Сборник задач по эконометрике2 для студентов нематематических специализаций Кафедра математической
 Скачать 1.27 Mb.
|
коэффициентов различных форм уравнений МНК. Ошибки спецификации При не включении в регрессию существенных переменных оценки коэффициентов оказываются смещенными. Последствием этой ошибки может явиться автокорреляция. Диагностику этой ошибки можно осуществить с помощью теста Рамсея. При включении в регрессию несущественных переменных оценки коэффициентов остаются несмещенными, но теряют эффективность. Последствием этой ошибки может явиться квазимультиколлинеарность. Диагностику этой ошибки можно осуществить с помощью F-теста на группу лишних переменных. Если выбрана неверная функциональная форма, регрессионные остатки могут оказаться ненормальны и может, также, возникнуть гетероскедастичность. 1. По данным о среднем выпуске Y, среднем капитале K (Y и K измеряются в тысячах долларов), среднем количестве рабочих часов H в расчете на одного рабочего в год для 30 индустриально развитых стран была построена следующая регрессии: H K Y 8 20 35 0 25 ˆ Дайте экономическую интерпретацию коэффициентам регрессии. 2. Зависимость расходов на непродовольственные товары Y от располагаемого дохода X имеет вид: X (все коэффициенты регрессии значимы). При увеличении дохода на 1 единицу расходы увеличатся на Y 02 0 2 1 ˆ ln 1) 0.02 единицы 2) 2 единицы 3) 2% 4) 0.02% 5) 20% 3. Зависимость расходов на продовольственные товары Y от располагаемого дохода X имеет вид: X (все коэффициенты регрессии значимы). При увеличении дохода на 1% расходы увеличатся на Y ln 2 2 1 ˆ ln 1) 0.02 единицы 2) 2 единицы 3) 2% 4) 0.02% 5) 20% 4. По ежемесячным данным за 3 года была оценена зависимость количества потребляемых безалкогольных напитков Y от температуры T и реальных денежных доходов населения IR с помощью трех моделей: IR T Y ) 19 20 ( ) 64 8 ( ) 14 1494 ( 84 42 97 21 04 1877 ˆ (1) 28 0 2 R IR Y ) 06 22 ( ) 86 1624 ( 54 35 226 1 ˆ (2) 09 0 2 R T Y ) 13 9 ( ) 69 103 ( 36 19 665 1285 ˆ (3) 15 0 2 R причем 14 0 ) , ( ˆ T IR r o c 54 Какую модель Вы предпочтете и почему? Объясните изменения в коэффициентах и их стандартных ошибках в остальных моделях. 5. Исследователь оценил зависимость уровня активности в теневой экономике Y от уровня налогообложения Х и государственных расходов на борьбу с теневой экономикой Z (все переменные измеряются в миллионах долларов США) с помощью трех моделей а) по данным для 30 развитых стран: 44 0 , ln 646 0 ln 699 0 137 1 ln 2 ) 162 0 ( ) 154 0 ( ) 863 0 ( R Z X Y 1 0 , ln 201 0 065 1 ln 2 ) 112 0 ( ) 069 1 ( R X Y 01 0 , ln 053 0 23 1 ln 2 ) 162 0 ( ) 896 0 ( R Z Y б) и данным для 30 развивающихся стран: 71 0 , ln 091 0 ln 806 0 122 1 ln 2 ) 117 0 ( ) 137 0 ( ) 873 0 ( R Z X Y 7 0 , ln 727 0 024 1 ln 2 ) 09 0 ( ) 859 0 ( R X Y 33 0 , ln 427 0 824 2 ln 2 ) 116 0 ( ) 835 0 ( R Z Y Какую из моделей Вы предпочтете в случаях а и б? Объясните изменения в коэффициентах и их стандартных ошибках в остальных моделях. 6. Используя данные для 570 индивидуумов о почасовой оплате в долларах EARN, длительности обучения S, результатах тестирования ASVABC, исследователь построил следующие уравнения регрессии: ASVABC S EARN ) 04 0 ( ) 18 0 ( ) 12 2 ( 12 0 19 1 12 8 , 68 36975 RSS , 16 0 2 R ASVABC S EARN LN ) 002 0 ( ) 01 0 ( ) 12 0 ( 0099 0 082 0 88 0 , 9 122 RSS , 23 0 R 2 Дайте экономическую интерпретацию коэффициентам регрессии. 7. C помощью теста Бокса – Кокса, используя результаты приведенных ниже вспомогательных регрессий с переменными n n i i EARN EARN EARNSTAR 1 / , ) , выберите лучшую из двух моделей задачи 3. ln(EARNSTAR LNEARNSTAR ASVABC S EARNSTAR ) 04 0 ( ) 014 0 ( ) 175 0 ( 018 0 081 0 859 0 , 57 239 RSS , ASVABC S EARNSTAR LN ) 002 0 ( ) 01 0 ( ) 12 0 ( 015 0 056 0 54 1 , 32 121 RSS 55 8. По 150 наблюдениям оценили зависимость почасовой заработной платы от пола (переменная MALE равно 1 для мужчин и 0 для женщин), длительности обучения S и возраста AGE. AGE S MALE Y ) 057 0 ( ) 53 0 ( ) 21 1 ( ) 09 3 ( 44 0 24 3 5 3 6 3 ˆ , 7632 RSS Используя результаты двух вспомогательных регрессий, приведенных ниже, проведите RESET – тест и ответьте, надо ли включать в уравнение нелинейные переменные. 2 ) 002 0 ( ) 17 0 ( ) 3 1 ( ) 7 1 ( ) 09 4 ( ˆ 0064 0 08 0 49 0 29 0 37 12 ˆˆ Y AGE S MALE Y , 7154 RSS 3 ) 10 45 3 ( 10 2 ) 004 0 ( ) 28 0 ( ) 05 2 ( ) 44 2 ( ) 42 4 ( ˆ 10 75 1 ˆ 012 0 1 1 93 7 2 9 1 18 ˆ 11 Y Y AGE S MALE Y , 6069 RSS 56 Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 57 exp( X 1.5.6 Метод максимального правдоподобия. 1. Пусть - число раз, когда i-ый индивидуум из выборки, содержащей n индивидуумов, покупал i Y сигареты за текущий месяц. Пусть - некая наблюдаемая характеристика индивидуума. Если предположить, что при данном имеет пуассоновское распределение с параметром i X i X ) i Y 1 0 i i , то ! | k e X k Y P i k i i i ) 1) Почему допустимо полагать в данном случае, что ? i i L L ) ( ln ) ( ln 2) Выпишите выражение для ( ln i L 3) Вычислите 0 ) ( ln L 4) Вычислите 1 ) ( ln L 5) Выпишите ) , ( 1 0 I 6) Определите асимптотическую ковариационную матрицу ) ( V 7) Опишите, как надо тестировать наличие пропущенных переменных с помощью статистики LM. Какая вспомогательная регрессия понадобится? 8) Чему равна оценка для ? ) ( i Y V 2. Найти оценки максимального правдоподобия коэффициента наклона и дисперсии ошибки регрессионной модели i i i X a a Y 1 0 при условии , если }) { , 0 ( 2 i diag N 2 2 2 i i X 3. Рассмотрим простую регрессионную модель i i i X Y 2 1 , где ) , 0 ( 2 E N Функция плотности при данных имеет вид: i Y i X 2 2 2 1 2 2 2 1 exp 2 1 , | i i i X Y Y f а) Объясните, почему допустимо полагать, что n i i L L 1 2 2 , ln , ln , и выпишите выражение для 2 , ln i L Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 58 б) Выпишите выражения для частных производных 1 2 , ln i L и 2 2 , ln i L и покажите, что их математические ожидания равны нулю при истинных значениях 1 и 2 . в) Найдите частную производную 2 2 , ln i L и покажите, что ее математическое ожидание равно нулю при истинном значении 2 Предположим, что n n i женщина i если n i мужчина i если X i , 1 , 0 , 1 , 1 1 1 г) Напишите условия 1-ого порядка и покажите, что они выполняются при n n i i Y n n 1 1 1 1 1 и 1 1 1 2 1 1 n i i Y n . Дайте интерпретацию этих оценок и интерпретацию истинных значений 1 и 2 д) Покажите, что вторые смешанные производные 2 2 2 2 2 2 , ln , ln i i L L и что их математические ожидания равны нулю. Что это означает в контексте асимптотической ковариационной матрицы оценок ( 1 , 2 , 2 )? е) Предложите два способа оценивания асимптотической ковариационной матрицы вектора коэффициентов и сравните результаты. ж) Предложите альтернативный способ оценивания асимптотической ковариационной матрицы для гетероскедастичных ошибок i Пусть мы хотим проверить гипотезу : 0 H 2 =0 против : A H 2 0. Тест может быть осуществлен с помощью статистик LM, LR и W. з) Объясните принципы этих тестов. и) Что необходимо иметь, чтобы вычислить эти статистики? к) Каким распределениям они подчиняются? Как соотносятся их значения? Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 59 j 1.5.7 Регрессионные динамические модели. 1. Гипотеза Алмон при оценивании модели с распределенными лагами состояла в том, что t j t J j j t X Y 0 1) j ; 2) j j j ; 3) j j 0 ; j 1 0 2 2 1 0 4) r r ; 5) j j j r j j j j 2 2 1 0 r r 2 2 1 0 2. После преобразования Койка модель с бесконечным числом распределенных лагов , в которой , приобретает вид: t j t j j t X Y 0 Y X Y j 0 1) t t 1 1 t t u 0 , где 1 ; t t t u 2) t t t t u Y X Y 1 0 ) 1 ( , где 1 t t t u ; 3) t t t t u Y X Y 1 0 , где t t t u u ; 4) t t t t u Y X Y 1 1 0 , где t t t u u ; 5) t t t t Y X Y 1 0 ) 1 ( 3. Основная гипотеза модели адаптивных ожиданий формулируется следующим образом: 1) , ) ( 1 * 1 t t t t Y Y Y Y 1 0 ; 2) t t t Y Y Y 1 ) 1 1 ( 1 * , 1 0 ; 3) , ) ( 1 * 1 t t t t Y Y Y Y 1 0 ; 4) , ) ( * * * 1 t t t t X X X X 1 0 ; 5) , ) )( 1 ( * 1 1 * 1 * t t t t X X X X 1 0 4. Основная гипотеза модели частичной корректировки формулируется следующим образом: 1) , ) ( 1 * 1 t t t t Y Y Y Y 1 0 ; 2) , ) )( 1 ( * 1 1 * 1 * t t t t X X X X 1 0 ; 3) , ) ( 1 * * 1 t t t t Y Y Y Y 1 0 ; 4) t t t Y Y Y 1 ) 1 1 ( 1 * , 1 0 ; 5) , ) )( 1 ( * 1 1 * 1 * t t t t X X X X 1 0 5. Инструмент для оценивания динамической модели t Z t t t t u Y X Y 1 1 0 , где 1 t t t u , должен удовлетворять требованию 1)corr( , )=0; 2) corr( , )=0; 3) corr( , )→1; 4) corr( , )=0; 5)corr( , )→1. 1 t Y t Z t X t Z 1 t Y t Z t u t Z t u t Z 6. Долгосрочное равновесие в модели выражается зависимостью * * aX Y 1 1 0 3 0 2 € t t t Y X Y Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 60 * * 1) ; 2) ; 3) * * 2 0 X Y * * 1 0 X Y 2X Y ; 4) * * 3 1 X Y ; 5) * * 3 0 X Y 7. Медианный лаг в модели равен 1 1 0 2 0 2 ˆ t t t Y X Y 1) 1 0 ln 5 0 ln ; 2) 1 0 5 0 ln ; 3) ; 4) 5 ln 1 0 2 0 ln ; 5) 5 lg 1 8. Средний лаг в модели равен 1 03 0 1 0 2 € t t t X X Y 1) 1 0 ln 03 0 ln ; 2) 1 0 03 0 ln ; 3) 1 ; 4) 0.1; 5) 13 3 9. Долгосрочное равновесие в модели * * aX Y 3 2 1 13 0 17 0 21 0 26 0 1 2 t t t t t X X X X Y выражается зависимостью 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) * * 13 0 X Y * * 26 0 X Y * * 1 2 X Y * * 77 0 X Y * * 3 0 X Y 10. Долгосрочная эластичность потребления (C) по доходу (I) в модели равна 1 ln 22 0 ln 61 0 9 0 ln t t t C I C 1) 0.22; 2) 0.61; 3) 0.78; 4) 2.77; 5) 4.09. 11. Статистика Дарбина h, используемая для диагностики автокорреляции в модели t t t t Y X Y 1 имеет вид 1) ) ( 1 ) 1 ( V n n DW ; 2) ) ( 1 ) 5 0 1 ( V n n DW ; 3) ) ( 1 V n n ; 4) ) ( 1 V n ; 5) ) ( 1 1 V n 12. Статистика Дарбина h не применима для диагностики автокорреляции в модели t t t t Y X Y 1 в случае, когда 1) оценка γ>0; 2) оценка γ<0; 3) оценка дисперсии оценки γ больше 1/n; 4) оценка дисперсии оценки γ меньше 1/n; 5) оценка γ больше оценки β. 13. Статистика Дарбина-Уотсона не предназначена для диагностики автокорреляции в моделях 1) t t t X Y ; 2) t t t X Y ; 3) t t t Y Y 1 ; 4) t t t t X X Y 1 ; 5) t t t t Y X Y 1 14. Для определения того, сколько земли следует фермеру отвести под клубнику, если ее будущие цены неизвестны, используется следующая модель адаптивных ожиданий: t e t t u P b b A 1 2 1 , (1) e t t e t e t P P P P 1 , Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 61 t, ии. Где t A - количество акров, отведенное под клубнику в году e t P 1 – ожидаемая цена клубники на следующий год, - коэффициент адаптац а) Объяснить, как исследователь перешел от модели (1) к модели t t t t A a P a a A 1 3 2 1 (2) б) Предположим, остатки удовлетворяют условию теоремы Гаусса – Маркова. Какие проблемы возникнут при оценивании коэффициентов модели (2) с помощью МНК? Как с ними справиться? t u в) Используя для оценки данные за 1960 – 1999 г.г., исследователь получил следующее уравнение: 1 51 0 1 900 5 10 t t t A P A , DW=1.83 (2.3) (300.1) (0.1) (в скобках указаны оценки стандартных ошибок). Дать экономическую интерпретацию полученным коэффициентам регрессии. г) Сравнить влияние цены клубники на количество отводимых на нее акров в краткосрочном и долгосрочном периоде. Рассчитайте медианный лаг. д) Как Вы будете проверять для модели (2), существует ли проблема автокорреляции остатков? 15. Исследователь предположил, что расходы на отпуск t V линейно зависят от постоянного дохода и относительного индекса цен : p t Y t P , (1) t t p t t u P b Y b a V 2 1 И что постоянный доход определяется моделью адаптивных ожиданий: p t t p t p t Y Y Y Y 1 1 , (2) где – реальный доход, а подчиняется условиям КЛРМ. t Y t u В результате была оценена модель следующего вида: t t t t t t t t P Y Y Y Y Y V 4 4 3 3 2 2 1 1 0 , (3) а) Выпишите выражения, связывающие коэффициенты регрессионного уравнения с параметрами , , и 1 b 2 b . б) Выражение, связывающее t и , имеет вид t u 1) t t t u 1 2) 1 t t t u u 3) t t u 4) t t u 5) 1 1 1 t t t t u u b в) По выборке для США за 1959 – 1994 г.г., исследователь получил следующие оценки исходных параметров и их стандартных ошибок: = -2.14 (0.72), =0.2 (0.15), 1 b = 1.3 (0.18), 2 b = - 0.46 (0.22). Какие параметры оказались статистически значимыми? Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 62 г) Каковы краткосрочные и долгосрочные эффекты дохода на отпускные расходы? д) Модель (3) может быть состоятельно оценена с помощью 1) МНК; 2) метода инструментальных переменных; 3) метода главных компонент; 4) обобщенного МНК; 5) нелинейного МНК 6) двухшагового МНК е) При оценивании модели (3) получено значение статистики DW=1.15 1) это говорит о положительной автокорреляции ошибок; 2) это говорит об отрицательной автокорреляции ошибок; 3) это говорит об отсутствии автокорреляции ошибок; 4) это говорит о попадании в зону неопределенности; 5) но эта статистика неприменима в данном случае. ж) В случаях неприменимости статистики DW, чем ее можно заменить? |