яаловлповлпол. В. Барбаумов. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом. Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
 Скачать 1.56 Mb.
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 3.2.1. Какова верхняя граница величины дюрации любой облигации? 3.2.2. Как зависит величина дюрации облигации от ее годовой внутренней доходности? 3.2.3. Как зависит величина дюрации облигации от купонной ставки облигации? 3.2.4. Определите модифицируемую дюрацию и модифицируемую выпуклость облигации. 3.2.5. Напишите зависимость относительного изменения стоимости облигации через модифицируемую дюрацию и модифицируемую выпуклость этой облигации. 3.2.6. Выпишите формулы приближенного вычисления модифицируемой дюрации и модифицируемой выпуклости облигации при малом изменении ее годовой внутренней доходности. ЗАДАЧИ 3.2.1. Дана облигация c потоком платежей: Срок, годы 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Платеж, долл. 4 4 5 5 5 100 Определите дюрацию и выпуклость облигации, если годовая внутренняя доходность облигации при непрерывном начислении процентов принимает значения: 6, 8, 10%. 69 3.2.2. Дана 5-летняя купонная облигация, купоны по которой оплачиваются ежегодно. Найти дюрацию и выпуклость облигации, если ее годовая внутренняя доходность равна 8%, а купонная ставка принимает значения: 6, 7, 8, 9 и 10%. 3.2.3. Дана 3-летняя облигация с полугодовыми купонами. Годовая внутренняя доходность облигации равна 6%. Найти дюрацию и выпуклость облигации, если купонная ставка принимает значения: 4, 5, 6 и 7%. 3.2.4. Дана купонная облигация с полугодовыми купонами по ставке 10%. Годовая внутренняя доходность облигации равна 6%. Определите дюрации облигации, когда до ее погашения остается 2 n лет, 10 2 1 , , , n Зависимость дюрации от срока погашения изобразите на рисунке. 3.2.5 Облигация имеет годовую внутреннюю доходность при начислении процентов четыре раза в год, равную 6%, и поток платежей: Срок, годы 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 Платеж, долл. 4 10 4 10 110 Определить модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость облигации. 3.2.6. Для величины 005 , 0 r определить приближенно модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость облигации из задачи 3.2.5. 3.2.7. Определить относительные изменения цены облигации при увеличении внутренней доходности на 20 б. п. и при уменьшении ее на 40 б. п., если модифицированная дюрация и модифицированная выпуклость равны 5 лет и 25 лет 2 соответственно (1 б.п. равен 100%). 3.2.8. Для величины 002 , 0 r определите точно и приближенно модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость 10%-ной облигации с полугодовыми купонами, до погашения которой остается 4 года, если временная структура процентных ставок при начислении процентов имеет вид: Срок, годы 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Процентная ставка, % 6,0 6,5 6,7 6,8 7,0 7,5 8,0 8,5 3.3. Иммунизирующее свойство дюрации В текущий момент времени рассмотрим облигацию, по которой через n t , , t , t 2 1 лет, где n t t t t 2 1 0 0 , должны выплачиваться денежные суммы n t t t C , , C , C 2 1 соответственно. Если инвестор приобрел данную облигацию, то его должен интересовать 70 вопрос, как оценивать эту инвестицию через t лет после покупки облигации. Для этого используем понятие стоимости инвестиции в облигацию. Стоимость инвестиции в заданную облигацию на момент времени t, n , , , k , t t t k k 2 1 1 определяют исходя из следующих двух предположений: 1) все доходы, поступающие от облигации до момента времени t, т. е. 1 2 1 k t t t C , , C , C , реинвестируются соответственно на сроки 1 2 1 k t t , , t t , t t лет под годовые безрисковые процентные ставки, действующие в моменты времени 1 2 1 k t , , t , t ; 2) в момент времени t облигация продается по рыночной цене, существующей на этот момент времени. Таким образом, чтобы найти стоимость инвестиции в облигацию на момент времени n , , , k , t t t , t k k 2 1 1 , необходимо знать на моменты времени t 1 , 1 2 k t , , t годовые безрисковые процентные ставки для инвести- ций на , t t , t t 2 1 1 k t t , лет соответственно, а на момент времени t – годовые безрисковые процентные ставки для инвестиций на t t , , t t , t t n k k 1 лет. Пример 3.3.1. Дан поток платежей по облигации: Срок, годы 1,0 2,0 3,0 4,0 Платеж, долл. 100 100 100 1100 Определим стоимость инвестиции в облигацию через 2,5 года после ее покупки для следующих значений годовых безрисковых процентных ставок (при начислении процентов дважды в год): Момент времени, годы Годовая безрисковая процентная ставка в % для инвестирования на срок 0,5 года 1,5 года 1,0 4 5 2,0 6 7 2,5 6 7 ▲ Реинвестируя все доходы, поступившие до момента времени t = 2,5, получим 689 210 2 06 0 1 100 2 05 0 1 100 3 , , , Рыночная стоимость облигации через 2,5 года после ее покупки будет 71 224 1089 2 07 0 1 1100 2 06 0 1 100 3 , , , Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через 2,5 года после ее покупки будет равна 1299,91 долл. ■ Отметим простейшие утверждения о стоимости инвестиции в облигацию. 1. В момент покупки облигации стоимость инвестиции в облигацию равна рыночной стоимости этой облигации. 2. Пусть в момент покупки облигации годовые безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и равны r (при начислении процентов m раз в году): а) если годовые безрисковые процентные ставки в течение времени не менялись, то стоимость P r t , инвестиции, которую будем называть планируемой, в облигацию на момент времени n t t , t 0 удовлетворяет равенству r P m r t, r P t m 1 , (3.3.1) где P r – стоимость облигации в начальный момент времени; в) если годовые безрисковые процентные ставки в момент времени 1 0 t , изменятся и станут равными r , а в дальнейшем уже меняться не будут, то стоимость P r t , инвестиции, которую будем называть фактической, в облигацию на момент времени n t t , t , удовлетворяет равенству r P m r t , r P t m 1 , (3.3.2) где r P – стоимость облигации в начальный момент времени, если бы годовые безрисковые процентные ставки равнялись r ▲ Если n , , , k , t t t k k 2 1 1 , то 72 , r P m r m r C m r C m r C m r C t, r P m t m t t t m t t t m t t t m t t t n n k k k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . r P m r m r C m r C m r C m r C t, r P m t m t t t m t t t m t t t m t t t n n k k k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ■ 3. Планируемая стоимость P r t , и фактическая стоимость t, r P инвестиции в облигацию являются непрерывными, возрастающими функциями времени t на отрезке n t , 0 (см. 3.3.1 и 3.3.2). 4. Существует и притом единственный момент времени r t t * , когда фактическая стоимость инвестиции в облигацию совпадает с ее планируемой стоимостью. ▲ Пусть r r . Тогда 0 0 , r P r P r P , r P , а так как n n n t t t t t t t n C r C r C t , r P 2 2 1 1 1 1 , n n n t t t t t t t n C r C r C t , r P 2 2 1 1 1 1 , то n n t, r P t, r P Следовательно, существует и притом единственный момент времени r t t * такой, что * * t, r P t, r P (рис. 3.3..1). Если же r r , то 0 0 , r P , r P , а n n t, r P t, r P Значит, и в этом случае существует и притом единственный момент времени r t t * такой, что * * t, r P t, r P (рис. 3.3..2). 73 Рис. 3.3.1 . r r Рис. 3.3.2 . r r Замечание. Момент времени t * , когда фактически стоимость инвестиции совпадает с планируемой стоимостью этой инвестиции можно определить из равенства m r m r ln m r P r P ln t * 1 1 (3.3..3) ▲ Так как t * удовлетворяет равенству r P m r r P m r m t m t * * 1 1 , то t m r m P r t m r m P r * * ln ln ln ln 1 1 и, следовательно, m r m r ln m r P r P ln t * 1 1 . ■ 5. Если r D D m m – дюрация облигации в начальный момент времени, когда годовые безрисковые процентные ставки равны r , то в момент времени 74 t D m фактическая стоимость инвестиции в облигацию при любых годовых безрисковых ставках r не меньше планируемой стоимости этой инвестиции, т.е. m m D , r P D , r P ▲ В момент времени m D t фактическая стоимость m D , r P инвестиции в облигацию является функцией годовой безрисковой ставки r , причем при r r эта функция равна планируемой стоимости инвестиции на момент времени t D m Кроме того, r P m r r d d r d D , r dP m D m m 1 r d r dP m r r P m m r m D m D m D m m m 1 1 1 1 Однако r P r D m r r d r dP m 1 1 , где r D m –дюрация облигации в начальный момент времени, если бы годовые безрисковые процентные ставки равнялись r . Тогда r P r D m r r P m r D r d D , r dP m m D m D m m m m 1 1 1 1 . r D D r D m r m m m m D m 1 1 Таким образом, если r r , то r D D m m и 0 r d D , r dP m Если же r r , то r D D m m и 0 r d D , r dP m Следовательно, функция m D , r P принимает наименьшее значение при r r . Тогда m m D , r P D , r P |