Сборник задач по эконометрике2 для студентов нематематических специализаций Кафедра математической

• Название: Сборник задач по эконометрике2 для студентов нематематических специализаций Кафедра математической
• Дата: 28.02.2019
• Размер: 1.27 Mb.
• Имя файла: ratnikova_t_a_demidova_o_a_sbornik_zadach_po_ekonometrike_2.pdf
• Тип: Сборник задач; #69190
• страница: 1 из 11

Государственный университет
В
В
ы ы
с с
ш ш
а а
я я
ш ш
к к
о о
л л
а а
э э
к к
о о
н н
о о
м м
и и
к к
и и
Инновационная образовательная программа ГУ-ВШЭ
О.А. Демидова
Т.А. Ратникова
Сборник задач по эконометрике-2 для студентов нематематических специализаций
Кафедра математической
экономики и эконометрики
Москва, 2006 г.

Демидова О.А, Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 2
Цель учебного пособия (задачника) – облегчить студентам нематематических специализаций, обучающихся в магистратуре экономического факультета ГУ-ВШЭ, изучение курса «Эконометрика-2».
В задачник вошли материалы семинарских занятий и контрольных работ по эконометрике-2, которые предлагались в течение нескольких последних лет магистрантам экономического факультета ГУ-ВШЭ, обучающимся по финансовым специализациям, а также по специальностям «Институциональная экономика» и «Экономическая социология»
Эконометрический анализ данных на сегодняшний день является необходимым элементом профессионального образования экономистов, поскольку служит основой для принятия решений в таких сферах деловой активности, где быстро меняется коньюктура и конечный результат обладает высокой чувствительностью к ошибкам. В курсе рассматриваются различные аспекты множественного регрессионного анализа, анализ динамических моделей, введение в анализ качественных и панельных данных.
Решение задач из предлагаемого сборника призвано способствовать развитию адекватного восприятия и использования математического языка, на котором принято излагать современные эконометрические подходы к анализу экономических явлений, развить навыки построения эконометрических моделей по реальным данным и обоснованного выбора методов оценивания.
Задачник содержит тесты, упражнения и задачи как теоретического, так и прикладного характера. Решение прикладных задач предполагает использование эконометрических компьютерных пакетов Eviews и STATA. Данные взяты как из зарубежных, так и из российских источников. Некоторые главы задачника снабжены краткими теоретическими сведениями, необходимыми для решения задач.
Оглавление.
Глава 1. Задачи и упражнения.
1.1.
Элементы линейной алгебры 4 1.2.
Теория вероятностей 7 1.3.
Математическая статистика 13 1.4.
Классическая линейная регрессионная модель (КЛРМ)
1.4.1.
Метод наименьших квадратов без предположения о случайном характере остатков регрессии 19 1.4.2.
Коэффициент множественной детерминации и коэффициент множественной дететминации, скоректированный на число степеней свободы 21 1.4.3.
Три формы системы нормальных уравнений 24 1.4.4.
Метод наименьших квадратов с предположением о случайном характере ошибок регрессии. Теорема Гаусса-Маркова 27 1.4.5.
Классическая линейная регрессия с нормально распределенными случайными ошибками. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, дисперсии ошибок, прогнозных значений 29 1.4.6.
Проверка статистических гипотез 33

Демидова О.А, Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 3
1.4.7.
Тест Chow для диагностики структурной стабильности 38 1.4.8.
Фиктивные (dummy) переменные 41 1.5.
Оценивание в условиях отклонения от КЛРМ
1.5.1. Квазимультиколлинеарность данных. Метод главных компонент 43 1.5.2. Обобщенный метод наименьших квадратов 46 1.5.3. Гетероскедастичность 47 1.5.4. Автокорреляция 50 1.5.5. Выбор функциональной формы модели. Интерпретация коэффициентов различных форм уравнений МНК. Ошибки спецификации 54 1.5.6. Метод максимального правдоподобия 57 1.5.7. Регрессионные динамические модели 59 1.5.8. Стохастические регрессоры. Инструментальные переменные 63 1.6.
Модели бинарного выбора 66 1.7.
Модели анализа панельных данных 69 1.8.
Системы внешне не связанных и одновременных уравнений 73 1.9.
Обобщенный метод моментов 76
Глава 2. Практические задания.
2.1.Построение функций спроса на основные виды товаров и услуг 78 2.2.Исследование зависимости заработной платы от уровня образования индивидуума 82 2.3.Построение и исследование уравнения заработной платы 86 2.4.Оценивание отдачи от человеческого капитала в условиях переходного периода по панельным данным 90 2.5.Оценка модели CAPM 93 2.6.Формирование цены спаржи 94 2.7.Формирование цен компьютеров 94
Ответы к выборочным задачам главы 1 95
Список литературы 100
Приложения 101

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 4
1.1. Элементы линейной алгебры
Определение 1 Отличный от нулевого вектор u называется собственным вектором
матрицы А, если существует такое число

, что
u
Au


. Число

называется
собственным значением (числом) матрицы А.
Определение 2 Для матрицы А размером
n
n

многочлен
)
det(
)
(
E
A
A





, где E –
единичная матрица, называется характеристическим.
Утверждение 1 Если

- собственное значение матрицы А, то множество векторов
}
:
{
u
Au
u


является линейным подпространством размерности, не превышающей
кратности

. Это подпространство называется собственным подпространством,
отвечающим собственному значению

Утверждение 2 Все собственные числа матрицы А являются корнями
характеристического многочлена матрицы А (являющегося многочленом степени n по

).
Для нахождения собственных векторов матрицы А необходимо решить систему
линейных уравнений
0
)
(


u
E
A

для каждого корня характеристического уравнения.
Линейно независимые решения системы при заданном

образуют базис собственного
подпространства, отвечающего собственному значению

.
Определение 3 Матрица, не изменяющаяся при транспонировании, называется
симметричной.
Утверждение 3 Симметричная матрица размера n имеет n действительных
собственных чисел (с учетом кратности).
Утверждение 4 Собственные векторы, соответствующие различным собственным
значениям, ортогональны.
Утверждение 5 У симметричной матрицы размера n существует n линейно
независимых собственных векторов.
Определение 4 Если вектор - столбцы матрицы С ортогональны, а их длина равна 1, то
матрица С называется ортогональной.
Утверждение 6 Для ортогональной матрицы обратная и транспонированная матрицы
совпадают.
Утверждение 7 Определитель ортогональной матрицы равен единице.
Утверждение 8 Симметричную матрицу А можно представить в виде:
C
C
A



, где

- матрица, у которой на диагонали – собственные числа
матрицы А, а остальные элементы равны 0, а С – ортогональная матрица.
Определение 5 След квадратной матрицы А – сумма ее диагональных элементов, т.е.



n
i
ii
a
A
tr
1
Свойства следа матрицы:
1)
trB
trA
B
A
tr


 ]
[
2)
trA
A
tr


3)
, если соответствующие произведения матриц существуют
]
[
]
[
BA
tr
AB
tr


Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 5
4) След симметричной матрицы равен сумме ее собственных чисел (с учетом
кратностей).
Определение 6
Ранг матрицы А – число линейно независимых строк (или столбцов) этой
матрицы.
Утверждение 9
Ранг матрицы равен порядку наибольшего отличного от 0 минора.
Свойства ранга матрицы:
1)
]
[
],
[
]
[
B
rang
A
rang
AB
rang

2)
]
[
]
[
A
rang
A
rang


3)
]
[
]
[
A
rang
A
A
rang


4) Ранг симметричной матрицы равен количеству ее отличных от 0 собственных чисел
(с учетом кратностей).
Определение 7
Если А – симметричная матрица размера (n

n), то ей можно поставить
в соответствие квадратичную форму
AX
X 
, где
n
R
X

.
Определение 8
Если для любого ненулевого вектора
n
R
X

имеет место неравенство
, то соответствующая квадратичная форма называется положительно
определенной (полуопределенной).
)
0
(
0


AX
X
Определение 9
Если для любого ненулевого вектора
n
R
X

имеет место неравенство
, то соответствующая квадратичная форма называется отрицательно
определенной (полуопределенной).
)
0
(
0


AX
X
Утверждение 10
Если все собственные числа симметричной матрицы А положительны
(неотрицательны), то соответствующая квадратичная форма положительно
определена (полуопределена), а если отрицательны (неположительны), то отрицательно
определена (полуопределена).
Критерий Сильвестра:
Если все главные миноры матрицы А положительны
(неотрицательны), то соответствующая ей квадратичная форма положительно
определена (полуопределена). Если же знаки главных миноров матрицы А чередуются,
начиная с отрицательного, то соответствующая квадратичная форма отрицательно
определена.
Определение 10
Матрица А называется идемпотентной, если А
2
= А.
Определение 11
Симметричная идемпотентная матрица называется проекционной.
1.
Даны вектор-столбцы
T
,
T
b
)
3
,
4
,
7
(
a
)
12
,
4
,
3
(



Найти а)
, б)
, в)
a
2
b
a

b
a
3 2

, г) скалярное произведение векторов a и b, д) длину вектора а.
2.
Даны матрицы








1 5
4 2
3 1
A
,
,









3 1
2 1
1 0
B











5 0
6 1
4 2
C
Найти а) 3А, б) 3А + 5В, в) AC, г) CA.

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 6
3.
Даны матрицы







4 3
2 1
A
,











5 4
2 1
2 1
4 3
1
B
Найти а) det А, б) det В, в) A
-1
, г) B
-1
, д) след матрицы В.
4.
Дана матрица
. Найти
T
n
X
X
X







1 1
1
X
X
T
5.
Доказать, что симметричными являются матрицы а)
X
X
T
, б)
, в)
, где I –единичный вектор - столбец.
T
T
X
X
X
X
X
P
1
)
(
)
(


I
I
II
T
T
/


6.
Найти ранг матрицы а)
, б)
 (см. задачу 5 в).











9 8
7 6
5 4
3 2
1
A
7.
Доказать, что если ранг матрицы Х равен к, то ранг матрицы
X
X
T
также равен к.
8.
Доказать, что собственные значения идемпотентной матрицы равны 0 или 1.
9.
Привести пример несимметричной идемпотентной матрицы.
10.
Доказать, что для проекционной матрицы след и ранг совпадают.
11.
Доказать, что если матрица Р идемпотентна, то матрица M = E – P, (где E – единичная матрица), тоже идемпотентна.
12.
Доказать, что матрицы Р(Х) и
 из задачи 5 являются идемпотентными.
13.
Найти след матриц Р(Х) и
.
14.
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы а)
, б)
, в)








4
,
0 8
,
0 1
,
0 3
,
1
A








1 5
,
0 2
3
B











1 1
3 1
5 1
3 1
1
C
15.
Доказать, что определитель симметричной матрицы равен произведению ее собственных чисел.
16.
Доказать что матрица
X
X
T
является неотрицательно определенной.

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 7
1.2. Теория вероятностей
Случайные величины
Определение 1. Случайными величинами называют числовые функции, определенные на
множестве элементарных событий.
Определение 2. Функцией распределения случайной величины Х называется функция
.
)
(
)
(
x
X
P
x
F
X


Свойства функции распределения
1)
0
)
(
lim



x
F
x
2)
1
)
(
lim



x
F
x
3)
является неубывающей.
)
(x
F
Определение 3
. Если случайная величина принимает конечное или счетное множество
значений, то она называется дискретной.
Дискретные случайные величины удобно задавать с помощью таблицы,
в первой строке которой перечислены значения, которые принимает случайная величина,
а во второй – соответствующие вероятности:
X X
1
… X
n
P p
1
… p n
Определение 4
. Если существует кусочно-непрерывная функция
такая, что
, то случайная величина Х называется непрерывной, а
- ее функцией
плотности.
)
(x
f
(
)
(
)
(
'
x
f
x
F
X

)
x
f
Свойства функции плотности
1)
0
)
(

x
f
2)
1
)
(





dx
x
f
Основными числовыми характеристиками случайных величин являются математическое
ожидание
MX - среднее значение случайной величины Х и дисперсия
- мера
отклонения от среднего.
)
(
X
D
Определение 6.
Математическое ожидание для дискретной случайной величины
находится по формуле
, а для непрерывной случайной величины
.
i
n
i
i
X
p
MX



1





dx
x
xf
MX
)
(
Определение 7
. Дисперсией случайной величины Х называется
.
2
)
(
)
(
MX
X
M
X
D


Определение 8.
. Ковариацией случайных величин Х и Y называется:
)]
)(
[(
)
,
cov(
MY
Y
MX
X
M
Y
X



Определение 9.
. Коэффициентом корреляции случайных величин Х и Y называется:

Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 8
)
(
)
(
)
,
cov(
Y
D
X
D
Y
X
r
XY

.
Свойства математического ожидания и дисперсии случайных величин
1)
C
MC

2)
)
(
)
(
X
CM
CX
M

3)
,
2 1
2 1
)
(
MX
MX
X
X
M



4)
0
)
(

C
D
5)
,
)
(
)
(
2
X
D
C
CX
D

6)
)
(
)
,
cov(
2
)
(
)
(
2 2
1 1
2 1
X
D
X
X
X
D
X
X
D




где С – константа, а
- случайные величины.
2 1
,
,
X
X
X
Используя свойства для математического ожидания и дисперсии, можно доказать
формулу для вычисления дисперсии:
2 2
)
(
)
(
MX
MX
X
D


.
Утверждение
. Если
- достаточно гладкая функция (такая, что приведенный ниже
ряд сходится, а несобственный интеграл существует), то
)
(
x
g
i
n
i
i
p
X
g
X
Mg
)
(
)
(
1



, если Х – дискретная случайная величина, и





dx
x
f
x
g
X
Mg
)
(
)
(
)
(
)
(x
f
.
, если Х – непрерывная случайная величина с функцией
плотности