Сборник задач по эконометрике2 для студентов нематематических специализаций Кафедра математической
 Скачать 1.27 Mb.
|
|
1.4.6 Проверка статистических гипотез Проверка гипотез об одном линейном ограничении на коэффициенты регрессии с помощью t – статистики Для коэффициентов регрессии X Y гипотеза 0 0 : i i H проверяется с помощью t – статистики ) ˆ .( .ˆ ˆ 0 i i i e s t 1. По 20 наблюдениям оценена зависимость инфляции в % (переменная Y) от роста заработной платы в % (переменная Х): X Y ) 1 0 ( ) 05 0 ( 82 0 21 1 Проверить, можно ли считать, что общий рост цен (инфляция) совпадает со скоростью роста заработной платы а) При двусторонней альтернативной гипотезе и уровне значимости 0.05, б) При двусторонней альтернативной гипотезе и уровне значимости 0.1, в) При односторонней альтернативной гипотезе и уровне значимости 0.05. 2. [3 c.180, 4] Оценка производственной функции Кобба - Дугласа с помощью модели L K I Q ln ln ln 2 1 0 , где Q – выпуск, K- капитал, L – труд, по 40 наблюдениям дала следующие результаты (в скобках указаны стандартные ошибки коэффициентов регрессии): L K Q ln 452 0 ln 632 0 37 1 ˆ ln ) 219 0 ( ) 257 0 ( , , 98 , 0 2 R 044 0 ) ˆ , ˆ v( oˆ c 2 1 На уровне значимости 5% проверить гипотезы а) о равенстве эластичностей по труду и капиталу, б) о постоянной отдаче от масштаба 3. По 29 наблюдениям по модели 3 3 2 2 1 1 0 ln ln ln ln P P P I Y оценили функцию спроса на яблоки, где Y - спрос на яблоки, - цена яблок, - цена апельсинов, - цена бананов. 1 P 2 P 3 P Были получены следующие результаты: 3 2 1 ln 2 ln 4 2 ln 5 14 ˆ ln P P P Y , оценка ковариационной матрицы оценок коэффициентов регрессии имеет вид: Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 34 4 6 0 7 0 3 0 6 0 3 5 0 2 0 7 0 5 0 2 1 0 3 0 2 0 1 0 1 01 0 ) ˆ r( aˆ v На уровне значимости 5% проверить гипотезу о том, что спрос на яблоки не изменится, если все цены вырастут в одинаковое число раз. 4. [1, c.312, 1] По 29 наблюдениям оценена регрессия 2 1 9 0 4 0 4 ˆ X X Y , 15 2 2 R , причем , 80 10 0 10 50 0 0 0 29 ' X X 520 RSS Проверить гипотезу, что сумма коэффициентов наклона равна 1. Проверка гипотез о линейных ограничениях на коэффициенты с помощью F – статистики Для коэффициентов регрессии X Y с суммой квадратов остатков RSS и оценками коэффициентов методом наименьших квадратов гипотеза ˆ q Q H : 0 , где , , проверяется с помощью F – статистики 1 k rankX r rankQ ) 1 /( / ) ˆ ( ) ) ( ( ) ˆ ( 1 1 k n RSS r q Q Q X X Q q Q F T T T или ) 1 /( / ) ( k n RSS r RSS RSS F UR UR R , где RSS UR - сумма квадратов остатков в регрессии без ограничений, а RSS R - в регрессии с ограничениями. 5. Оценка спроса на цейлонский чай в США с помощью регрессии Y P P P I Q B I C ln ln ln ln ln 4 3 2 1 0 , где Q – спрос на индийский чай, P C – цена цейлонского чая, P B – цена бразильского кофе, Y – располагаемый доход, по 22 наблюдениям дала следующий результат: Y P P P Q B I C ln 257 0 ln 186 0 ln 181 1 ln 481 1 837 2 n lˆ ) 37 0 ( ) 37 0 ( ) 69 0 ( ) 987 0 ) 2 ( , 4277 0 RSS Эта модель была также оценена при ограничениях 0 , 1 2 1 и получено: Y P P Q B C ln 261 0 ln 199 0 738 0 ln ˆ ln ) 165 0 ( ) 155 0 ( ) 82 0 ( , 6788 0 RSS Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 35 Проверить гипотезу 0 , 1 2 1 и дать экономическую интерпретацию полученным результатам. 6. По данным для 27 фирм оценили производственную функцию с помощью трех моделей: K L Y ln ln ln 2 1 0 (1) ) ln( ln 1 0 LK Y (2) K L K Y / ln / ln 1 0 (3) Суммы квадратов остатков в этих моделях оказались соответственно равны RSS 1 = 8.51, RSS 2 = 8.94, RSS 3 = 9.01, Объяснить, почему вторая и третья модели являются ограниченными версиями первой, выписать соответствующие ограничения на коэффициенты регрессии и проверить их выполнение. 7. а) Изучая зависимость длительности обучения индивида HGC от его способностей ASVABC, характеризуемых результатами трех тестов (см. п.в), длительности обучения матери индивида HGCM, длительности обучения отца индивида HGCF, исследователь получил следующие регрессии: HGCF HGCM ASVABC HGC ) 029 0 ( ) 039 0 ( ) 0099 0 ( ) 52 0 ( 1 0 12 0 115 0 5 , 646 2100 RSS , 336 0 2 R ASVABC HGC ) 009 0 ( ) 48 0 ( 14 0 5 6 , 587 2267 RSS Исходя из полученных результатов, можно ли считать, что длительность обучения индивида зависит только от его способностей? б) Была оценена также регрессия ) ( 109 0 115 0 22 5 ) 016 0 ( ) 0099 0 ( ) 502 0 ( HGCF HGCM ASVABC HGC , 962 2100 RSS Исходя из полученного результата, можно ли считать, что родители в равной степени влияют на длительность обучения индивида? в) Значения переменной, характеризующей способности индивида, рассчитывались следующим образом: 4 25 0 3 25 0 2 5 0 ASVAB ASVAB ASVAB ASVABC , где ASVAB2 – результаты теста по арифметике, ASVAB3 – результаты теста по правописанию, ASVAB4 – результаты теста по пониманию прочитанного материала. Исследователь оценил также регрессию HGCF HGCM ASVAB ASVAB ASVAB HGC ) 029 0 ( ) 039 0 ( ) 013 0 ( ) 015 0 ( ) 012 0 ( ) 54 0 ( 1 0 12 0 4 0013 0 3 035 0 2 088 0 75 4 352 0 2 R , Исходя из поученных результатов, можно ли считать, что веса в переменной ASVABC выбраны правильно? Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 36 8. [2, c.105, 3.9] Для оцениваемой по 24 наблюдениям регрессии i i i i i X X X Y 3 3 2 2 1 1 0 , 24 ,..., 1 i 1 3 i n i i y x известны суммы квадратов и произведений отклонений от соответствующих средних , , , , , , , , , 60 1 2 n i i y 19 1 1 n i i x x 10 1 2 1 n i i x 10 1 1 n i x 30 1 2 2 n i i x 5 3 i 1 2 n i i x 20 1 2 3 n i i x 15 3 i 6 1 1 i n i i y x 18 1 2 i n i i y x 2i i x x а) Проверить гипотезу о выполнении равенств: 2 1 , 1 2 , 1 3 по отдельности б) Проверить гипотезу о совместном выполнении равенств из п. а. в) Проверить гипотезу 0 3 2 1 9. По данным для 27 фирм, упорядоченных по выпуску (Y 1 <…< Y n ) была оценена зависимость выпуска Y от труда L и капитала K с помощью моделей K b L b b Y ln ln ln 3 2 1 (1) ) ln (ln ln 2 1 K L b b Y (2) Результаты оценок приведены в таблицах 1, 2 Табл. 1 Variable Coefficient Std. Error t - statistic Prob. C 1.1706 0.326 3.582 0.0015 ln L 0.6029 0.125 4.787 0.0001 ln K 0.375 0.085 4.402 0.0002 R-squared 0.943 F – statistic 200.24 Sum squared resid 0.851 Prob (F-statistic) 0.0000 Табл. 2 Variable Coefficient Std. Error t - statistic Prob. C 1.2833 0.3117 4.1164 0.0004 ln L + ln K 0.4663 0.0234 19.895 0.0000 R-squared 0.94 F – statistic 395.81 Sum squared resid 0.894 Prob (F-statistic) 0.0000 1) Проверить для модели 1) гипотезы: а) H 0 : b 2 = 0 б)H 0 : b 3 = 0 в) H 0 : b 2 = b 3 = 0 2) Объяснить, почему вторая модель является ограниченной версией первой и проверить выполнение соответствующих ограничений на коэффициенты регрессии. 3) Разделив фирмы на маленькие i =1,…,14 и большие i = 15,...,27, для них оценили отдельные регрессии. Результаты приведены в таблицах 3 и 4. Можно ли считать, что производственные функции для больших и маленьких фирм не различаются? Табл. 3 Included observation: 14 Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 37 Variable Coefficient Std. Error t - statistic Prob. C 0.6998 0.649 1.078 0.3040 ln L 0.9000 0.133 6.764 0.0000 ln K 0.2100 0.056 3.718 0.0034 R-squared 0.896 F – statistic 47.84 Sum squared resid 0.119 Prob (F-statistic) 0.0000 Табл. 4 Included observation: 13 Variable Coefficient Std. Error t - statistic Prob. C 1.4082 0.678 2.075 0.0647 ln L 0.0081 0.226 0.036 0.9720 ln K 0.805 0.179 4.492 0.0012 R-squared 0.908 F – statistic 49.81 Sum squared resid 0.362 Prob (F-statistic) 0.0000 Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 38 1.4.7 Тест Chow для диагностики структурной стабильности 1. Исследователя интересует зависимость среднегодового прироста работающих E от прироста валового национального продукта X (E и X измеряются в процентах). Были оценены регрессии: по выборке для 27 развитых стран: X E ) 15 0 ( 58 0 5 0 74 2 63 18 1 RSS по выборке для 23 развивающихся стран: X 23 25 E ) 15 0 ( 42 0 78 0 85 0 2 RSS по общей выборке: X 61 121 E ) 16 0 ( 53 0 24 0 56 0 3 RSS На уровне значимости 5% проверить гипотезу о том, что зависимость прироста работающих от прироста ВНР едина для развитых и развивающихся стран. 2. Исследователь оценил зависимость уровня активности в теневой экономике Y от уровня налогов X и правительственных расходов на борьбу с теневой экономикой Z (все переменные измеряются в миллионах долларов США) для 30 индустриально развитых стран LnZ LnX LnY ) 162 0 ( ) 154 0 ( ) 863 0 ( 646 0 699 0 137 1 63 27 1 RSS и 30 развивающихся стран: LnZ LnX LnY ) 117 0 ( ) 137 0 ( ) 873 0 ( 091 0 806 0 122 1 18 32 2 RSS а также по общей выборке: LnZ LnX LnY ) 24 0 ( ) 213 0 ( ) 97 0 ( 351 0 75 0 13 1 76 123 3 RSS Можно ли считать, что эта зависимость едина для развитых и развивающихся стран? 3. По данным для 570 индивидуумов оценили зависимость почасовой заработной платы EARN от длительности обучения S и от способностей индивидуума, описываемых обобщенной переменной ASVABC: по общей выборке ASVABC S EARN ) 04 0 ( ) 16 0 ( ) 02 2 ( 21 0 93 0 96 9 36 32189 1 RSS а также отдельно для мужчин ASVABC S EARN ) 06 0 ( ) 27 0 ( ) 63 2 ( 35 0 01 1 23 7 7 15223 2 RSS и женщин ASVABC S EARN ) 03 0 ( ) 19 0 ( ) 24 3 ( 14 0 81 0 4 11 24 10231 3 RSS Можно ли считать, что эта зависимость одинакова для мужчин и женщин? Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 39 2100 ' 4. [1, c.313, 5] По двум выборкам, каждая из 50 наблюдений, получены следующие матрицы: 2100 300 300 50 ' X X , , 2000 300 'Y X Y Y 2500 ' для первой выборки, 2100 300 300 50 ' X X , , 2200 300 'Y X Y Y для второй выборки. Проверить гипотезу о том, что регрессии с одним фактором и свободным членом, оцененные по этим выборкам, можно считать одинаковыми. 5. [3, c.150] Оценивалась зависимость расходов на питание в расчете на одного человека от относительного индекса цен на питание и располагаемого дохода: In P Q ln ln ln 2 1 0 Были получены следующие результаты: 1927-1941 г.г. 1948-1962 г.г. Все наблюдения 0 ˆ 4.555 5.052 4.058 1 ˆ -0.235 -0.237 -0.123 2 ˆ 0.243 0.141 0.242 100 * RSS 0.1151 0.0544 0.2866 Можно ли считать зависимость единой для довоенных и послевоенных лет? 6. [2, c.141, 4.10] Оценивалась зависимость расходов на отпуск от дохода для 256 домохозяйств, разбитых на 3 группы в зависимости от уровня доходов. Результаты оценки парных регрессий (линейных в логарифмах) со свободным членом приведены в таблице. Сумма квадратов отклонений от среднего (по всем наблюдениям) для независимой переменной равна 24. Размер дохода Коэффициент наклона в регрессии 2 ˆ Количество домохозяйств Низкий 0.02 0.26 102 Средний 0.09 0.42 102 Высокий 0.14 0.3 52 Все домохозяйства 0.07 0.38 256 а) Проверить гипотезу о равенстве эластичностей по доходу для трех выделенных групп. б) Проверить гипотезу об одновременном равенстве эластичностей 0.1. 7. [2, c.130] Для следующих наборов данных 5 1 n , , , )' 13 10 6 4 2 ( 1 X )' 6 4 2 2 1 ( 1 Y 10 2 n , , )' 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 ( 2 X )' 11 9 9 7 6 6 5 3 3 1 ( 2 Y Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 40 ном случае проверить гипотезу а) о равенстве коэффициентов парных регрессий для двух групп наблюдений б) о равенстве коэффициентов наклона в парных регрессиях при различных свободных членах в) о равенстве свободных членов в парных регрессиях в предположении равенства коэффициентов наклона. 8. Для того чтобы определить, зависит ли уровень зарплаты Y от наличия высшего образования или только от стажа работы X, достаточно 1) Ввести в регрессию со свободным членом фиктивную переменную D, равную 1 только для имеющих и 0 для не имеющих высшее образование 2) Ввести в регрессию со свободным членом фиктивную переменную D 1 , равную 1 только для имеющих высшее образование и 0 в противном случае, а также фиктивную переменную D 2 , равную 1 только для не имеющих высшее образование и 0 в против 3) Оценить регрессии Y на X отдельно для имеющих и не имеющих высшее образование и проверить, совпадают ли коэффициенты 4) Оценить регрессии Y на X отдельно для имеющих и не имеющих высшее образование, а также по общей выборке и провести тест Chow. |