Сборник задач по эконометрике2 для студентов нематематических специализаций Кафедра математической
 Скачать 1.27 Mb.
|
|
1.5.8 Стохастические регрессоры. Инструментальные переменные. 1. Если в линейной регрессионной модели t t t X Y стохастический регрессор X и случайный член ε статистически зависимы, то состоятельные оценки коэффициентов можно получить 1)МНК; 2) методом инструментальных переменных; 3) методом главных компонент; 4) методом Кокрена-Уоркутта; 5) обобщенным МНК; 6) взвешенным МНК. 2. Инструмент для оценивания динамической модели t Z t t t t u Y X Y 1 1 0 с детерминированным вектором Х должен удовлетворять требованию 1)corr( , )=0; 2) corr( , )=0; 3) corr( , )→1; 1 t Y t Z t X t Z 1 t Y t Z 4) corr( , )=0; 5)corr( , )→1. t u t Z t u t Z 3. Рассматривается модель i i i i X X Y 2 2 1 1 0 , которую предполагается оценивать МНК. 3.1. Какие условия должны быть выполнены для несмещенности ? 1) cov(ε i , ε j ) = 0, i≠j; 2) cov(X 1i , X 2i ) = 0; 3) V(ε)=σ ε 2 E; 4) cov(X 1i , ε i ) = 0, cov(X 2i , ε i ) = 0; 5) X 1 , X 2 детерминированы, M(ε)=0. 3.2. Какие условия должны быть выполнены для состоятельности ? 1) cov(ε i , ε j ) = 0, i≠j; 2) cov(X 1i , X 2i ) = 0; 3) V(ε)=σ ε 2 E; 4) cov(X 1i , ε i ) = 0, cov(X 2i , ε i ) = 0; 5) X 1 , X 2 детерминированы, M(ε)=0. 3.3. Пусть 0 ) , cov( 2 i i X . Приведите пример регрессии, в которой это возможно 3.4. Если предположение п.2.3 соответствует реальности, то это явление носит название 3.5. Пусть 0 ) , cov( 1 i i X и выполняется предположение п.2.3, тогда 1) может быть использован в качестве инструмента для ; i X 1 i X 2 2) не может быть использован в качестве инструмента для ; i X 1 i X 2 3) может быть использован в качестве инструмента для , если i X 1 i X 2 cov(X 1i , X 2i ) = 0; 4) 2 может быть использован в качестве инструмента для ; 1i X i X 2 5) 2 не может быть использован в качестве инструмента для ; 1i X i X 2 3.6. Приведите тестовую статистику, используемую для проверки предположения 0 ) , cov( 1 i i X 3.7. Оценка IV модели X Y , полученная методом инструментальных переменных с инструментом Z , имеет вид Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 64 ) 3.8. Выведите выражение для ( IV V 3.9. Оценка SLS 2 модели X Y , полученная двухшаговым МНК с инструментом Z , имеет вид 3.10. Выведите выражение для ) ( 2SLS V 3.11. Выведите выражение для SLS 2 в случае, когда размерности матриц X и Z совпадают 4. В некоторой отрасли фирма определяет необходимый запас товаров Y в зависимости от ожидаемых годовых продаж X e , используя линейную форму зависимости: Y = a 0 + a 1 X e Однако доступны только данные о реальных продажах X = X e + u, где остатки u распределены независимо от X и удовлетворяют условию теоремы Гаусса – Маркова. а) Какие проблемы возникнут при оценке коэффициентов модели Y = a 0 + a 1 X e + e пользованы данные по X? ) Каков возможный способ решения этих проблем? 5. зависимость постоянного потребления С р от постоя p 0 елены использовать данные по Y, а вместо данных по C использовать ) Каков возможный способ решения этих проблем? с помощью МНК, если вместо данных по X будут ис б Исследователь хочет оценить нного дохода Y p : C = a + a 1 Y p + (1). Однако он имеет данные лишь по общему (постоянному и временному) потреблению C = C P + C T и доходу Y = Y p + Y T . Ошибки C T и Y T распред независимо от C и Y и удовлетворяют условию теоремы Гаусса – Маркова. а) Каковы будут последствия оценки модели (1) с помощью МНК, если вместо данных по Y p P данные по С? б 6. В модели u x y , заданной в отклонениях, где y, x являются n-мерными детерминированный регрессор, , 0 , u векторами, x – c u M c x и n E c u c u M 2 . Для некоторого детерминированного n-мерного вектора z, также заданного в отклонениях, и что инструмент переменных альных такого оценка метода имеет вид 0 c z , : x z y z IV / а) Найдите математическое ожидание и дисперсию оценки К МН б) Найдите математическое ожидание и дисперсию оценки IV в) Покажите, что дисперсия IV может быть записана как x x r 2 2 / , где r – ду коэффициент корреляции меж x и z. Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 65 г) Какая из оценок, МНК или IV , предпочтительнее и почему? д) Предпол есть взвешенная сумма переменных и : z ожим, что z 1 z 2 z 2 2 1 1 z w z w , аких что т 0 2 1 c z c z . Как целесообразнее выбирать веса и 1 w 2 w ? 7. В модели u q x y , где y , x , q и u - n-мерные векторы, предполагают, что t x коррелирует с t u . Пусть z - n-мерный вектор, такой что t z коррелирует с t x , но не ко елирует с t на оценка коэффициентов рр u . Од и может быть получена инструментальных переменных с инструментами z и q , т.е., определив q z , мы можем представить вектор оценок в виде: y Z X Z IV IV методом , Z q x X 1 . Другая оценка может быть получена регрессией y на x предсказанное значение и q , где x - это x в регрессии на q и z , т.е. X X X SLS y SLS 1 2 2 , где q x X , оценки Покажите что эти идентичны. Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 66 Модели бинарного выбора 1. Исследователя интересует зависимость вероятности найти работу от уровня образования индивидуума. Введя в качестве зависимой переменную EМP, равную 1 для работающих и 0 для неработающих и S – количество лет обучения в качестве объясняющей, он оценил две модели: линейную: S EMP ) 003 0 ( ) 047 0 ( 029 0 337 0 (1) и логит – модель: } exp{ 1 1 } 1 { i i Z EMP P , S Z i ) 018 0 ( ) 242 0 ( 148 0 006 1 , (2) а) Дайте экономическую интерпретацию коэффициентам модели 1. б) Как оценивается логит-модель? в) Оцените предельный эффект объясняющего фактора для среднего значения переменной 5 13 S Как соотносятся оценки предельного эффекта объясняющего фактора в двух моделях? 2. По наблюдениям для 570 индивидуумов оценена зависимость получения школьником аттестата от обобщенной оценки результатов тестов Х. Переменная Y принимает значение 1, если аттестат был получен и 0 в противном случае. Оцененные модели имеют следующий вид: Линейная: , X Y ) 00114 0 ( ) 058 0 ( 012 0 308 0 Логит: } exp{ 1 1 } 1 { i i Z Y P , X Z i ) 021 0 ( ) 865 0 ( 1666 0 004 5 , Пробит: ) ( } 1 { i i Z F Y P , z t dt e z F 2 / 2 2 1 ) ( , X Z ) 0117 0 ( ) 083 0 ( 53 0 7 2 Дайте экономическую интерпретацию полученным результатам. Найдите предельный эффект объясняющего фактора в точке 15 50 X 3. Из 750 обратившихся за ссудой в банк 250 было в ней отказано. Для оценки вероятности получения ссуды были оценены линейная и пробит модели: X Y 5 1 5 0 , ) ( } 1 { i i Z F Y P , z t dt e z F 2 / 2 2 1 ) ( X Z 3 45 0 где 1 для получивших ссуду и 0 иначе, X – доход просителя. i Y По пробит модели найти предельный эффект дохода в среднем. Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 67 4. Для того, чтобы определить, эффективна ли новая методика преподавания микроэкономики, провели следующий эксперимент: протестировали всех студентов по микроэкономике в конце первого и второго семестра. Часть студентов во втором семестре обучали по новой методике, часть по старой. После этого в качестве объясняющей выбрали переменную Y, равную 1, если результат студента улучшился и 0 в противном случае, а в качестве объясняющих переменных X 1 – результаты теста в первом семестре, X 2 – средний балл по остальным предметам, D – равную 1, если студент обучался по новой методике и 0, если по старой. Оценили две модели: линейную D X X Y 379 0 464 0 01 0 498 1 2 1 (1) и пробит ) ( } 1 { i i Z F Y P , z t dt e z F 2 / 2 2 1 ) ( D X X Z 426 1 626 1 052 0 452 7 2 1 а) Дайте экономическую интерпретацию коэффициентам модели 1. Каковы недостатки этой модели? б) Найдите предельный эффект переменной D при средних значениях 938 21 1 X , 117 3 2 X (разность вероятностей улучшения результата при D = 1 и D = 0). 5. По 2726 наблюдениям оценили зависимость женщин иметь работу (зависимая переменная Y равна 1 для работающих женщин и 0 для неработающих) от длительности обучения (S), возраста (AGE), семейного положения (фиктивная переменная MARRIED равна 1 только для замужних женщин), наличия детей (фиктивная переменная CH6 равна 1 только для имеющих детей до 6 лет, а фиктивная переменная CH16 для имеющих детей старше 6 и моложе 16 лет), расы (фиктивная переменная BLACK равна 1 для афроамериканок, а фиктивная переменная HISP для испаноязычных). Оцененная пробит модель имеет следующий вид: Пробит: ) ( } 1 { i i Z F Y P , z t dt e z F 2 / 2 2 1 ) ( , HISP BLACK MARRIED CH CH AGE S Z ) 1 0 ( ) 08 0 ( ) 063 0 ( ) 079 0 ( ) 074 0 ( ) 12 0 ( ) 012 0 ( ) 27 0 ( 019 0 27 0 0076 0 16 135 0 6 58 0 43 0 089 0 67 0 Средние значения переменных соответственно равны 65 0 Y , 3 13 S , 6 17 E G A Дайте экономическую интерпретацию полученным результатам. 6. Пусть имеется выборка из 600 замужних женщин с экзогенными характеристиками i X (возраст, образование, состав семьи) и эндогенной переменной 1 i Y , если есть оплачиваемая работа, и 0 i Y , если нет таковой. а) Пусть с помощью МНК оценивается линейная регрессионная модель i i i X Y Объясните, почему это не самая подходящая к случаю модель. б) Пусть в качестве альтернативы выбрана probit. Объясните ее суть. Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 68 в) Приведите логарифмическую функцию правдоподобия. г) Как интерпретировать положительный коэффициент при образовании в probit- модели? д) Пусть оценки коэффициентов модели пробит и дескриптивные статистики экзогенных переменных имеют вид Variable Coefficient Std. Error Max Min mean AGE 0.118564 0.020436 72 15 40 EDUC 0.038162 0.014004 20 8 12 married -0.719115 0.076177 1 0 0.7 C 5.050512 0.494685 Чему равен предельный эффект образования? е) Пусть для некоторого i i X = 2. Каково будет предсказанное моделью значение i Y ? ж) Чем модель logit будет отличаться от модели probit? Как сравнить соответствующие оценки? Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 69 1.7 Модели анализа панельных данных. 1. Доказать, что: 2 B B B 2. Доказать, что 2 ) ( K N NT u u М W W 3. Вычислить )) ( ( V , если B K K W K K K b E b b ) , ( ) , ( ) 1 , ( ( ) ( ) 4. Доказать, что 2 2 / ) B , если известно, что 1 (W ) 1 2 B ( 2 W 5. Оценивается функция издержек для 6 фирм, наблюдавшихся на протяжении 4 лет: it it it X Y , где Y it it it it Q X C ln , ln , C it -издержки i-ой фирмы в момент t, Q it – выпуск i-ой фирмы в момент t. 1) Как следует преобразовать эту модель, чтобы провести “between”–оценивание? (Привести покомпонентную запись преобразованной модели). 2) МНК- оценивание сквозной регрессии дает результат: 0461 , 0 , 9707 , 0 2 2 R it it X Y 8894 , 0 175 , 4 , МНК – оценка регрессии с dummy-переменными, где иначе если фирме ой i к относится наблюдение если D i , 0 , 1 : 0155 , 0 , 99 , 0 6613 , 0 9035 , 1 3108 , 2 1345 , 2 440 , 2 9117 , 2 6035 , 2 2 2 6 5 4 3 2 1 R X D D D D D D Y it it Можно ли считать, что сквозная регрессия адекватно описывает данные в такой ситуации? (Ответ обосновать приведением соответствующего теста). 3) В следующей таблице приведены оценки коэффициента наклона и оценки стандартных ошибок оценок коэффициентов, полученные разными способами: МНК B W GLS 0,8894 0,9674 … 0,6023 ) ( 0,0350 0,1556 0,0734 0,0659 Можно ли на основании данных, приведенных в условии, восстановить пропущенное значение? 4) Есть ли основания считать, что в модели присутствует случайный индивидуальный эффект, если w w u u ' =0,26406, B B u u =0,13502? Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 70 5) Можно ли на основании уже проведенного вами анализа выбрать верную спецификацию модели? Какой тест вы бы провели, чтобы окончательно убедиться в своей правоте? Проведите этот тест, пользуясь данными пункта 3. 6. Рассматривается стандартное уравнение человеческого капитала , где it it it j it j j i t i it age age X S Y 2 2 1 , 0 it Y - логарифм почасовой заработной платы, i S - продолжительность обучения, - возраст, it age it j X , - наблюдаемые характеристики индивидуума, i - ненаблюдаемые характеристики индивидуума t отражает временной рост общего уровня производительности. а) Первые две стратегии оценивания моделей по панельным данным – это FE и RE. Обсудите детально эти стратегии. б) В 1985 г. Чаудхари и Никель исследовали эффекты участия в профсоюзе, продолжительности обучения, состояния здоровья и безработицы на индивидуальную заработную плату по данным PSID (Мичиганского панельного обзора динамики дохода), добавив в регрессию соответствующие фиктивные переменные: union it , sickness spell it , uneployment spell it. Обсудите, почему в этой модели i может быть коррелированно с , union i S it , sickness spell it , uneployment spell it . К каким последствиям эта корреляция приводит в смысле свойств FE и RE оценок? в) Опишите, как может быть протестировано наличие такой корреляции. 7. Рассматривается стандартное уравнение человеческого капитала , где it it it j it j j i i it age age X S Y 2 2 1 , 0 J j , 1 , , , N i , 1 T t , 1 it Y - логарифм почасовой заработной платы, - продолжительность обучения, - возраст, - наблюдаемые характеристики индивидуума, i S it age it j X , i - ненаблюдаемые характеристики индивидуума 1) Приведите основные предположения, лежащие в основе модели RE 2) Приведите основные предположения, лежащие в основе модели FE 3) Приведите выражения для RE и ) ( RE V 4) Приведите выражения для FE и ) ( FE V 5) Если 0 ) , cov( i i S , что это означает для RE ) ( 0 ? 6) Если 0 ) , cov( i i S , что это означает для FE ) ( 0 ? 7) Если есть предположение, что 0 ) , cov( it i X , то как его можно проверить? Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 71 8) Как распределена тестовая статистика из п.4.7 и с каким числом степеней свободы? 9) Приведите тестовую статистику для выбора между сквозной регрессий и моделью RE 10) Приведите тестовую статистику для выбора между сквозной регрессий и моделью FE 8. По панели для 18 стран OECD за 1960-1978 гг. оценивалась функция спроса на бензин: ln(Gas / Car) it = 0 + 1 ln(Y / N) it + 2 ln(P MG / P GDP ) it , где Gas / Car - потребление бензина в расчете на 1 автомобиль, Y/N - доход на душу населения, P MG /P GDP - реальная цена на бензин. Результаты оценивания приведены в таблице: 1 2 Cov( 1 , 2 ) МНК 0.8894 (0.0358) -0.8913 (0.0303) -- - Between 0.9674 (0.1556) -0.9633 (0.1329) -0.01694 - Within 0.6613 (0.0734) -0.3213 (0.0440) 0.00029 - FGLS 0.6023 (0.0659) -0.3639 (0.0415) -- 0.1369 а) Что такое FGLS-оценка вектора коэффициентов? Найти ) ( FGLS V ? б) Какая из 4-х оценок является наиболее адекватной данным? Ответ обоснуйте статистически. в) Для какого теста не достает данных? Выпишите тестовую статистику в общем виде. 5. По панели для 124 французских предприятий за 1966-1975 гг. оценивалась производственная функция: lnQ it = 0 + 1 lnK it + 2 A it + u it , где Q - выпуск, K - капитал, A – прокси для возраста капитала. Результаты оценивания приведены в таблице: 1 2 Cov( 1 , 2 ) u МНК 0.344 (0.009) -0.024 (0.003) 0.0000438 0.235 Between 0.350 (0.025) -0.026 (0.007) 0.0002189 0.198 Within 0.224 (0.026) -0.013 (0.004) 0.0003114 0.128 FGLS 0.289 (0.018) -0.015 (0.004) 0.0002714 0.135 а) Что понимается под Within-оценкой вектора коэффициентов? Чему равна ) ( W V ? Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 72 б) Какая из 4-х оценок является наиболее адекватной данным? Ответ обоснуйте статистически. Может ли сквозное оценивание исходного уравнения привести к гетерогенному смещению? Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 73 1.8. Системы внешне не связанных и одновременных уравнений. Системы внешне не связанных уравнений (SUR) 1. [1, c.648, № 1] Для модели 2 1 2 1 2 1 X X Y Y , оцениваемой по 20 наблюдениям, известна матрица вторых моментов Y 1 Y 2 X 1 X 2 Y 1 20 6 4 3 Y 2 6 10 3 6 X 1 4 3 5 2 X 2 3 6 2 10 а) Найти отдельные оценки OLS коэффициентов вектора β и оценки их стандартных отклонений, б) Найти оценки SUR коэффициентов вектора β и оценки их стандартных отклонений. 2. [1, c.649, № 5] Для модели 2 2 1 1 Y Y оцениваемой по 100 наблюдениям, известны следующие моменты: 1 1 Y , 2 2 Y , 150 1 1 Y Y , 550 2 2 Y Y , 260 2 1 Y Y Найти оценки SUR коэффициента μ и его стандартного отклонения. 3. [1, c.649, № 6] Для модели 2 2 2 1 1 1 X Y Y оцениваемой по 50 наблюдениям, известна матрица вторых моментов 100 50 60 100 50 90 40 50 60 40 500 150 100 50 150 50 1 1 2 1 2 1 X Y Y X Y Y а) Найти оценки OLS коэффициентов β 1 и β 2 и оценки их стандартных отклонений, б) Найти оценки SUR коэффициентов β 1 и β 2 и оценки их стандартных отклонений. Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 74 Системы одновременных уравнений 4. [1, c.710, № 1] Рассмотрим следующую систему одновременных уравнений 2 3 32 2 22 1 12 1 2 2 1 3 31 2 21 1 11 2 1 1 X X X Y Y X X X Y Y а) Проверьте идентифицируемость каждого из уравнений системы, б) Проверьте идентифицируемость каждого из уравнений системы при наложении дополнительных ограничений на коэффициенты (1) 0 32 21 , (2) 0 22 12 , (3) 0 1 , (4) 2 1 , 0 32 5. 2) [1, c.711, № 6] Для модели в отклонениях (от соответствующих средних) 2 3 32 2 22 1 2 2 1 1 11 2 1 1 x x y y x y y , Оцениваемой по 25 наблюдениям, известны следующие суммы квадратов и произведений отклонений 15 8 3 7 5 8 10 2 6 3 3 2 5 3 4 7 6 3 10 6 5 3 4 6 20 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 x x x y y x x x y y а) Оценить каждое из уравнений методом наименьших квадратов б) Оценить систему двухшаговым методом наименьших квадратов. 6. [1, c.711, № 7] Для модели 2 4 42 3 32 1 2 2 1 2 21 1 11 2 1 1 x x y y x x y y Найти приведенную форму и выписать два ограничения на коэффициенты приведенной формы. 7. [3, c.384, № 3] Для каждого из уравнений системы 3 3 33 3 2 2 22 1 21 3 23 1 21 2 1 2 12 3 13 1 u x y u x x y y y u x y y Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 75 проверить выполнение условий порядка и ранга. 8. Для модели Y C 1 G I C Y Y I 2 С экзогенной переменной G и эндогенными переменными С, Y, I а) найти приведенную форму, б) найти ограничения, накладываемые на коэффициенты приведенной формы еденной формы получить коэффициенты приведенной формы. в) показать, что при заданных значениях коэффициентов прив можно единственным образом Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 76 1.9 Метод моментов. 1. Пусть случайная величина Y подчиняется показательному закону распределения y y f exp 1 для 0 y с неизвестным параметром . Выведите оценку параметра с помощью обобщенного метода моментов, используя первый и второй моменты заданного закона распределения вероятностей. 2. Выведите оценку МНК для вектора коэффициентов линейной регрессии как частный случай оценки обощенного метода моментов. Какое моментное тождество целесообразно взять за основу? X Y 3. Выведите оценку метода инструментальных переменных для модели X Y с инструментом Z как частный случай оценки обощенного метода моментов. Какое моментное тождество целесообразно взять за основу в этом случае? 4. Какая оценка будет более эффективной в случае линейной регрессионной модели с гетероскедастичностью: оценка МНК или оценка обобщенного метода моментов? Получите обе оценки и их ковариационные матрицы и осуществите сопоставление. 5. Рассматривается модель пробит, в которой предполагается i i i X X y P | 1 , i i i X X y P 1 | 0 , где - функция стандартного нормального распределения вероятностей. Обычно для оценивания такой модели используется метод максимального правдоподобия. Вместо этого мы будем строить оценку обобщенного метода моментов, основываясь на следующем обстоятельстве: z i i i X X y M | Из этого вытекает возможность использования следующего моментного тождества: 0 i i i X X y M Получите оценку обобщенного метода моментов и объясните, почему она не будет оценкой нелинейного МНК. Какое моментное тождество будет соответствовать оценке нелинейного МНК? 6. Задача максимизации полезности во времени порождает следующее условие первого порядка: 1 1 1 1 t t t t r C C M , (1) Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 77 t где математическое ожидание в момент времени , - потребление в момент времени , - ставка процента, t M t t C 1 t r - ставка дисконтирования и - коэффициент относительной неприемлемости риска. Предположим, что у нас есть временные ряды наблюдений для уровня потребления, ставки процента и инструментальная переменная . i z 1) Покажите, как переписать выражение (1) в виде системы безусловных моментных тождеств. Объясните, как можно состоятельно оценить параметры и из этой системы. 2) Каково минимальное число необходимых моментных тождеств? В чем состоит потенциальный выигрыш от увеличения числа моментных тождеств? 3) Каким способом можно улучшить эффективность оценок для данной системы моментных тождеств? В каком случае этот способ не срабатывает? 4) Объясните, что подразумевается под сверхидентифицируемыми ограничениями. Хорошо это или плохо? 5) Объясните, как проводить тест на сверхидентифицируемость ограничений. Какую основную гипотезу проверяют в этом случае? Какое заключение делается, если основная гипотеза отвергается? |