ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА. СанктПетербургский государственный электротехнический университет Н. П. Серебрянникова б. Е. Соботковский в. В. Морозов

• Название: СанктПетербургский государственный электротехнический университет Н. П. Серебрянникова б. Е. Соботковский в. В. Морозов
• Анкор: ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА.doc
• Дата: 02.12.2017
• Размер: 1.09 Mb.
• Имя файла: ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА.doc
• Тип: Документы; #10600
• Категория: Физика
• страница: 4 из 14

2.2. Случайная величина. Выборка и генеральная совокупность.

Пусть некоторая величина X в ряде испытаний может принимать различные численные значения. Если значение величины Х в каждом данном испытании не может быть указано заранее (непред­сказуемо), то величина называется случайной величиной.

Если случайная величина может принимать бесконечное множе­ство значений, причем эти значения могут быть сколь угодно близ­ки друг к другу, то такая величина называется непрерывной случай­ной величиной. Если же случайная величина может принимать лишь дискретные значения, то она называ­ется дискретной случайной величиной.

Факт при­нятия величиной наперед заданного значения для дискретной случайной величины или попадания в задан­ный интервал для непрерывной случай­ной величины в конкретном испытании является случайным событием, происходящим с определенной вероятностью.

Охарактеризовать случайную величину можно при помощи закона распределения. Под законом распределения случайной величины понимается со­ответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями принятия этих значений. Это соответствие может быть задано в виде таблицы, графика или мате­матической формулы.

В основе любых измерений лежат прямые измерения, в ходе ко­торых находят некоторое числовое значение физической величины. Каждая такая измерительная операция называется наблюдением, а получаемое при этом значение физической величины – результатом наблюдения. Получаемый опытным путем результат наблюдения подвержен случайным отклонениям от истинного значения физической величины. Такой заранее непред­сказуемый в каждом данном наблюдении результат является случайной величиной. Многократное повторное проведение опыта позволяет установить статистические закономерности, которым удовлетворяет данная случайная величина.

При каждом наблюдении мы получаем некоторое возможное значение фи­зической величины. Всё множество возможных значений измеряемой величины, которые она может принимать в эксперименте, называется генеральной совокупностью. Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Большинство физических величин имеет непрерыв­ный набор возможных значений, множество которых является беско­нечным. Говорят, что такие величины имеют генеральную совокуп­ность бесконечного объёма.

Генеральная совокупность несет полную информацию об измеряе­мой величине и позволяет (в отсутствие невыявленных систематичес­ких погрешностей), несмотря на случайный характер результатов от­дельных наблюдений, найти истинное значение x₀ физической величи­ны. В случае физической величины с непрерывным набором значений для нахождения её истинного значения необходимо провести бесконеч­ное число наблюдений, что невозможно. Поэтому на практике ограни­чиваются конечным числом наблюдений (от единиц до нескольких десятков). Полученный при этом ряд значений физической величины: x₁, x₂, ... x_N называют выборкой из генеральной совокупности или про­сто выборкой. Число N результатов наблюдений в выборке называют объёмом выборки.

Результаты наблюдений, входящие в выборку, можно упорядо­чить, т.е. расположить их в порядке возрастания или убывания: x₁ ≤ x₂ ... ≤ x_N. Полученную выборку называют упорядоченной или ранжированной. Величина R = x_mах – x_min, называется размахом выборки.

Ввиду ограниченного числа наблюдений в выборке, как отмеча­лось в 1.2, по ней нельзя найти ни истинного значения измеряемой величины, ни истинной погрешности измерения, и задача сводится к нахожде­нию по выборке наилучших выборочных оценок (наилучших приближен­ных значений) истинного значения и истинной погрешности измерения.

2.3. Гистограмма. Эмпирическое распределение результатов наблюдений

Чтобы получить представление о законе распределения измеряемой величины, произ­водят группировку данных. Для этого весь интервал значений вели­чины от x_min до x_max (рис. 2.1) разбивают на несколько равных ин­тервалов, называемых интервалами группировки данных, шириной Δ и центрами x_k, так что k-й интервал (k=1, 2…K) имеет границы (x_k – Δ /2, x_k + Δ /2). Далее, распределяют значения x₁ по интервалам. Число точек N_k, оказавшихся внутри k-го интервала, даёт число попаданий измеряемой величины в этот интервал. Общее число точек, оказавшихся внутри всех интервалов разбиения, долж­но быть равно полному числу Nрезультатов наблюдений в исходной выборке.

Над каждым интервалом Δ_k строится прямоугольник высотой f_k = N_k/(NΔ), где N – общее число наблюдений. Совокупность таких прямоугольников называется гистограммой (рис. 2.1).

При построении гистограмм интервалы разбиения не следует брать очень большими или очень маленькими. Так, в первом случае прямоугольники на гистограмме будут иметь примерно одинаковую высоту, а во втором – могут появиться интервалы, в которые не попадет ни одного значения случайной величины. В последнем случае внутри гистограммы будут просветы. Такие гистограммы не дают представления о законе распределения случайной величины.

Чтобы этого не происходило, придерживаются следующих правил. Число интервалов группировки данных К рассчитывают по формуле

К = 1 + 3.2 lg N,

где N – объем выборки. Если число К получается дробным, то eго округляют до ближайшего меньшего целого. Ширину интервалов берут равной

Δ = (x_max –x_min)/K

Высоты и площади прямоугольников на гистограмме имеют следующий смысл. Учитывая, что согласно 2.2 относительные частоты P_k = N_k/N приближенно равны вероятности попадания результата каждого отдельного наблюдения в данный интервал, высота каждого прямоугольника на гистограмме f_k = N_k/NΔ= Р_k/Δ есть вероятность, приходящаяся на единицу длины интервала разбиения или плотность вероятности попадания случайной величины в интервал Δ_k с центром в точке x_k.

Площадь каждого прямоугольника f_kΔ= N_k/N= Р_k есть вероятность попадания результата в интервал Δ_k.. Сумма площадей прямоугольников, основания которых находятся внутри некоторого интервала [x₁,x₂], равна вероятности для каждого отдельного наугад взятого результата попасть в этот интервал.

Нетрудно убедиться, что сумма площадей всех прямоугольников равна единице:

. (2.3.1)

Это означает, что попадание значений измеряемой величины в какой-либо из интервалов разбиения в промежутке (x_max, x_min) есть достоверное событие.

Из рис. 2.1 видно, что результаты наблюдений распределены около некоторого значения, абсцисса которого соответствует цен­тру самого высокого прямоугольника на гистограмме, по обе стороны которого расположены прямоугольники убывающей высоты и площа­дей. Учитывая, что высоты прямоугольников f_k имеют смысл плотности вероятности попадания измеряемой величины в интервал Δ_k, можно сказать, что гистограмма дает представление о законе распределения измеряемой величины.

Используя значения координат центров интервалов разбиения x_k и числа попадания N_k значений измеряемой величины в интервалы, можно найти среднее значение измеряемой величины и величину , характеризующую разброс результатов наблюдений около среднего значения, которые рассчитывают по формулам

(2.3.2)

где при большом объеме выборки . Величину называют эмпирической дисперсией, а – среднеквадратическим отклонением результатов наблюдений от среднего (СКО x). Параметр S_x характеризует ширину распределения значений случайной величины около среднего значения.

Если число измерений взять очень большим (), то есть от выборки перейти к генеральной совокупности, а ширины интервалов разбиения очень маленькими, то ломаная огибающая гистограммы перейдет в плавную кривую. Эту кривую, называемую функцией плотности распределения вероятности измеряемой величины, мы будем обозначать f(x).

В этом случае суммы (2.3.1), (2.3.2) заменятся интегралами, а вероятности P_k – вероятностями попадания случайной величины в интервал (). Если случайная величина распределена в интервале (a, b) (заметим, что границы интервала могут быть и бесконечными: ), то эти интегралы будут иметь вид

(2.3.3)

(2.3.4)

(2.3.5)

где есть плотность вероятности распределения случайной величины или просто плотность вероятности, , – генеральные среднее и дисперсия, величина называется стандартным отклонением.

Закон распределения случайной величины может быть найден не только эмпирически, но и из теоретических соображений. Функция плотности вероятности в этом случае определяется с точностью до некоторого постоянного множителя, значения которого находят при использовании интеграла (2.3.3), который в этом случае называют условием нормировки функции плотности вероятности. Это условие требует, чтобы площадь под графиком функции вероятности всегда была равна единице.