1.5.3. Гетероскедастичность.
Это явление характерно для перекрестных выборок. Оно часто возникает, если
анализируемые объекты неоднородны. Например, при исследовании зависимости прибыли
предприятия от размера основных фондов естественно ожидать, что для больших
предприятий
колебания
прибыли
будут
выше,
чем
для
малых,
т.е.
2 2
)
(
)
(
i
i
i
D
Y
D
.
Последствия гетероскедастичности:
оценки МНК самих коэффициентов несмещены;
оценки стандартных ошибок коэффициентов смещены;
оценки МНК коэффициентов неэффективны;
Способы диагностики (проверяется гипотеза
):
i
для
H
i
2 2
0
:
графический, график квадрата остатков от регрессоров
;
тест Уайта: выявляет значимость вспомогательной регрессионной зависимости
квадрата остатков от регрессоров и квадратов регрессоров
i
i
i
i
i
i
u
X
X
X
X
2 2
4 2
1 3
2 2
1 1
0 2
;
тесты Глейзера: выявляют значимость вспомогательных регрессионных
зависимостей модуля остатков от функциональных форм каждого регрессора
i
i
i
u
X
1 1
0
|
|
,
i
i
i
u
X
1 1
0
|
|
,
i
i
i
u
X
1 1
0
/
|
|
и т.д.
Способы устранения:
Если бы дисперсии всех ошибок были заранее известны, то для устранения
гетероскедастичности достаточно было бы оценить исходное уравнение, поделенное
почленно на стандартные отклонения ошибок
i
i
i
i
i
i
i
i
i
u
X
X
Y
2 2
1 1
0 1
.
В таком уравнении все ошибки имели бы одну и ту же дисперсию, равную единице,
поэтому оценки МНК коэффициентов были бы несмещенными и эффективными.
В реальных условиях дисперсии ошибок заранее неизвестны, и их надо
оценивать. Тогда для устранения гетероскедастичности надо делить исходное
уравнение на оценки
i
:
i
i
i
i
i
i
i
i
i
u
X
X
Y
2 2
1 1
0 1
.
Эти оценки можно получить, например, из тестов Глейзера:
2
X
1
Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 48
если, скажем, оказалась значима зависимость
i
i
i
u
X
1 1
0
|
|
, то можно все
исходное уравнение поделить на
i
i
X
1 1
0
или даже просто на
i
X
1
.
Можно использовать оценки стандартных ошибок в форме Уайта,
позволяющие учесть гетероскедастичность.
Другим способом устранения гетероскедастичности может быть
изменение
функциональной
формы
регрессионной
зависимости,
например,
логарифмирование или дефлирование переменных. Такие функциональные преобразования
сжимают масштаб переменных, а, следовательно, уменьшают разброс дисперсии.
1. Наиболее эффективной оценкой коэффициента
для модели
i
i
Y
,
0
)
(
i
M
, 0
)
(
j
i
M
,
, в классе линейных несмещенных оценок является:
2 2
/
)
(
i
i
X
V
0
i
X
1)
Y
; 2)
X
Y
Y
I
I
I
'
)
'
1
; 3)
(
; 4)
n
i
i
n
i
i
i
X
X
Y
1 1
; 5)
n
i
i
n
i
i
i
X
X
Y
1 1
/
1
/
; 6)
n
i
i
n
i
i
i
X
X
Y
1 2
1 2
; 7)
n
i
i
n
i
i
i
X
X
Y
1 2
1 2
/
1
/
2.
Дисперсия оценки коэффициента
в предыдущей задаче при X=(1, 2, 3)’ , полученная обобщенным МНК, будет меньше дисперсии оценки, полученной обычным МНК с учетом особенностей ковариационной матрицы ошибок, примерно на
1) 5%
2) 20%
3) 50%
4) 70%
5) 90%
3. В регрессионной модели
i
i
i
X
Y
, где
0
)
(
i
M
,
0
)
(
j
i
M
,
,
2 2
)
(
i
i
w
V
дисперсия ошибки индивидуального прогноза равна
1)
)
)
(
1
(
2 2
1 2
i
i
i
n
X
w
X
; 2)
)
(
2 2
1 2
i
i
i
n
X
w
X
; 3)
i
i
n
X
X
X
)
(
)
(
2 2
1 2
;
4)
)
)
(
)
(
1
(
2 2
1 2
i
i
n
X
X
X
X
; 5)
)
)
(
1
(
2 1
2
i
i
i
n
X
w
X
4.
Для регрессии
X
Y
0
с
M
, математическое ожидание квадратичной формы
2 2
1 0
0
]
[
n
Var
равно
1)
n
i
i
n
1 2
1 1
2)
n
i
i
n
1 2
1
3)
4)
n
i
i
1 2
n
i
i
n
1 2
1 1
5)
n
i
i
n
1 2
5.
Для оценивания регрессионной модели
i
i
Y
, где
0
)
(
i
M
,
0
)
(
j
i
M
, используются следующие выборочные данные:
i
i
X
V
)
(
2 1
2 1
5 4
3 0
1 2
1
Y
X
Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 49
Пусть известно теоретическое значение параметра
. Вычислите и сопоставьте теоретические значения дисперсии оценки коэффициента
2
, полученные с помощью МНК без учета гетероскедастичности и с учетом.
6.
Для регрессии из предыдущей задачи найдите оценку коэффициента регрессии и теоретическую дисперсию этой оценки с помощью обобщенного МНК.
Сопоставьте с результатами предыдущей задачи.
7.
Найдите способ оценивания неизвестного теоретического параметра
2
для регрессии из задачи 4. Проверьте гипотезу о значимости параметра
, используя а) только оценки МНК; б) оценки МНК со
стандартными ошибками в форме Уайта; в) оценки обобщенного МНК.
Есть ли различия в выводах?
8.
Рассматривается простая линейная регрессионная модель
iiiXY
2 1
, где случайные ошибки
i
независимо распределены, и
- нестохастический регрессор. Опишите процесс тестирования гипотезы
iX: гомоскедастичность,
0
Hпротив альтернативы
:
AH
iizV2 1
exp
Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 50
1.5.4 Автокорреляция.
Это явление характерно в основном для временных рядов, поскольку они обладают
естественной упорядоченностью, и сегодняшние значения переменных во многом
обусловлены их прошлыми значениями, т.е.
0
)
,
cov(
j
t
t
является естественным
следствием связи между значениями
и
. При анализе перекрестных выборок
автокорреляция тоже встречается, но она бывает вызвана ошибками спецификации.
t
Y
j
t
Y
Внешние признаки:
очень высокие значения
2
R ;
высокие значения t-статистик;
несущественные переменные кажутся значимыми.
Последствия автокорреляции:
оценки МНК самих коэффициентов несмещены;
оценки стандартных ошибок коэффициентов смещены;
t-статистики неадекватны.
Способы диагностики (проверяется гипотеза
0
:
0
H
, где
)
,
(
1
t
t
cor
):
графический, график остатков от номера наблюдения или от предыдущего
значения остатков
статистика Дарбина-Уотсона:
n
t
t
n
t
t
t
e
e
e
DW
1 2
2 2
1
)
(
. Она может
принимать от 0 до 4. В статистических таблицах можно найти критические значения
этой статистики:
L
d
и
U
d . Если
U
d < DW<4 -
U
d (это значит, что DW близка к 2), то
автокорреляция отсутствует. Если 0< DW <
L
d
, то наблюдается положительная
автокорреляция, если 4 -
L
d
< DW <4, то отрицательная. А если
L
d
< DW <
U
d или 4 -
U
d < DW < 4 -
L
d
, то тест не работает. Он не работает также в регрессии без
свободного члена, в регрессии со стохастическими регрессорами и в случаях, когда
автокорреляционная зависимость между случайными ошибками отличается от
зависимости вида
t
t
u
1
t
.
Тест Бройша-Годфри: выявляет значимость зависимости остатков от их
предшествующих значений во вспомогательной регрессии
t
t
t
t
t
t
u
X
X
2 4
1 3
2 2
1 1
0
(здесь включено два предшествующих значения, но можно включить и больше).
В пакете EViews можно построить коррелограмму и посмотреть на статистику
Q Бокса-Льюнга. Это позволяет выявлять автокорреляцию более сложных видов.
Способы устранения:
Использование стандартных ошибок в форме Навье-Веста
t
t
1
t
Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 51
Оценивание обобщенным МНК или методом максимального правдоподобия с ошибками, подчиняющимися случайному процессу ARMA(p, q).1.
Статистика Дарбина-Уотсона определяется по остаткам регрессионной модели следующим образом:
1)
nttnttteeeDW1 2
2 1
; 2)
ntttntteeeDW1 1
2 2
; 3)
nttnttteeeDW1 2
2 2
1
)
(
;
4)
nttntteeDW1 2
2 2
1
; 5)
nttnttteeeDW1 2
1 2
1
)
(
2.
Если в регрессии обнаружена автокорреляция типа AR(1), то статистика Дарбина-
Уотсона и оценка коэффициента автокорреляции ρ соотносятся между собой следующим образом:
1) ρ ≈ 2(1 - DW); 2) DW ≈ 2(1- ρ); 3) DW ≈ ρ/2; 4) ρ ≈ DW/2; 5) ρ ≈ DW.
3.
Статистика Дарбина-Уотсона,,
используемая для диагностики автокорреляции, может принимать значения:
1) от -∞ до +∞; 2) от 0 до +∞; 3) от -∞ до 0; 4) от 0 до 4; 5) от -∞ до 0 и от 4 до +∞.
4.
Статистика Дарбина-Уотсона, используемая для диагностики автокорреляции, в отсутствии автокорреляции
1) подчиняется F- распределению; 2) подчиняется нормальному распределению;
3)подчиняется
- распределению; 4) подчиняется стандартному нормальному распределению;
2
5) подчиняется t – распределению; 6) не подчиняется ни одному из перечисленных распределений.
5.
Тест Дарбина-Уотсона для диагностики автокорреляции неприменим
1) вообще; 2) если в модели есть свободный член; 3) если среди регрессоров есть
;
1
tY4) если
)
1
(
AR
; 5) если среди регрессоров нет
1
tY6.
При оценивании модели
tttXY
обнаружена автокорреляция и оцененная регрессия остатков показала, что
1 6
0
ttee. Чтобы провести корректное оценивание, необходимо применить метод наименьших квадратов к преобразованным данным, причем для первого наблюдения будет использовано преобразование:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
1
*
1 1
*
1 8
0 8
0
XXYY
1
*
1 1
*
1 6
0 6
0
XXYY
1
*
1 1
*
1 4
0 4
0
XXYY
1
*
1 1
*
1 6
0 6
0
XXYY
84 0
84 0
1
*
1 1
*
1
XXYY
7.
В двушаговой процедуре Дарбина на 1-ом шаге оценивается вспомогательная регрессионная модель:
1)
tttXY
; 2)
tttXY
; 3)
tttYY
1
;
Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 52 4)
t
t
t
t
t
Y
X
X
Y
1 1
; 5)
t
t
t
t
Y
X
Y
1 8.
Оценкой коэффициента автокорреляции в двушаговой процедуре Дарбина служит:
1) свободный член; 2) коэффициент при
; 3) коэффициент при
;
t
X
1
t
X
4) коэффициент при
; 5) отношение коэффициентов при и при
1
t
Y
1
t
X
t
X
9.
Статистика Томаса-Уоллиса служит для обнаружения автокорреляции остатков вида
1)
t
t
t
t
u
2 2
1 1
; 2)
2 2
1 1
t
t
t
t
u
u
u
; 3)
t
t
t
u
4 4
;
4)
2 2
1 1
t
t
t
t
u
; 5)
t
t
t
u
2 2
10.
В стационарной регрессионной модели
t
t
t
X
Y
, в которой
1 1
t
t
t
t
u
u
, а
, и связаны соотношением:
)
,
0
(
2
E
N
u
u
2
2
u
1)
2 2
2 2
1 1
u
; 2)
2 2
2 1
u
; 3)
2 2
2 2
2 2
1
u
;
4)
2 2
2 2
1 2
1
u
; 5)
2 2
2 2
1 2
u
; 6)
2 2
2 2
2 1
2
u
11.
а) Объясните, что означает понятие «зона неопределенности» для теста Дарбина-
Уотсона. б) Объясните, почему автокорреляция может возникнуть как следствие неверной функциональной формы. в) Объясните, почему автокорреляция может возникнуть как следствие пропущенных существенных переменных. г) Объясните, почему добавление лаговых переменных зависимых и независимых снимает проблему автокорреляции 1-ого порядка. Приведите хотя бы две причины того, что это решение не всегда бывает предпочтительным. д) Приведите пример, когда автокорреляция 1-ого порядка влечет за собой несостоятельность оценок МНК. е) Объясните, когда следует использовать стандартные ошибки в форме Навье-
Уэста. ж) Объясните пошагово, как вы будете вычислять оценки коэффициентов модели
t
t
t
X
Y
с помощью доступного МНК, если случайные ошибки подчиняются автокорреляционному процессу
t
t
t
t
u
2 2
1 1
12.
Снимает ли проблему автокорреляции переход к первым разностям? Рассмотрите модель
t
t
t
X
Y
, где
t
t
t
u
1
и
1
t
t
t
u
u
. Сравните автокорреляцию в исходной модели и в модели первых разностей
t
t
1 1
t
t
X
X
1
t
t
Y
Y
Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 53 13.
В регрессионной модели
t
t
t
X
Y
, где
1 1
t
t
t
t
u
u
, а
)
,
0
(
, строится регрессия остатков МНК на их лаговые значения
t
t
v
2
E
N
u
u
t
1
. Какой смысл несет коэффициент
?
14.
Общепризнанным фактом является тот, что статистика Дарбина-Уотсона подходит только для тестирования наличия авторегрессии ошибок 1-го порядка. Какую комбинацию коэффициентов модели оценивает статистика Дарбина-Уотсона в каждом из следующих случаев: AR(1), AR(2), MA(1)? В каждом случае предполагается, что регрессионная модель не содержит лаговых значений зависимой переменной. Почему это предположение является существенным для ваших выводов?
Скачать 1.27 Mb.