяющее равенству






 
1





t t
h
I t
h
I t
h
,
Пример 1.3.1. За 2 года индекс потребительских цен увеличился на 15%.
Определим среднегодовой темп прироста инфляции за эти два года.
▲ Так как по условию
   
 
I
I
I
2 0
0 015


,
, то
 
 
I
I
2 0
115

,
и
 


1 2
115 2



,
Следовательно, среднегодовой темп прироста инфляции за два года оставит
 

2 0 0724

,
или 7,24% в год. ■
Отметим основные соотношения для среднегодовых темпов прироста инфляции:
1.




 

t t
h
I t
h
I t
h
,










1 1
▲ Это равенство следует из определения среднегодового темпа прироста инфляции. ■
2.












h
t,
h
t
h
t,
t
kh
t,
t
2 1
1


















1 1
1 1






k
kh
t
,
h
k
t

▲ Это равенство следует из соотношения


 


 










h
k
t
I
kh
t
I
h
t
I
h
t
I
t
I
h
t
I
t
I
kh
t
I
1 2










и предыдущего соотношения, записанного в виде




 




lh
t
I
kh
t
I
kh
t,
lh
t
h
l
k









1
. ■
Следствие 1.3.1. Если

 



















kh
t,
h
k
t
h
t,
h
t
h
t,
t
1 2

, то




t t
kh
,


Следствие 1.3. 2. Приближенное равенство

30

 
 





k
kh
t
,
h
k
t
h
t
,
h
t
h
t
,
t
kh
t
,
t















1 2

дает завышенное значение среднегодового темпа прироста инфляции.
▲ Так как среднее геометрическое нескольких положительных чисел всегда меньше или равно их среднеарифметического, то












h
t
,
h
t
h
t
,
t
kh
t
,
t
2 1
1

























1 1
1 1
k
kh
t
,
h
k
t










 





.
k
kh
t
,
h
k
t
h
t
,
h
t
h
t
,
t
k
kh
t
,
h
k
t
h
t
,
h
t
h
t
,
t
































1 2
1 1
1 2
1


■
Пример 1.3.2. Даны относительные изменения индекса потребительских цен в США за период 1982–1986 г.г.:
t, годы
1982 1983 1984 1985 1986


t
,
t 1


, %
3,87 3,80 3,95 3,77 1,33
Определим среднегодовой темп прироста инфляции за указанный период.
▲ Так как
 
1 0 1 10387



;
,
,
 
1 2 3 10395



;
,
,
 
1 3 4 10377



;
,
,
 
1 4 5 10133



;
,
, то
  


0 5 10387 10380 10395 10377 10133 1 0 03339 1
5
;





 
,
,
,
,
,
,
или 3,339%.
При этом или 3, 44%. ■
Рассмотрим теперь облигацию, по которой через
n
t
,
,
t
,
t

2 1
лет обещают выплатить суммы денег
n
t
t
t
C
,
,
C
,
C

2 1
соответственно.
Если стоимость этой облигации в текущий момент времени равна Р, то ее
номинальная (без учета инфляции) годовая внутренняя доходность
nom
r
, равная годовой внутренней доходности при начислении процентов один раз в год, находится из уравнения






n
k
t
nom
t
k
k
r
C
P
1 1
(1.3.1)
Однако, в условиях инфляции покупательная способность денежной суммы C
t
k
в момент времени
t
k
уменьшается в I(t
к
)/I(0) раз по сравнению с

31 покупательной способностью этой же суммы в начальный момент времени.
Поэтому реальную годовую внутреннюю доходность данной облигации следует находить из уравнения


 
 
P
C
r
I
I t
t
real
t
k
n
k
k
k





1 0
1
,
(1.3.2) где I(0) – индекс потребительских цен в текущий момент времени;
 
I t
k
– индекс потребительских цен в момент времени
t
k
Если на интервалах времени
  



n
n
t
,
t
,
t
,
t
t
,
1 2
1 1
,
,
0


темп прироста инфляции постоянен и равен

, то
 
  

I
I t
k
t
k
0 1
1

 
Следовательно, уравнение (1.3.2) примет вид

 



P
C
r
t
real
t
k
n
k
k


 


1 1
1

(1.3.3)
Сравнив уравнения (1.3.1) и (1.3.3), получим, что

 

1 1
1

 
 
r
r
nom
real

(1.3.4)
Уравнение (1.3.4), связывающее номинальную и реальную годовые внутренние доходности облигации, носит название уравнения Фишера.
Из уравнения Фишера следует, что
r
r
r
nom
real
real

 



и
r
r
real
nom

 
Пример 1.3.3. Дана купонная облигация со следующими показателями:
A

100 долл., f
m
T



6 1
3
% ,
,
года.
Определим реальную годовую внутреннюю доходность облигации, если ее стоимость равна 96,20 долл., а ожидаемый средний годовой темп прироста инфляции составляет 4%.
▲ Номинальная годовая внутренняя доходность облигации находится из уравнения

 

96 20 6
1 6
1 106 1
2 3
,






r
r
r
Следовательно, r
nom

0 0746
,
или 7,46%.

32
Значение реальной годовой внутренней доходности облигации можно вычислить из уравнения
Фишера либо приближенно
r
r
real
nom

 



0 0746 0 04 0 0346
,
,
,
, т.е.
3,46%, либо точно
r
r
real
nom








1 0 0746 0 04 104 0 03327
,
,
,
,
, т. е. 3,327%. ■
Годовая внутренняя доходность облигации не отражает истинные возможности инвестиции в нее, если при расчете не учтены налоги, взимаемые с доходов от этой облигации.
Рассмотрим облигацию, по которой через
n
n
t
,
t
,
,
t
,
t
1 2
1


лет должны выплачиваться соответственно денежные суммы
A
C
,
C
,
,
C
,
C
n
n
t
t
t
t


1 2
1

Доход от облигации образуется за счет процентных платежей
n
t
t
t
C
,
,
C
,
C

2 1
и за счет прироста капитала А

Р, если номинальная стоимость облигации А больше ее текущей стоимости Р.
Следует учитывать, что в общем случае ставки налогов на доходы от ценных бумаг могут быть различными в зависимости от следующих факторов:
1) вида ценных бумаг (например, доходы от муниципальных и государственных облигаций в ряде стран облагаются налогами по льготным ставкам);
2) источника дохода (процентные доходы и прирост капитала могут облагаться налогом по разным ставкам);
3) категории инвестора (например, пенсионные фонды могут иметь значительные налоговые льготы);
4) величины совокупного дохода инвестора.
Предположим, что

– ставка налога на прирост капитала для данного инвестора. Тогда, после уплаты налога на прирост капитала при погашении облигации, от номинальной стоимости облигации инвестор получит сумму, равную


A
A
P



Если при этом ставка налогов на процентные доходы равна

, то годовая внутренняя доходность
r

облигации с учетом налогов при начислении процентов один раз в год определяется уравнением








n
k
k
t
n
k
t
t
r
P
A
A
r
C
P














1 1
1 1
(1.3.5)

33
Пример 1.3.4. Рассмотрим купонную облигацию со следующими данными: A

1000 долл., f
m
T



8 1
4
%,
,
года, текущая стоимость которой равна 974,93 долл. Определим годовую внутреннюю доходность этой облигации, если: а) налоги не берутся; б) налоги берутся от процентного дохода по ставке 20%, а от прироста капитала – по ставке 28%.
▲ а) Годовую внутреннюю доходность облигации без учета налогов находим из уравнения

 
 
 

974 93 80 1
80 1
80 1
1080 1
2 3
4
,








r
r
r
r
Решив это уравнение, получим r

0 0877
,
или 8,77%. б) Для того, чтобы найти годовую внутреннюю доходность облигации с учетом налогов следует решить уравнение

 
 
 





4 4
3 2
1 28 0
93 974 1000 1000 1
8 0
80 1
8 0
80 1
8 0
80 1
8 0
80 93 974
r
,
,
r
,
r
,
r
,
r
,
,






















Откуда


r
0,0698 или 6,98%. ■
Годовая внутренняя доходность купонной облигации с учетом налогов может быть найдена приближенно с помощью купеческой формулы, а именно:






2 1
P
P
A
A
f
A
n
P
P
A
A
r

















Так как
A
P
n
A
P
r
A f
A
P
A



  


2 2
,
, то
A
P
n
A r
A f

   
Тогда







































2 2
1 1
2 2
1
P
A
P
A
f
A
n
P
A
P
A
P
A
f
A
n
P
A
n
P
A
r

 










 




  
 
   
  
  
  

   
  
A r
A f
A f
A
r
f
f
r
f
f
1 1
1 1
1 1
1







.

34
Таким образом, годовую внутреннюю доходность купонной облигации с учетом налогов можно найти приближенно из равенства

 













1 1
f
f
r
r
(1.3.6)