Сборник задач по эконометрике2 для студентов нематематических специализаций Кафедра математической

• Название: Сборник задач по эконометрике2 для студентов нематематических специализаций Кафедра математической
• Дата: 28.02.2019
• Размер: 1.27 Mb.
• Имя файла: ratnikova_t_a_demidova_o_a_sbornik_zadach_po_ekonometrike_2.pdf
• Тип: Сборник задач; #69190
• страница: 6 из 11

Фиктивные (dummy) переменные
1.
Оцененная зависимость почасовой оплаты труда индивида Y (измеряется в долларах в час) от результатов выпускного теста X (измеряется в баллах) и пола (D
– фиктивная переменная, равная 1 для мужчин и 0 для женщин) имеет вид:
D
X
Y
4 2
7 3
2



Все коэффициенты являются значимыми при уровне значимости 1%. При одинаковых результатах теста почасовая оплата мужчин выше почасовой оплаты женщин на
1)
0.024 $
2) 2.4 $
3) 0.024 %
4) 2.4%
2.
Оцененная зависимость почасовой оплаты труда американцев Y (измеряется в долларах) от стажа их работы X (измеряется в годах); пола, описываемого с помощью фиктивной переменной D
1
, равной 1 для мужчин и 0 для женщин; расовой принадлежности, описываемой с помощью фиктивной переменной D
2
, равной 1 для светлокожих и 0 для темнокожих американцев, имеет вид:
2 1
01 0
04 0
8 0
4
D
D
X
Y




Все коэффициенты являются значимыми при уровне значимости 1%.
Чему равна почасовая оплата труда светлокожих американцев при пятилетнем стаже работы?
3.
Зависимость расходов на продукты питания от располагаемого дохода X имеет вид:
X
D
X
Y
1 07 0
6 0
2



, где D
1
– фиктивная переменная, равная 1 для городских и 0 для сельских жителей. а) Коэффициент наклона в линейной зависимости для сельских жителей равен
1) 0,67 2) 0,6 3) 0,53 4) 2 б) Если вместо D
1
использовать переменную D
2
, равную 0 для городских и 1 для сельских жителей, то зависимость примет вид:
1)
X
D
X
Y
2 07 0
67 0
2



2)
X
D
X
Y
2 07 0
67 0
2



3)
X
D
X
Y
2 07 0
6 0
2



4)
X
D
X
Y
2 07 0
6 0
07 2



4.
Оцененная зависимость Y - расходов потребителей на газ и электричество в США в
1977 – 1999 г.г. в постоянных ценах I квартала 1977г. от времени
1

t
для 1977 г.,
2

t
для 1978 г. и т.д. с учетом сезонных факторов (
1

i
D
, если наблюдение относится к i-му кварталу и 0 иначе,
4
,...,
1

i
) имеет вид:
4 3
2 2
6 2
3 1
0 8
D
D
D
t
Y





Если в качестве выделенной категории будет выбран не первый квартал, а второй, то уравнение регрессии примет вид
1)
4 3
1 4
0 3
1 0
5
D
D
D
t
Y






Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 42 2)
4 3
1 2
6 2
3 1
0 8
D
D
D
t
Y





3)
4 3
1 2
6 2
3 1
0 5
D
D
D
t
Y





4)
4 3
2 4
0 3
1 0
5
D
D
D
t
Y





5.
Оцененная зависимость почасовой оплаты труда американцев Y (измеряется в долларах в час) от длительности обучения X (измеряется в годах) и расовой принадлежности, описываемой с помощью фиктивной переменной D, равной 1 для светлокожих и 0 для темнокожих американцев, имеет вид:
DX
X
Y
04 0
7 0
5



Все коэффициенты являются значимыми при уровне значимости 1%.
Каждый дополнительный год обучения приводит к увеличению почасовой оплаты труда темнокожих американцев на
1) 0.74 $ 2) 0.7 $
3) 0.66 $
4) 0.74 %
6.
[2, c.140, 4.4] С помощью МНК оценивается модель:








3 2
E
E
Y
, где и
- фиктивные переменные, равные 1 соответственно для учеников 2 и 3 классов. Доказать, что оценки МНК коэффициентов регрессии имеют вид:
2
E
3
E
1
ˆ Y


,
1 2
ˆ
Y
Y



,
1 3
ˆ
Y
Y



, где
1
Y ,
2
Y ,
3
Y - средние значения Y соответственно для учеников первых, вторых и третьих классов.
7.
[2, c.139, 4.2] По квартальным данным1958-1976 г.г. была оценена модель с тремя объясняющими факторами:
3 2
1 34 0
48 3
104 0
2 2
ˆ
X
X
X
Y




,
6 109

ESS
,
48 18

RSS
При добавлении в модель трех сезонных dummy – переменных значение ESS увеличилось до 114.8.
Проверить гипотезу о наличии сезонности.
8.
По данным для 570 индивидуумов оценили зависимость почасовой оплаты в долларах EARN от длительности обучения индивидуума S, от способностей индивидуума, описываемых обобщенной переменной ASVABC и пола индивидуума, описываемого с помощью фиктивной переменной MALE (равной 1 только для мужчин):
MALE
ASVABC
S
EARN
LN
)
1 0
(
)
002 0
(
)
01 0
(
)
124 0
(
27 0
0157 0
056 0
904 0




Почасовая оплата труда мужчин
1) не отличается от оплаты труда женщин 2) больше на 0.27$ 3) больше на 27 $
4) больше на 27 %
5) больше на 0.27%

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 43 1.5.1 Квазимультиколлинеарность. Метод главных компонент.
Если столбцы матрицы регрессоров не связаны между собой строгой линейной
зависимостью, т.е.
, но между ними наблюдается сильная корреляция, то это
делает матрицу
1

 k
rgX
X
X  плохо обусловленной, т.е.
0
)
det(

X
X
. Такое явление называется
мультиколлинеарностью
Внешние признаки:

высокие F-статистика и
2
R при низких t-статистиках;

неадекватные знаки и величина коэффициентов;

неустойчивость оценок коэффициентов по отношению к увеличению объема
выборки или добавлению новых регрессоров.
Последствия мультиколлинеарности:

высокие стандартные ошибки оценок коэффициентов;

незначимость коэффициентов;

невозможность оценить влияние регрессоров по отдельности.
Способы диагностики:

изучение корреляционной матрицы регрессоров;

построение вспомогательных подрегрессий и VIFов;

вычисление параметра обусловленности матрицы
X
X  :
min max




.
Способы устранения:

добавление новых наблюдений;

исключение некоторых регрессоров;

использование априорных ограничений на коэффициенты;

переход к регрессии на главных компонентах.
1.
В модели






2 2
1 1
x
x
y
, где
)
,
0
(

E
N

,
1 2
2 1
1




x
x
x
x
,
r
x
x
x
x




1 2
2 1
=0.8, обнаружена квазимультиколлинеарность. Во сколько раз (приблизительно) при с=1 дисперсии гребневых оценок коэффициентов будут меньше дисперсий оценок МНК?
1)в 2;
2) в 4;
3) в 8;
4) в 16;
5) в 32..
2.
Теоретическая регрессионная зависимость имеет вид:
i
i
i
i
i
X
X
X
Y










3 3
2 2
1 1
0
)
,
(
2 1
X
X
cor
. Известно, что
=
=0, а
=r, где r=0.95. Параметр обусловленности для матрицы
)
,
(
3 1
X
X
cor
)
,
(
3 2
X
X
cor
 
x
x

, где
x
- матрица центрированных и нормированных значений регрессоров, равен:
1)
)
1
(
)
1
(
r
r


2)
)
1
(
)
1
(
r
r


3)
)
2 1
(
)
2 1
(
r
r


4)
)
2 1
(
)
2 1
(
r
r


5)
)
1
(
)
1
(
2 2
r
r


3.
Первая главная компонента в задаче 2, выраженная через стандартизованные исходные регрессоры, имеет следующий вид

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 44 1)
2
/
)
(
2 1
x
x

,
2)
2
/
)
(
2 1
x
x

, 3)
2
/
)
2
(
3 2
1
x
x
x


,
4)
2
/
)
2
(
3 2
1
x
x
x


,
5)
2
/
)
2
(
3 2
1
x
x
x


4.
Теоретическая регрессионная зависимость и корреляционная матрица регрессоров имеют вид:
Y
i
i
i
i
i
X
X
X










3 3
2 2
1 1
0

,
, где r=0.95.











1 0
0 0
1 0
1
)
(
r
r
X
Corr
а) Найдите параметр обусловленности для матрицы

x
x

, где
x
- матрица центрированных и нормированных значений регрессоров. б) Вычислить одну или две главные компоненты (т.е. выразить их через линейные комбинации столбцов
x
), объясняющие не менее 70% общей дисперсии. в) Выразить коэффициенты исходной регрессии через коэффициенты регрессии на главные компоненты, объясняющие не менее 70% общей дисперсии.
5.
В модели



 X
Y
, заданной в отклонениях, где






2 2
1 0
r
r







1 0
1 1
2 2
r
r
X
, обнаружена квазимультиколлинеарность. Число обусловленности
)

(
X
k
v
матрицы
, получающейся после добавления в матрицу
Х новой строки
X
X



(
), где v – нормированный на единицу собственный вектор матрицы
r

2

X
X  , отвечающий минимальному собственному значению, может быть записано в виде:
1)
2 1
1




r
r
; 2)
2 1
1




r
r
; 3)
2 2
1 1






r
r
; 4)
r
r



1 1
2

; 5)
r
r



1 1
2

6.
В модели



 X
Y
, заданной в отклонениях, где






2 2
1 0
r
r







1 0
1 1
2 2
r
r
X
, обнаружена квазимультиколлинеарность.
Принято решение использовать ridge-оценки с
. Тогда число обусловленности
)
r

2


(
X
k
принимает значение:
1)
2 1
1




r
r
; 2)
2 1
1




r
r
; 3)
2 2
1 1






r
r
; 4)
r
r



1 1
2

; 5)
r
r



1 1
2

7.
В модели



 X
Y
(
)
,
0
(

E
N

), заданной в отклонениях, где




2









2 1
1 0
0 1
1 2
2
r
r
r
r
X
, обнаружена квазимультиколлинеарность.
Принято решение использовать ridge-оценки с
. Тогда разность теоретических дисперсий ridge-оценок и оценок МНК для коэффициентов принимает вид:
2 2
r



Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 45 1)
2 1
1
r
r
r



; 2)
)
1
)(
1
(
1 2
2 2
2
r
r
r
r
r
r






; 3)
2 2
2 1
1 2
r
r
r
r
r




; 4)
r
r
r



1 1
2
; 5)
2 2
2 1
)
2
(
r
r
r



8.
В модели



 X
Y
(
)
,
0
(

E
N

), заданной в отклонениях, где




2









2 1
1 0
0 1
1 2
2
r
r
r
r
X
, обнаружена квазимультиколлинеарность.
Принято решение о добавлении в матрицу Х новой строки v

(
), где v – нормированный на единицу собственный вектор матрицы
r

2

X
X  , отвечающий минимальному собственному значению. Тогда разность теоретических дисперсий новых оценок и прежних оценок МНК для коэффициентов принимает вид:
1)
2 1
1




r
r
; 2)
)
1
)(
1
(
1 2
2 2
2








r
r
r
r
; 3)
2 2
2 1
1 2







r
r
; 4)
r
r



1 1
2

; 5)
r
r




1 1
2

9.
В модели



 X
Y
, оцененной исследователем, t-статистики оценок коэффициентов имеют вид:
1

t
= 1,2
= -0,7
= -1,8
= 2,1
=-2,5.
2

t
3

t
4

t
5

t
Это означает, что нужно проверить гипотезу об удалении следующей группы регрессоров
1)
,
,
; 2) ,
; 3)
2
X
,
; 4) ; 5) ничего удалить нельзя.
1
X
2
X
3
X
1
X
2
X
3
X
1
X

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 46
1.5.2
Обобщенный МНК
Утверждение. Для регрессии



 X
Y
с
0
]
[


M
и известной ковариационной
матрицей ошибок

, не пропорциональной единичной, оценка метода наименьших
квадратов
OLS


является неэффективной. Эффективной является оценка обобщенного
МНК
Y
X
X
GLS
1 1
1
'
)






X '
(


.
1. Показать, что при выполнении условий утверждения оценка МНК будет несмещенной.
2.Показать, что если ковариационная матрица остатков известна с точностью до постоянного множителя, оценка обобщенного МНК не изменится.
3. При выполнении условий утверждения найти ковариационную матрицу
OLS


4. При выполнении условий утверждения найти ковариационную матрицу
GLS


5. При выполнении условий утверждения найти
)
,
cov(
GLS
OLS




6. Решить задачи 2 и 3 раздела 7 при выполнении условий утверждения.
7. Показать, что если применить преобразование данных
Y
Y
2
/
1




,
X
X
2
/
1




и оценить регрессию с помощью МНК, то полученная оценка коэффициентов регрессии будет эффективной.
8. Наиболее эффективной оценкой коэффициента

для модели
i
i
Y




,
0
)
(

i
M

,
, в классе линейных несмещенных оценок является:
2 2
)
(
i
i
X
V




0

i
X
1)
Y
; 2)
X
Y
Y
I
I
I
'
)
'
(
1

; 3)
; 4)




n
i
i
n
i
i
i
X
X
Y
1 1
; 5)




n
i
i
n
i
i
i
X
X
Y
1 1
/
1
/
; 6)




n
i
i
n
i
i
i
X
X
Y
1 2
1 2
; 7)




n
i
i
n
i
i
i
X
X
Y
1 2
1 2
/
1
/
9.
В обобщенной регрессионной модели



 X
Y
, где регрессоры детерминированы,
 
0


M
и
 



2



M
1)
найдите ковариационную матрицу между вектором оценок МНК
МНК


и вектором оценок обобщенного МНК
ОМНК


;
2)
найдите ковариационную матрицу вектора остатков
МНК
МНК
X
Y






;
3)
найдите ковариационную матрицу вектора остатков обобщенного МНК
ОМНК
ОМНК
X
Y






;
4)
найдите ковариационную матрицу между векторами остатков МНК и обобщенного МНК.
10.
В условиях предыдущей задачи, полагая

известной матрицей, предложите способ несмещенного оценивания неизвестного параметра
2


Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 47