Сборник задач по эконометрике2 для студентов нематематических специализаций Кафедра математической
 Скачать 1.27 Mb.
|
Основная гипотеза Предполо- жения Статистика Альтернативн ая гипотеза Область принятия 2 - известна n x z 0 0 0 A A A 2 | | z z z z z z О генеральной средней 0 2 - неизвестна n s x n t ) 1 ( 0 0 0 A A A 2 | ) 1 ( | ) 1 ( ) 1 ( t n t t n t t n t О генеральной пропорции 0 n g z ) 1 ( 0 0 0 A A A 2 | | z z z z z z О равенстве генеральных средних 2 1 2 2 2 1 , -не известны, но равны 2 1 1 1 2 1 2 1 ) 2 ( n n s x x n n t , где 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 1 1 2 n n s n s n s 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 | ) 2 ( | ) 2 ( ) 2 ( t n n t t n n t t n n t О равенстве дисперсий 2 2 2 1 2 1 , - не известны ) ( ) 1 , 1 ( 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 s s s s n n F 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 ) 1 , 1 ( ) 1 , 1 ( F n n F F n n F О генеральной дисперсии 2 0 2 - не известно 2 0 2 2 ) 1 ( ) 1 ( s n n 2 0 2 2 0 2 2 0 2 A A A 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( n n n Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 16 Пример. В фирме работают два менеджера, управляющие проектами. В прошлом году менеджер А управлял 11 проектами и получил следующие значения доходности: -1,74 -4,21 4,59 3,56 1,71 0,69 -2,09 -1,16 4,05 1,86 -0,88. Менеджер Б управлял 15 проектами и получил такие результаты: -1,05 4,97 -2,04 3,59 -0,21 0,45 -0,24 -1,04 4,04 4,39 0,45 -0,49 2,52 3,74 4,02 Начальник отдела хочет уволить менеджера А по личным причинам. Он рассматривает следующую возможную формулировку причины увольнения: «Проекты, руководимые менеджером А, давали в среднем меньшую доходность, чем проекты менеджера Б». Оправдана ли эта формулировка? Решение. Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями дает следующие результаты: А Б Среднее 0,58 1,54 Дисперсия 8,05 5,80 Наблюдения 11 15 Объединенная дисперсия 6,74 Гипотетическая разность средних 0 df 24 t-статистика -0,93 P(T<=t) одностороннее 0,18 t критическое одностороннее 1,71 P(T<=t) двухстороннее 0,36 t критическое двухстороннее 2,06 Поскольку абсолютное значение выборочной t-статистики равно 0,93, что меньше и t критического одностороннего (1,71), и t критического двухстороннего (2,06), то у нас нет статистических оснований отвергать основную гипотезу о равенстве доходностей, обеспечиваемых обоими менеджерами. Таким образом, предлагаемая формулировка причины увольнения неоправданна. Другие возможные формулировки причины увольнения: «Проекты, руководимые менеджером А, давали в среднем доходность, меньшую, чем плановая (по статье 38 Устава плановая доходность составляет 1.5» «Проекты, руководимые менеджером А, более рискованные (в терминах дисперсии доходности), чем проекты менеджера Б» «Проекты, руководимые менеджером А, более рискованные, чем предполагается Уставом (по статье 39 Устава максимально приемлемый риск равен 4)». Оправданы ли эти формулировки? Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 17 1. Среднее время жизни электрической лампочки по выборке из 25 наблюдений оценивается в 450 часов, а стандартное отклонение в 50 часов. Найдите доверительный интервал для ожидаемого срока службы лампочки. Какие предположения вам необходимо сделать? 2. Случайная величина подчиняется однопараметрическому закону распределения вероятностей с функцией плотности x x f exp 1 ) ( при x 0 . Пусть имеются данные случайной выборки n X из генеральной совокупности, подчиняющейся этому распределению. Выведите на основании этих данных оценку максимального правдоподобия для неизвестного параметра X X , , , 2 1 и докажите, что эта оценка будет состоятельна. 3. Пусть n X - случайная выборка из генеральной совокупности, подчиняющейся равномерному закону распределения на отрезке X X , , , 2 1 100 , Найдите оценку неизвестного параметра с помощью метода моментов. 4. Имеются две независимые случайные выборки из одной генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному закону распределения с математическим ожиданием и дисперсией 2 . В первой выборке число наблюдений 1 n и выборочное среднее 1 1 1 1 1 1 n X n i i X . Во второй выборке число наблюдений 2 n и выборочное среднее 2 1 2 1 2 n i i X . Предлагаются две оценки для неизвестного параметра 2 n X : 2 / 2 1 1 X X 2 1 2 2 1 1 2 / n n X n X n Сравните свойства этих оценок (несмещенность, эффективность, состоятельность). 5. Крупная торговая фирма желает открыть в новом районе города филиал. Известно, что фирма будет работать прибыльно, если еженедельный средний доход жителей района превышает 400 марок. Также известно, что дисперсия дохода 2 = 400. Перед аналитиком фирмы стоят следующие задачи: а) определить правило принятия решения, с помощью которого, основываясь на выборке n=100 и уровне значимости =0,05, можно установить, что филиал будет работать прибыльно; б) рассчитать вероятность того, что при использовании этого правила будет совершена ошибка второго рода, если в действительности средний доход за неделю достигает 406 марок; в) считая альтернативное значение генерального среднего дохода равным 430 маркам, рассчитать объем выборки, при котором риск ошибки 1-го рода не превысит =0,025, а риск ошибки 2-го рода не превысит =0,05. Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 18 6. Статистика по страховому обществу утверждает, что только 3 из 10 визитов агента заканчиваются заключением договора о страховании. Однако агент Иванов в результате 100 визитов за месяц заключил 40 договоров. Если вы – начальник Иванова, то вы сочтете результат случайным или оцените высокую квалификацию Иванова? 7. Средненедельный объем продаж для 15 торговых точек фирмы в районе А составляет 3000 долларов при ˆ =500 долларов, а для 10 торговых точек в районе Б – 2600 долларов при ˆ =600. Значимо ли различие средненедельных объемов продаж в районах А и Б при уровне значимости =0,05? 8. Общим показателем ликвидности фирмы является коэффициент ликвидности, определяемый как отношение текущего актива к текущему пассиву. Достаточно высокий коэффициент позволяет утверждать, что фирма сможет выполнить краткосрочные обязательства. В следующей таблице приведены коэффициенты ликвидности выборки из 200 фирм. Можем ли мы сказать с 10% уровнем значимости, что выборка подчиняется нормальному распределению? Коэффициент ликвидности 0-1.0 1.0-1. 1.5-2.0 2.0-2.5 2.5-3.0 3.0-4.0 частота 20 33 47 40 31 29 9. Тщательное исследование рынка является важным для управляющего маркетингом, так как полученная информация может оказаться ключевым фактором при принятии решения. Однако влияние информации на маркетинг определяется тем, насколько управляющие полагаются на нее. Последние исследования в этой области в четырех различных отраслях промышленности привели к даны м, отображенным в следующей таблице, которая показывает отношение к исследованиям рынка и их значение при принятии решений. Имеется ли достаточно оснований утверждать, что восприятие исследований рынка различается в четырех рассматриваемых отраслях при 5% уровне значимости? Тип отрасли Восприятие исследований рынка Потребительские фирмы Производство Розничная и оптовая тоорговля Финансы и страхование Небольшое значение 9 22 13 9 Умеренное 29 41 6 17 Большое 26 28 6 27 Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 19 1.4.1 Метод наименьших квадратов без предположения о случайном характере остатков регрессии В приведенных ниже задачах будут встречаться следующие обозначения: X Y - линейная регрессия, где , , ) ( 1 k X X I X n k R X X I Y ,..., , , 1 I - единичный вектор, T T X X X X P 1 ) ( - матрица оператора проектирования на подпространство вектор - столбцов матрицы Х, PY Y ˆ , , Y Y ˆ ˆ I I II T T / - матрица оператора проектирования на единичный вектор, n i i Y Y TSS 1 2 ) ( -сумма квадратов отклонений от среднего, 2 ) ˆ ( Y Y ESS i - объясненная с помощью регрессии сумма квадратов отклонений от среднего, n i i RSS 1 2 ˆ - сумма квадратов остатков регрессии. 1. Доказать, что если n R b a , , то b da b a d T ) ( , где T n a a da d ,..., 1 2. Доказать, что если B – симметричная матрица, то 2 ) ( Ba da Ba a d T 3. Показать, что для регрессии X Y задача минимизации суммы квадратов остатков регрессии по параметрам сводится к решению системы нормальных уравнений Y X X X T T 4. Доказать, что если ранг матрицы Х является максимальным, то система нормальных уравнений (см. задачу 3) имеет единственное решение. 5. Доказать, что если ранг матрицы Х меньше максимального, то система нормальных уравнений (см. задачу 3) имеет бесконечное множество решений на всех решениях системы достигается минимум суммы квадратов остатков регрессии 6. Найти среди векторов ˆ , ˆ , , пространства n ,..., , , 1 Y X X I Y k R пары ортогональных. 7. Как связаны векторы ˆ и ? 8. С помощью матриц Р и представить RSS, ESS, TSS в виде квадратичных форм вида AY Y ' Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 20 9. Показать, что если в матрице Х линейной регрессии X Y есть единичный столбец в явном виде либо в виде линейной комбинации столбцов этой матрицы, то а) I PI , где , T T X X X X P 1 ) ( I - единичный вектор б) 0 ˆ 1 n i i в) n i i n i i Y Y 1 1 ˆ г) Y Y ˆ д) RSS ESS TSS 10. Оценив с помощью метода наименьших квадратов линейную регрессию X Y , получили вектор оцененных значений зависимой переменной 1 ˆ Y . 11. Оценив линейную регрессию Za с тем же зависимым вектором и матрицей факторов Y XH Z , где H – ортогональная матрица, получили вектор оцененных значений зависимой переменной 2 ˆ Y , равный 1) 2) 3) 4) 5) 1 ˆ Y 1 ˆ Y H 1 ˆ Y H T H Y 1 ˆ H Y H T 1 ˆ Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 21 1.4.2 Коэффициент множественной детерминации и коэффициент множественной детерминации, скорректированный на число степеней свободы Для регрессии X Y коэффициент множественной детерминации R 2 определяется следующим образом: TSS ESS R 2 , изменяется в пределах [0; 1] и является показателем качества подгонки регрессии. Коэффициент множественной детерминации, скорректированный на число степеней свободы ) 1 /( ) 1 /( 1 2 n TSS k n RSS R adj 1. Доказать, что если в регрессии есть свободный член или единичный столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы Х, то TSS RSS R 1 2 2. Доказать следующие формулы для вычисления R 2 : а) ) ( ˆ ) , v( oˆ c ˆ 1 2 Y D Y X R i k i i ; б) , k i i i Y X r o c R 1 2 ) , ( ˆ где i - оценки коэффициентов регрессии в центрированных и нормированных переменных. 3. Если в регрессии j kj k j j X X Y 1 1 0 , n j ,..., 1 все k i X ij ,..., 1 , уменьшить на 1, а j Y уменьшить на 2, то коэффициент множественной детерминации R 2 1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится 4) может как увеличиться, так и уменьшиться 4. Доказать, что при линейных преобразованиях зависимой и независимых переменных регрессии 2 R не изменяется. 5. Доказать, что 2 ˆ 2 ˆ Y Y r R , где Y Y r ˆ ˆ - выборочный коэффициент корреляции между Y и Yˆ (см. обозначения в разделе 4). 6. Доказать, что для регрессии X Y 1 0 с одним объясняющим фактором 2 2 ˆ XY r R , где XY rˆ - выборочный коэффициент корреляции между X и Y . Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 22 7. Оценены регрессии X a и Y b b . Доказать, что для этих регрессий коэффициенты множественной детерминации 2 a Y 1 0 ˆ X 1 0 ˆ R совпадают и равны 1 1 2 b a R 8. Для регрессии 2 2 1 1 0 X X Y известно, что 10 1 X , 5 2 X , 12 Y , , , , 12 ) ( ˆ 1 X D 12 ) ( ˆ 2 X D 10 ) ( ˆ Y D 8 ) , v( oˆ c 2 1 X X , 10 ) , v( oˆ c 1 Y X , 8 ) , v( oˆ c 2 Y X Найти оценки МНК коэффициентов регрессии и 2 R . 9. При исключении из регрессии со свободным членом группы незначимых переменных, коэффициент множественной детерминации, скорректированный на число степеней свободы 2 adj R 1) не увеличится , 2) не уменьшится 3) может как увеличиться, так и уменьшиться. 10. При исключении из регрессии со свободным членом переменной, t – статистика коэффициента при которой меньшей 1, 1) Коэффициент множественной детерминации R 2 не увеличится 2) Коэффициент множественной детерминации R 2 не уменьшится 3) Коэффициент множественной детерминации R 2 может как увеличиться, так и уменьшиться. 4) Коэффициент множественной детерминации, скорректированный на число степеней свободы, не увеличится 5) Коэффициент множественной детерминации, скорректированный на число степеней свободы, не уменьшится 6) Коэффициент множественной детерминации, скорректированный на число степеней свободы, может как увеличиться, так и уменьшиться. 11. По n наблюдениям оценены регрессии X a a Y 1 0 и Y b b X 1 0 , причем n = 11, , 4 0 ˆ , 6 1 ˆ 1 1 b a 2 adj R для второй модели равен 1) 0,64 2) 0,8 3) 0,6 4) 0,676 5) 0,(7) 12. 2 adj R для регрессии 2 2 1 0 X a X a a Y при n = 20, 3 0 ) , ( ˆ 2 1 X X r o c , 05 0 ) , ( ˆ 1 Y X r o c 4 , 5 2 1 , и оценках третьей формы уравнений МНК равен 06 0 ) , ( ˆ 2 Y X r o c Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 23 1) 0,49 2) 0,43 3) 0,7 4) 113/170 5) 0,3(6) 13. С помощью МНК оценена зависимость потребления Y от дохода X: X Y 64 0 5 0 ˆ Если же использовать центрированные и нормированные переменные, то зависимость примет вид: . Коэффициент множественной детерминации R X Y 9 0 2 для первой модели равен 1) 0.9 2) 0,81 3) 3/ 10 4) 0, 8 5) 0,64 6) R 2 невозможно вычислить по имеющимся данным 14. Для оценки производственной функции было оценено уравнение регрессии K a L a D a D a D a D a Y 6 5 4 4 3 3 2 2 1 1 , где Y – выпуск, K – труд, L – капитал, 1 i D , если наблюдение относится к i - му кварталу и 0 иначе, . 4 ,..., 1 i Для этой регрессии верны следующие утверждения: 1) 2) 3) RSS ESS TSS TSS RSS R / 2 TSS ESS R / 2 4) TSS RSS R 1 2 5) Y Y ˆ 6) n i i 1 0 ˆ |