. Рассмотрим уравнение
n
i
t
r
t
i
i
e
C
P
1
. Нетрудно проверить, что оно имеет единственное и положительное решение. С другой стороны данному уравнению удовлетворяет и годовая внутренняя доходность
r
при непрерывном начислении процентов. Следовательно, если выполняется соотношение (1.1.2), то
r
будет годовой внутренней доходностью облигации при непрерывном начислении процентов. ■
4.
Если
r m – годовая внутренняя доходность облигации при начислении процентов m раз в год, а
r
– годовая внутренняя доходность этой облигации при непрерывном начислении процентов, то
m
m
r
m
r
1
ln
(1.1.5)
▲ По условию
m
r
– годовая внутренняя доходность облигации при начислении процентов m раз в год. Тогда
n
i
t
m
t
i
i
m
m
r
C
P
1 1
Так как
i
i
t
m
m
r
m
t
m
e
m
m
r
1
ln
1
, то
n
i
t
i
t
m
m
r
m
e
i
C
P
1 1
ln
Откуда в силу свойства 3 следует, что
m
m
r
m
r
1
ln
. ■
11 Пример 1.1.2. По облигации обещают через 1, 1,5 и 2 года выплачивать денежные суммы: 10, 10 и 110 долл. соответственно. Определим годовую внутреннюю доходность этой облигации при непрерывном начислении процентов, если текущая рыночная стоимость облигации равна 100 долл. ▲ Находим положительное решение уравнения 0 rF, где rrreeerF2 5 , 1 11 10 Так как F(0,1)= – 0,771583, F(0,15)=0,191776, то искомая внутренняя доходность 1 1 r,rr , где rr1 1 01 015 , ,,Решая уравнение методом проб и ошибок, найдем, что ,r 01391 или 13,91%. Замечание. В примере 1.1.2 установлено, что годовая внутренняя доходность данной облигации при начислении процентов один раз в год составляет 14,98%. Тогда в силу равенства (1.1.5) 13958 , 0 1498 , 0 1 ln r, т.е. 13,96%. Расхождение результатов объясняется погрешностями наших вычислений. ■ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1.1.1. Сформулируйте определение внутренней доходности облигации при начислении процента конечное число раз в год. 1.1.2. Как должны соотноситься между собой затраты на покупку облигации и платежи, которые обещаны по этой облигации? 1.1.3. Что происходит в момент погашения облигации? 1.1.4. Поясните суть внутренней доходности облигации. 1.1.5. Всегда ли существует внутренняя доходность у облигации? 1.1.6. Выпишете уравнение, решением которого является внутренняя доходность облигации при начислении процента m раз в год. 1.1.7. Как зависит стоимость облигации от ее внутренней доходности? 1.1.8. Что можно сказать о последовательности значений внутренней доходности при стремлении частоты начисления процента в год к бесконечно большому числу? 1.1.9. Определите внутреннюю доходность облигации при непрерывном начислении процента. 1.1.10. Выпишите зависимость между доходностью облигации при начислении процента m раз в год и доходностью той же облигации при непрерывном начислении процента.
12
ЗАДАЧИ
1.1.1. Определите годовую внутреннюю доходность облигации В
1
и облигации В
2
при начислении процентов один раз в год для следующих исходных данных:
Облигация
Платежи, долл.
t
i
, год
0 1
2
В
1
934,58
+1000
В
2
946,93
+50
+1050
1.1.2. Определите годовую внутреннюю доходность облигации при начислении процентов два раза в год, если ее текущая рыночная стоимость равна 100 долл., а через 0,5, 1 и 1,5 года обещают выплатить соответственно 10, 15 и 120 долл.
1.1.3. По пятилетней облигации обещают выплачивать в конце каждого полугодия 5 долл., а при погашении еще 100 долл. Найдите стоимость облигации, если годовая внутренняя доходность облигации при начислении процентов два раза в год равна 5,91%.
1.1.4. По трехгодичной облигации обещают выплачивать в конце каждого полугодия 10 долл., а при погашении еще 100 долл. Зная, что годовая внутренняя доходность облигации при начислении процентов один раз в год равна 8%, найдите стоимость такой облигации.
1.1.5. Определите годовую внутреннюю доходность облигаций В
1
и В
2
при непрерывном начислении процентов для исходных данных, приведенных в задаче 1.1.1.
1.1.6. По облигации с погашением через 5 лет обещают выплачивать в конце каждого полугодия по 50 долл., а при погашении еще 1000 долл. Найдите годовую внутреннюю доходность облигации при непрерывном начислении процентов, если ее текущая рыночная стоимость равна 900 долл.
1.1.7. По трехлетней облигации обещают выплачивать в конце каждого полугодия по 10 долл., а при погашении еще 100 долл. Зная, что годовая внутренняя доходность облигации при непрерывном начислении процентов равна 7,70% , найти ее рыночную стоимость.
1.1.8. Годовая внутренняя доходность облигации при начислении процентов два раза в год равна 15%. Найти годовую внутреннюю доходность облигации при начислении процентов: а) 4 раза в год; б) 8 раз в год; в) при непрерывном начислении процентов
13
1.2. Годовя внутренняя доходность и стоимость купонной
облигации
Купонная облигация представляет собой обязательство выполнить два потока платежей. Первый поток сводится к выплате в момент погашения облигации денежной суммы, равной номинальной стоимости А этой облигации. Второй поток
это периодические выплаты одной и той же фиксированной денежной суммы – купонного платежа
m
f
A
q
, где
m
число купонных платежей в год, а
f
годовая купонная ставка облигации, равная отношению суммы всех купонных платежей за год к номинальной стоимости облигации.
Так как временной промежуток между двумя соседними купонными платежами составляет m
1 часть года, то купонные платежи распределены во времени так, как показано на рис.1. 2.1.
Рис. 1.2.1
Из рис.1.2.1 видно, что 0 1
m
, так как покупка облигации производится только после оплаты очередного купона и поэтому
не может равняться
1
m
, а
m
n
T
. Из этого равенства следует, что
1
m
T
n
m
T
Таким образом, число купонных платежей, оставшихся до погашения облигации, определяется равенством
,
,
1
,
,
нецелое
m
T
если
m
T
целое
m
T
если
m
T
n
а время, прошедшее между последним купонным платежом перед покупкой и моментом покупки облигации, определяется из равенства
n
m
T .
Пример 1.2.1. Дана 6%-ная купонная облигация, по которой обещают выплачивать купоны каждые полгода. Номинальная стоимость облигации равна
14 1000 долл., а срок до погашения: а) 15 месяцев; б) 18 месяцев. Определить число купонных платежей, оставшихся до погашения и время, прошедшее с момента последней купонной выплаты. ▲ A = 1000 долл., f = 0,06, m = 2, 30 2 06 0 1000 ,q (долл). а) 25 1 12 15 ,T (года). Так как 5 2 2 25 1 ,,mT не является целым числом, то 3 1 5 2 ,n. Следовательно, 25 0 25 1 5 1 ,,, (года) и поток платежей по облигации имеет вид, показанный на рис.1. 2.2. Рис.1.2.2 б) T 18 12 15 , (года), T m 15 2 3 , и n 3. Значит 0 и поток платежей по облигации примет вид, показанный на рис.1. 2.3. Рис.1. 2.3 ■ В общем случае прямой ( ) и обратный (+) потоки платежей по купонной облигации имеют вид, представленный на рис.1. 2.4. Рис.1. 2.4 Годовая внутренняя доходность купонной облигации, по которой купоны оплачиваются m раз в год, всегда определяется исходя из условия начисления процентов m раз в год. Следовательно, годовая внутренняя доходность купонной облигации может быть определена из равенства
15
m
m
n
n
k
m
m
k
m
r
A
m
r
q
P
1 1
1
( 1.2.1)
Если учесть, что
m
f
A
q
, а
,
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
0 1
n
n
n
k
k
n
k
k
m
r
r
m
q
m
r
m
r
m
r
q
m
r
m
r
q
m
r
q
то соотношение (1.2.1) можно записать в виде
P
A
r
m
f
r
r
m
r
m
m
n
n
1 1
1 1
1 1
(1.2.2)
Замечание. Для приближенного вычисления годовой внутренней доходности купонной облигации можно использовать купеческую формулу
2
P
A
f
A
T
P
A
r
,
(1.2.3) где Т
срок до погашения облигации.
Пример 1.2.2. Дана 6%-ная купонная облигация номиналом 1000 долл., по которой обещают каждые полгода производить купонные платежи.
Требуется определить годовую внутреннюю доходность облигации, если ее стоимость равна 928,24 долл., а до погашения остается 10 лет.
▲ A = 1000 долл., P = 928,24, f = 0,06, m = 2, T = 10, n = 10
2 =
20,
30 2
06 0
1000
,
q
(долл.).
Для того, чтобы найти приближенное значение годовой внутренней доходности облигации, воспользуемся купеческой формулой
16 0696 0
2 24 928 1000 60 10 24 928 1000
,
,
,
r
или 6,96%.
Для уточнения величины годовой внутренней доходности облигации, решим уравнение
20 20 2
1 1000 2
1 1
1 2
30 24 928
r
r
r
,
Откуда получим, что
0700 0,
r
, т.е. 7,00%. ■
Теперь рассмотрим зависимость стоимости купонной облигации от ее внутренней доходности.
Утверждение 1.2.1. Функция
r
P
P
, определяющая зависимость стоимости купонной облигации от ее годовой внутренней доходности, является убывающей и выпуклой.
▲ В выражении (1.2.1)
m
n
k
m
k
n
m
r
A
m
r
q
r
P
1 1
1
, имеем
m
,
r
1 0
0
и
0
m
k
при
n
,
,
,
k
2 1
Так как
,
0 1
1 1
1 1
,
0 1
1 1
1 2
2 1
1 2
2 2
1
n
k
m
n
m
k
n
k
m
n
m
k
m
r
A
m
n
m
n
m
r
q
m
k
m
k
m
dr
P
d
m
r
A
m
n
m
r
q
m
k
m
dr
dP
то функция
r
P
P
является убывающей и выпуклой на
,
0
. ■
17
Замечание. Так как
0 1
1
lim lim
1
n
k
m
n
m
k
m
r
A
m
r
q
r
r
P
r
, то, график функции
r
P
P
имеет вид, показанный на рис. 1.2.5.
Рис. 1.2.5
Следствия
1.
С увеличением годовой внутренней доходности облигации уменьшается стоимость облигации и наоборот.
2. Величина изменения стоимости облигации уменьшается с увеличением годовой внутренней доходности облигации (рис. 1.2.5.), т.е.
r
r
P
r
P
r
P
r
r
P
(доказательство в [1]).
Замечание. Будем называть величины
r
P
r
P
r
r
P
и
r
P
r
r
P
r
P
относительными изменениями (соответственно, ростом и падением)
стоимости облигации при изменении ее годовой внутреннейдоходности на
r
0
. Очевидно, что относительный рост стоимости облигации всегда выше относительного падения.
18 3. Если до погашения купонной облигации остается больше одного купонного периода, т.е. mT1 , то относительное изменение стоимости облигации при изменении ее годовой внутренней доходности тем больше, чем меньше купонная ставка облигации. (доказательство в [1]). Пример 1.2.3. По трехгодичной 7% купонной облигации номиналом 1000 долл. и годовой внутренней доходностью 6% годовых, обещают производить каждые полгода купонные платежи. Найдем изменения стоимости облигации при условии, что внутренняя доходность облигации меняется на величину r 0 5 , % . ▲ q 1000 7 100 2 35 долл., n 6 0 , . Согласно (1.2.2) 08596 1027 03 0 1 1000 03 0 1 1 1 06 0 2 35 06 0 6 6 ,,,,,P , ,,,,,,P96775 1040 2 055 0 1 1000 2 055 0 1 1 1 055 0 2 35 055 0 6 6 , 43147 , 1013 2 065 , 0 1 1000 2 065 , 0 1 1 1 065 , 0 2 35 065 , 0 6 6 PСледовательно, ■ |
Скачать 1.56 Mb.