яаловлповлпол. В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом. Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
 Скачать 1.56 Mb.
|
|
3.1.3. Определите дюрацию (Маколея) облигации. 3.1.4. Определите выпуклость (Маколея) облигации. 3.1.5. Выпишите выражение для определения относительного изменения стоимости облигации через дюрацию и выпуклость облигации. 3.1.6. Как дюрация и выпуклость облигации характеризуют процентный риск . ЗАДАЧИ 3.1.1. Определите дюрацию и выпуклость облигации (при начислении процентов два раза в год), если ее годовая внутренняя доходность равна 4%, а поток платежей имеет вид: Срок, годы 0,5 1,0 1,2 1,4 2,0 Платеж, долл. 5 6 6 6 106 3.1.2. Определите дюрацию D 4 и выпуклость C 4 облигации, если ее годовая внутренняя доходность при начислении процентов четыре раза в год равна 6%, а поток платежей имеет вид: Срок, годы 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 Платеж, долл. 4 10 4 10 110 3.1.3. Определите дюрацию D и выпуклость C облигации, если ее годовая внутренняя доходность при непрерывном начислении процентов равна 5%, а поток платежей имеет вид: Срок, годы 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 Платеж, долл. 10 10 10 10 10 100 3.1.4. Определите дюрацию D 1 и выпуклость C 1 облигации, если поток 63 платежей по облигации имеет вид: Срок, годы 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Платеж, долл. 1000 30 30 30 30 30 1030 3.1.5. Определите дюрацию D и выпуклость C облигации, если поток платежей по облигации имеет вид: Срок, годы 0,0 1,0 2,0 3.0 4,0 5,0 Платеж, долл. 100 5 5 5 5 105 3.1.6. Дана 6%-ная купонная облигация номиналом 1000 долл., по которой купоны оплачиваются два раза в год в течение трех лет. Известно, что облигация продается по номиналу. Определите дюрацию и выпуклость облигации. Найдите относительное изменение стоимости облигации точно и приближенно при изменении годовой внутренней доходности на величину r 0 01 , ; 0 02 , ; 0 01 , . 3.1.7. Все годовые безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 6% (при начислении процентов дважды в год). Текущая рыночная стоимость облигации – 1000 долл., ее дюрация D 2 3 5 , года, а выпуклость C 5 25 43 , (лет 2 ). Оцените стоимость облигации, если все годовые безрисковые процентные ставки изменятся на величину r 0 005 0 010 , , ; 3.2. Основные свойства дюрации и выпуклости облигаций Дана облигация, по которой через l t , , t , t 2 1 лет, где l t t t 2 1 0 , должны выплачиваться денежные суммы в размерах l t t t C , , C , C 2 1 соответственно. Имеют место следующие утверждения: 1.Дюрация любой облигации не превышает срока ее погашения. Дюрация чисто дисконтной облигации равна сроку ее погашения. ▲ По условию l t t t 2 1 0 . Тогда l k t m l l k t m k m r P C V t r P C V t r D k k 1 1 . t r P r P t C V r P t l l l k t m l k 1 Для чисто дисконтной облигации в правой части равенства будет находиться только одно слагаемое. Поэтому 1 t r D m . ■ 64 2. Если облигация не является чисто дисконтной, то чем больше внутрен- няя доходность облигации, тем меньше дюрация и выпуклость облигации (доказательство можно посмотреть в [ 1 ] ). 3. Если все платежи по облигациям отсрочить на одно и тоже число лет - τ, не меняя годовой внутренней доходности облигации, то ее дюрация увеличится на лет, а выпуклость – на m D 2 2 , где D – дюрация исходной облигации (доказательство см. в [1] ). Рассмотрим теперь купонную облигацию, по которой купоны оплачиваются m раз в год. Дюрацию и выпуклость такой облигации принято рассчитывать при условии, что проценты начисляются m раз в год. Пусть А – номинальная стоимость облигации, f – купонная ставка облигации, n – число купонных платежей, оставшихся до погашения облигации. Непосредственно после очередного купонного платежа дюрацию и выпуклость облигации можно вычислить следующим образом n n k k n n k k R m R f m R m n R k f D 2 1 1 , n n k k n n k k R m R m f R n n m R k k f C 3 1 2 1 1 1 , Где R r m 1 1 , R R n R R R k R R R R n n k k n k k n n k k 1 1 ; 1 1 1 1 1 1 ; R R n n R R k R k k n n k k n k k 1 1 1 2 1 1 1 1 Пример 3.2.1. Дана 10 летняя купонная облигация с полугодовыми купонами по ставке 10%. Годовая внутренняя доходность облигации –8%. Найдем дюрацию и выпуклость облигации. ▲ В нашем случае 456387 , 0 ; 2 ; 20 ; 961538 , 0 04 , 0 1 1 ; 08 , 0 = ; 1 , 0 n R m n R r f ; 65 ; 266991 , 789 1 1 ; 133456 , 39 1 1 1 1 1 1 R R n R R R k R R R R n n k k n k k n n k k ; 48081 40617 1 1 1 2 1 1 1 1 , R R n n R R k R k k n n k k n k k Тогда D 01 789 266991 20 2 0 456387 0 2 39133456 4 0 456387 6 286 , , , , , , , лет. C 01 40617 48081 20 21 2 0 456387 0 4 39133456 8 0 456387 230 263 , , , , , , , лет 2 . ■ 4. Если до погашения купонной облигации остается более одного купонного платежа, то чем выше купонная ставка при неизменной годовой внутренней доходности, тем меньше дюрация и выпуклость облигации (доказательство см. в [ 1 ] ). Замечание. При оценке влияния изменения рыночных ставок на стоимость облигаций удобно использовать модифицированную дюрацию r D мод m и модифицированная выпуклость r C мод m облигации, которые определяются соотношениями: 2 1 1 m r r C r C , m r r D r D m мод m m мод m , (3.2.1) где r C , r D m m дюрация и выпуклость (Маколея) этой облигации, когда r годовая внутренняя доходность облигации при начислении процентов m раз в год Из соотношений (3.1.2) и (3.1.4) следует, что r C dr r P d r P , r D dr r dP r P мод m мод m 2 2 1 1 , (3.2.2) где r P – стоимость облигации при годовой внутренней доходности r Если приращение годовой внутренней доходности r достаточно мало по абсолютной величине, то относительное изменение стоимости облигации можно найти из соотношения 66 2 2 1 r r C r r D r P r P мод m мод m (3.2.3) Откуда следует, что при достаточно малом изменении годовой внутренней доходности облигаций с одинаковыми модифицированными дюрациями у облигации с большей модифицированной выпуклостью относительный рост стоимости больше, а относительное снижение стоимости меньше. Это означает, что для инвесторов более привлекательна облигация с большей модифицированной выпуклостью при одной и той же модифицированной дюрации. При достаточно малом положительном изменении r годовой внутренней доходности приближенной оценкой модифицированных дюрации и выпуклости могут быть формулы: r r P r r P r r P r D мод m 2 ; , 2 2 r r P r P r r P r r P r C мод m Пример 3.2.2. Дана облигация с потоком платежей, указанным в таблице, и с годовой внутренней доходностью 8% при начислении процентов дважды в год. Найдем модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость облигации точно и приближенно при 005 , 0 r ▲ Предварительные расчеты приведены в таблице. k t k t C k k k t r t C t C V 2 2 1 2 P t C V k 2 P t C V k t k 2 P t C V , k t k t k 2 5 0 k k t t r r C 2 2 1 k k t t r r C 2 2 1 0,5 100 96,153846 0,163527 0,081764 0,081764 96,385542 95,923261 1,0 120 110,946746 0,188684 0,188684 0,283026 111,482073 110,415265 1,5 140 124,459490 0,211665 0,317498 0,634995 125,361367 123,566244 2,0 300 256,441257 0,436124 0,872248 2,180620 258,921929 253,990223 588,001339 1,000000 1,460194 3,180405 592,150911 583,894993 Откуда 100405 , 3 08 , 0 C ; 460194 , 1 08 , 0 ; 001339 , 588 2 2 D P и 94046 2 2 08 0 1 08 0 08 0 ; 40403 1 2 08 0 1 08 0 08 0 2 2 2 2 2 , , , C , C , , , D , D мод мод Так как 894993 , 583 ; 150911 , 592 r r P r r P , то 67 40406 1 005 0 001339 588 2 894993 583 150911 592 08 0 2 , , , , , , D мод ; 94054 2 005 0 001339 588 001339 588 2 894993 583 150911 592 08 0 2 2 , , , , , , , C мод .■ При временной структуре процентных ставок с начислением процентов m раз в год l l t m r r t m r r t m r r , , , , , , 2 2 1 1 текущая стоимость облигации находится из выражения: l k m t k t k k m r C P 1 1 Пусть r P r P – стоимость облигации при уменьшении (увеличении) всех процентных ставок на одну и ту же достаточно малую величину 0 r , тогда модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость можно оценить приближенно: r P r P r P r D мод m 2 , 2 2 r P P r P r P r C мод m Пример 3.2.3. Дан поток платежей по облигации и дана временная структура процентных ставок при начислении процентов дважды в год: Срок, годы 0,5 1,0 1,5 2,0 Процентная ставка, % 7,0 7,2 8,0 8,5 Платежи, долл. 100 120 140 300 Определим модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость облигации. ▲ Основные расчеты сведены в таблицу k t k t C k r k k t k t r C 2 2 1 001 , 0 r k k t k t r r C 2 2 1 k k t k t r r C 2 2 1 0,5 100 0,070 96,618357 96,665056 96,571704 1,0 120 0,072 111,805131 111,913129 111,697289 1,5 140 0,080 124,459490 124,639172 124,280154 2,0 300 0,085 253,990223 254,478080 253,503536 586,873202 587,695437 586,052683 68 Откуда ; 873202 586, P 052683 , 586 P ; 695437 , 587 r r P Тогда 3996 1 001 0 873202 586 2 052683 586 695437 587 2 , , , , , r D мод ; 9240 2 001 0 873202 586 873202 586 2 052683 586 695437 587 08 0 2 2 , , , , , , , C мод Для того, чтобы найти точные значения модифицированной дюрации и модифицированной выпуклости облигации, необходимо решить уравнение 873202 , 586 2 1 300 2 1 140 2 1 120 2 1 100 4 3 2 r r r r Так как 081368 , 0 r , то 9354 2 081368 0 ; 4027 1 081368 0 2 2 , , C , , D мод мод . ■ |