Сборник задач по эконометрике2 для студентов нематематических специализаций Кафедра математической

• Название: Сборник задач по эконометрике2 для студентов нематематических специализаций Кафедра математической
• Дата: 28.02.2019
• Размер: 1.27 Mb.
• Имя файла: ratnikova_t_a_demidova_o_a_sbornik_zadach_po_ekonometrike_2.pdf
• Тип: Сборник задач; #69190
• страница: 4 из 11

1.4.3 Три формы уравнений МНК для нахождения оценок
коэффициентов регрессии
1.
Для нахождения оценок МНК коэффициентов регрессии









k
k
X
X
Y
1 1
0
требуется решить систему нормальных уравнений
Y
X
X
X
'
ˆ
'


2.
Для регрессии в отклонениях







k
k
x
x
y
1 1
,
где
I
Y
Y
y


,
I
X
X
x
i
i
i


,
k
i
,...,
1

, I – единичный вектор,
система нормальных уравнений может быть переписана в виде
]
,
v[
oˆ
c
ˆ
]
r[
aˆ
v
Y
X
X


3.
Для регрессии в центрированных и нормированных переменных







k
k
x
x
y





1 1
,
где
y
y
y

ˆ

,
i
X
i
i
x
x

ˆ

,
i
k
,...,
1

система нормальных уравнений может быть переписана в виде
]
,
[
ˆ

]
[
ˆ
Y
X
r
o
c
X
r
o
c


1.
Как связаны коэффициенты первой и второй формы уравнений МНК?
2.
Как связаны коэффициенты первой и третьей формы уравнений МНК?
3.
Для оцениваемой по 20 наблюдениям регрессии
i
i
i
X
b
b
Y




1 0
,
20
,...,
1

i
известны суммы
,
,
,
10 1




n
i
i
X
40 1
2



n
i
i
X
10 1



i
n
i
i
Y
X
50 1



n
i
i
Y
Найти оценки коэффициентов регрессии
1 0
,b
b
методом наименьших квадратов.
4.
Для оцениваемой по 40 наблюдениям регрессии
i
i
i
i
X
b
X
b
b
Y





2 2
1 1
0
, 40
,...,
1

i
известны суммы
2 1
1



n
i
i
X
,
,
,
,
,
,
1 1
2



n
i
i
X
6 1
2 1



n
i
i
X
4 1
2 2



n
i
i
X
3 1
2 1



n
i
i
i
X
X
2 1



n
i
i
Y

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 25 0
1 1



i
n
i
i
Y
X
, .
6 1
2



i
n
i
i
Y
X
Составить систему нормальных уравнений для оценок коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов
2 1
0
,
,
b
b
b
5.
Для регрессий




1 1
0
X
a
a
Y
,




2 1
0
X
b
b
Y
,




1 1
0 2
X
c
c
X
,




2 1
0 1
X
d
d
X
известны следующие МНК – оценки коэффициентов:
,
3
ˆ
1

a
,
,
2
ˆ
1


c
3
ˆ
1


b
8 0
ˆ
1


d
Найти оценки МНК коэффициентов наклона в регрессии








2 2
1 1
0
X
X
Y
6.
[2, c.107, 3.15] С помощью МНК были оценены четыре регрессии
t
t
t
Y
const
C
1
ˆ
92 0




t
t
t
C
const
C
2 1
ˆ
84 0





t
t
t
Y
const
C
3 1
ˆ
78 0





t
t
t
C
const
Y
4 1
ˆ
55 0





Найти оценки МНК коэффициентов наклона в регрессии
t
t
t
t
C
Y
C








1 2
1 0
7.
[2, c.108, 3.20] Найти оценки МНК коэффициентов и коэффициент множественной детерминации
2
R регрессии, если известны следующие матрицы:











60 20 0
20 40 0
0 0
33
' X
X
,
,











92 24 132
'Y
X




i
i
Y
Y
1 2
150
)
(
n
8.
[2, c.106, 3.14]
Для регрессии в отклонениях






2 2
1 1
x
x
y
, оцениваемой по 100 наблюдениям, известны следующие суммы:
3 493 2


y
,
,
30 2
1


x
3 2
2


x
,

 30 1
y
x
,

 20 2
y
x
,
0 2
1


x
x
Найти оценки МНК коэффициентов
2 1
,


и коэффициент множественной детерминации
2
R .
9.
[2, c.75] Для регрессии



 X
Y
, оцениваемой по следующим данным:

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 26

















5 3
8 1
3
Y
,

















6 4
1 4
2 1
6 5
1 4
1 1
5 3
1
X
найти оценку МНК вектора коэффициентов и коэффициент множественной детерминации

ˆ
2
R
10.
[2, c.105, 3.10] По 10 наблюдениям оценивается регрессия Y на
1
X
и
2
X
со свободным членом. Известны следующие суммы:

 20
Y
,
30 1


X
,
40 2


X
,
2 88 2


Y
,
92 2
1


X
,
163 2
2


X
,
59 1


YX
,
88 2


YX
,
119 2
1


X
X
Найти оценки коэффициентов регрессии.
11.
[1, c.266, 1] По выборке из 21 наблюдения для трех переменных: N, D, Y найдены выборочные средние и дисперсии, равные для каждой переменной соответственно 0 и
1. Переменная С определена следующим образом:
D
N
C


. Оценка коэффициента наклона в регрессии С на Y равна 0.8, в регрессии С на N 0.5, в регрессии D на Y 0.4.
Найти оценку коэффициента наклона и сумму квадратов остатков в регрессии С на D.

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 27
1.4.4 Метод наименьших квадратов c предположением о случайном
характере ошибокрегрессии. Теорема Гаусса-Маркова
В приведенных ниже задачах будут сделаны следующие предположения:




и
X
Y
- линейная регрессия,
причем
0
]
[


M
,
,
n
E
2
]
var[




где Х – детерминированная матрица,
- единичная матрица,
n
E
и использованы обозначения
PY
Y

ˆ
,
,
, - оценка МНК коэффициентов регрессии.
T
T
X
X
X
X
P
1
)
(


Y
Y
ˆ
ˆ




ˆ
1.
При сделанных выше предположениях докажите, что


ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,Y
являются случайными векторами.
Y
2.
Найдите ковариационные матрицы случайных векторов из задачи 1. Есть ли среди этих матриц вырожденные?
3.
Для каждой пары случайных векторов из задачи 1 найдите ковариационную матрицу.
4.
По данным для n = 15 фирм исследована зависимость прибыли Y от числа работников X вида
X
. Была получена оценка остаточной дисперсии
2
ˆ
2



и матрица


05 0
03 0
. Найти оценку дисперсии коэффициента
0
Y
1 0
ˆ
ˆ
ˆ











03 0
31 0
)
1
X
X


(

5.
Необходимыми условиями теоремы Гаусса-Маркова являются
1) Правильная специфицикация модели:



 X
Y
,
2) Полный ранг матрицы Х,
3) Нормальность распределения случайной составляющей
4) Равенство 0 вектора математических ожиданий случайной составляющей,
5) Скалярность (пропорциональность единичной матрице) ковариационной матрицы случайной составляющей,
6) Детерминированность матрицы Х
7) Наличие в матрице Х единичного столбца
6.
Оценки метода наименьших квадратов коэффициентов регрессии :



 X
Y
останутся несмещенными при нарушении условий теоремы Гаусса – Маркова
1)
2
)
при всех i var(



i
2)
0
)
,
cov(

j
i


; i
j,
3)
состоящих во включении в модель лишнего объясняющего фактора Z,
4)
состоящих в невключении в модель необходимого фактора,
5)
состоящих во включении стохастических регрессоров, не коррелирующих со случайной составляющей

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 28 7.
Оценки метода наименьших квадратов коэффициентов регрессии



 X
Y
при выполнении условий теоремы Гаусса – Маркова являются
1) несмещенными 2) линейными по X 3) линейными по Y 4) наиболее эффективными в классе всех нелинейных оценок
8.
Оценки метода наименьших квадратов коэффициентов регрессии



 X
Y
при выполнении условий теоремы Гаусса – Маркова имеют наименьшую дисперсию
1)
в классе всех нелинейных оценок
2)
в классе всех линейных оценок
3)
в классе всех нелинейных несмещенных оценок
4)
в классе всех линейных несмещенных оценок
9.
Для модели
i
i
i
X
a
a
Y




1 0
наиболее эффективной из приведенных ниже для коэффициента
1
a
является оценка
1)
1 1
1
ˆ
X
X
Y
Y
a
n
n



2)
2 1
2 1
1
ˆ
X
X
Y
Y
a
n
n





3)






2 1
)
(
)
)(
(
ˆ
X
X
Y
Y
X
X
a
i
i
i
4)




X
X
Y
Y
n
a
i
i
1
ˆ
1 10.
Если для модели



 X
Y
выполняются условия теоремы Гаусса – Маркова, то скалярной (пропорциональной единичной) является ковариационная матрица
1) случайной составляющей

2) ошибок регрессии

ˆ
3) вектора Y
4) выровненного вектора Yˆ
5) вектора оценок коэффициентов регрессии â
11.
Если для модели



 X
Y
выполняются условия теоремы Гаусса – Маркова, то невырожденной является ковариационная матрица
1) случайной составляющей

2) ошибок регрессии

ˆ
3) вектора Y
4) выровненного вектора Yˆ
5) вектора оценок коэффициентов регрессии

ˆ
Математическое ожидание от квадратичных форм
Утв. Если Х – случайный вектор с


]
[X
M
и


]
var[X
, а А – симметричная матрица,
то


A
A
tr
AX
X
M





]
[
]
[
.
12. Найти математическое ожидание от RSS.
13. Найти математическое ожидание от TSS.
14. Найти математическое ожидание от ESS.

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 29
1.4.5 Классическая линейная регрессия с нормально распределенными
случайными ошибками. Доверительные интервалы для коэффициентов
регрессии, дисперсии ошибок, прогнозных значений. Значимость
коэффициентов регрессии и адекватность регрессии в целом
В классической линейной регрессии к условиям теоремы Гаусса – Маркова
добавляется условие о нормальности распределения остатков регрессии.
%
100
)
1
(


доверительные
интервалы
для
коэффициентов
регрессии








X
1 1

k
k
X
Y
0
, оцененной по n наблюдениям, имеют вид:
i
i
k
n
t
k
n
t
i
i
i









ˆ
2
/
ˆ
2
/
ˆ
)
1
(
ˆ
ˆ
)
1
(
ˆ








,
.
k
i
,...,
0

%
100
)
1
(


доверительные интервалы для дисперсии ошибок имеют вид
:
2 2
2 1
1 2
)
1
(






RSS
k
n
RSS





%
100
)
1
(


1
(
1 1



n
X
доверительные интервалы для математического ожидания прогноза
в точке
)
1 1



n
k
n
X
X
:












)
(
)
(
ˆ
)
1
(
ˆ
1 1
1 1
2 2
/
1
n
n
n
n
Y
M
X
X
X
X
k
n
t
Y



1 1
1 2
2
/
1
)
(
ˆ
)
1
(
ˆ









n
n
n
X
X
X
X
k
n
t
Y



,
где
.
1 1
1 1
0 1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ







n
k
k
n
n
X
X
Y



%
100
)
1
(


1
(
1 1


n
k
n
X
X
доверительные
интервалы
для
прогноза
в
точке
)
1 1




n
X
:













1 1
1 1
2 2
/
1
)
(
1
ˆ
)
1
(
ˆ
n
n
n
n
Y
X
X
X
X
k
n
t
Y



1 1
1 2
2
/
1
)
(
1
ˆ
)
1
(
ˆ










n
n
n
X
X
X
X
k
n
t
Y



.
1.
По 63 наблюдениям оценена модель








2 2
1 1
0
X
X
Y
:
2
)
3
(
1
)
2
(
5 4
1
ˆ
X
X
Y



Учитывая, что
5 , а в скобках указаны стандартные ошибки коэффициентов, найти 95 % двусторонний доверительный интервал для
1
)
ˆ
,
ˆ
v(
oˆ
c
2 1



а)
, б)
, в)
, г)
1
ˆ

2
ˆ

2 1
ˆ
ˆ



2 1
ˆ
3
ˆ
2



2.
Оцененная методом наименьших квадратов зависимость расходов на питание








I
P
C
2 1
0
от уровня цен Р и располагаемого дохода I имеет вид:
I
P
C
5 0
75 0
6
ˆ



Нижняя граница симметричного по вероятности доверительного интервала для коэффициента
1

равна – 0.9. Найти верхнюю границу для этого интервала.

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 30 3.
Оцененная методом наименьших квадратов зависимость расходов на лекарства С








I
P
C
2 1
0
от уровня цен на лекарства Р и располагаемого дохода I для 30 больных диабетом имеет вид:
I
P
C
4 0
5 0
2
ˆ




,
6 0
2

R
Нижняя граница симметричного по вероятности 95 % доверительного интервала для коэффициента
2

равна 0.2, а верхняя граница симметричного по вероятности 95 % доверительного интервала для коэффициента
1

равна 1.
Согласно оцененной модели при уровне значимости 5%, спрос на лекарства от диабета
1) зависит от цены лекарств 2) зависит от уровня дохода 3) адекватно описывается предложенной моделью.
4.
При исследовании факторов, определяющих экономический рост, по 70 странам было получено уравнение регрессии:
6 0
,
5 4
0 12 2
0 5
0 5
1
ˆ
2
)
4 1
(
)
8 0
(
)
4
(
)
3 4
(
)
6
(







R
In
D
I
S
P
G
В скобках указаны значения стандартных ошибок. где G – темпы экономического роста в %, Р – среднедушевой ВВП, S – бюджетный дефицит,
I – объем инвестиций, D – внешний долг, In – уровень инфляции, в скобках указаны значения t – критерия. Согласно этой модели, при уровне значимости 5% можно утверждать, что темпы экономического роста зависят от
1) среднедушевого ВВП 2) бюджетного дефицита 3) объема инвестиций
4) внешнего долга 5) уровня инфляции
5.
С помощью модели












X
B
I
P
Y
ln ln ln ln ln
4 3
2 1
0
по данным для 30 стран оценена зависимость спроса на цейлонский чай Y от его цены
P, цены индийского чая I, цены бразильского кофе B , среднего дохода жителя страны
X:
X
B
I
P
Y
ln
257 0
ln
2 0
ln
56 1
ln
1 2
85 1
n lˆ
)
37 0
(
)
13 0
(
)
42 0
(
)
39 0
(
)
39 1
(





В скобках указаны значения стандартных ошибок.
На уровне значимости 0,05 будут значимы коэффициенты регрессии
1)
1

2)
2

3)
3

4)
4

6.
С помощью модели








K
L
Y
ln ln ln
2 1
0
по данным для 30 фирм была оценена зависимость выпуска Y от труда L и капитала K:
K
L
Y
ln
4 0
ln
6 0
2 1
n lˆ
)
08 0
(
)
12 0
(
)
3 0
(



,
F – statistic = 200.24

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 31
В скобках указаны значения стандартных ошибок.
На уровне значимости 5 % отвергаются гипотезы
1)
0
:
1 0


H
2)
0
:
2 0


H
3)
0
:
2 1
0




H
4)
5 0
:
1 0


H
5)
5 0
:
2 0


H
7.
По 28 наблюдениям оценена регрессия:








2 2
1 1
0
X
X
Y
и получены следующие результаты:
2
)
3 0
(
1
)
2 0
(
9 0
5 0
21 1
ˆ
X
X
Y



В скобках указаны значения стандартных ошибок.
Проверить значимость коэффициента
1

при уровне значимости а) 0.05, б) 0.01.
8.
Для регрессии






X
Y
1 0
известны оценки:
3
ˆ
0


, 2
ˆ
1


, 2
ˆ



, причем









3 5
5 27
' X
X
а) Построить 95% доверительные интервалы для коэффициентов
0

и
1
 . б) Построить 95 % доверительную область для вектора (
0

,
1
 )
T
9.
Для оцененной по 20 наблюдениям регрессии с константой и двумя объясняющими факторами сумма квадратов остатков
RSS
оказалась равна 25. а) Найти точечную оценку дисперсии ошибок регрессии. б) Найти симметричный по вероятности 80% доверительный интервал для дисперсии ошибок регрессии. в) Найти 90% доверительный интервал для дисперсии ошибок регрессии с наименьшей верхней границей.
10.
На основании 5 наблюдений получена МНК оценка уравнения регрессии
X
Y
21 0
56 1
ˆ


и оценка остаточной дисперсии
04 0
ˆ
2



Матрица наблюдений регрессоров имеет вид:
. Требуется








8 6
4 3
1 1
1 1
1 1
X
а) построить 90% доверительный интервал с наименьшей верхней границей для дисперсии регрессии; б) построить 90% доверительный интервал для прогноза, используя верхнюю границу интервальной оценки для дисперсии регрессии, если прогнозное значение
3

X
11.
[3, c.85]. По 12 наблюдениям была оценена зависимость расходов на потребление Y от располагаемого дохода Х:
X
Y
9 0
10
ˆ



Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 32
Учитывая, что
200

X
,
4000
)
(
2 1




X
X
n
i
i
, найти 95% доверительный интервал для прогноза в точке
2 0

X
50 12.
Для 23 предприятий оценена зависимость выпуска от труда и капитала:








2 2
1 1
0
X
X
Y
, где Y – ln от выпуска;
L
X
ln
1

, L – труд, измеряемый в часах;
, K – капитал.
K
X
ln
2

Были получены следующие результаты:
2
)
1 0
(
1
)
2 0
(
2 0
7 0
4
X
X
Y



, при этом
10 1

X
,
6 2

X
,
07 0
ˆ
2



Построить 95% доверительный интервал для прогноза в точке
7
,
12 2
1


X
X
13.
При выполнении условий задачи 9 раздела 3 формы уравнений МНК найдите 95% доверительный интервал а) для математического ожидания прогноза в точке
10
,
10 2
1


X
X
, б) для прогноза в точке
10
,
10 2
1


X
X

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 33