Определение 10
. Начальным моментом к - го порядка случайной величины Х называется
.
k
k
MX
m
Определение 11
. Центральным моментом к - го порядка случайной величины Х
называется
.
k
k
MX
X
M
)
(
Совместное распределение двух случайных величин
Пусть
- случайные величины с совместным законом распределения.
Y
X ,
Это может быть таблица, если
принимают конечное или счетное множество
значений. Закон совместного распределения случайных величин
может быть задан с
помощью совместной функции плотности
.
Y
X ,
Y
X ,
)
,
( y
x
f
Если задан совместный закон распределения, то маргинальное распределение случайной
величины X имеет вид:
n
i
Y
Y
X
X
P
X
X
P
m
j
j
i
i
,....
1
),
,
(
)
(
1
для дискретного случая,
dy
y
x
f
x
f
X
)
,
(
)
(
функция плотности для непрерывной случайной величины.
Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 9
Математические ожидания и дисперсии случайных величин
Y определяются как
обычно.
X ,
Условная плотность распределения определяется следующим образом:
)
(
)
,
(
)
(
i
j
i
i
j
X
X
P
Y
Y
X
X
P
X
X
Y
Y
P
в дискретном случае,
)
(
)
,
(
)
(
x
f
y
x
f
x
y
f
X
в непрерывном случае.
Определение 12
. Если
)
(
)
(
j
i
j
Y
Y
P
X
X
Y
Y
P
для всех
n для дискретного
случая или
i
,...,
1
)
(
)
(
y
f
x
y
f
для непрерывного случая, то случайные величины Х и Y
называются независимыми.
В случае независимости случайных величин Х и Y
)
(
)
(
)
,
(
j
i
j
i
Y
Y
P
X
X
P
Y
Y
X
X
P
в дискретном случае,
)
(
)
(
)
,
(
y
f
x
f
y
x
f
Y
X
в непрерывном случае.
Определение 13
.Условное математическое ожидание
)
(
)
(
i
j
j
i
X
X
Y
Y
P
Y
X
X
Y
M
в дискретном случае,
dy
x
y
yf
X
Y
M
)
(
)
(
в непрерывном случае.
Случайные векторы
Пусть
- случайный вектор, каждая координата которого является
случайной величиной. Как и в двумерном случае, распределение случайной величины
может быть задано с помощью многомерной таблицы или с помощью n – мерной
функции плотности.
'
1
)
(
n
X
X
X
Аналогом математического ожидания в многомерном случае является вектор
математических ожиданий
,
'
1
))
(
),...,
(
(
]
[
n
X
M
X
M
X
M
аналогом дисперсии – ковариационная матрица
)
(
)
,
cov(
)
,
cov(
)
,
cov(
)
(
)
,
cov(
)
,
cov(
)
,
cov(
)
(
])'
[
])(
[
((
]
var[
2 1
2 2
1 2
1 2
1 1
n
n
n
n
n
X
D
X
X
X
X
X
X
X
D
X
X
X
X
X
X
X
D
X
M
X
X
M
X
M
X
,
а аналогом коэффициента корреляции – корреляционная матрица
1 1
1
]
[
2 1
2 1
2 1
2 1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
n
n
n
n
r
r
r
r
r
r
X
cor
.
Замечание
. Ковариационная и корреляционная матрица случайного вектора являются
положительно полуопределенными.
Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 10
Нормальное и связанные с ним распределения
Определение 14
. Случайная величина
X имеет нормальное распределение (
,
если функция плотности случайной величины X имеет вид
))
,
(
2
a
N
X
2 2
)
(
a
x
2 1
exp
2 1
)
(
x
f
.
Определение 15
. Случайный вектор
X имеет совместное нормальное распределение
(
))
,
(
(
n
N
X
, если функция плотности случайной величины X имеет вид
)
(
)
(
2 1
exp det
)
2
(
1
)
,...,
(
1 2
/
1
X
X
x
x
f
T
n
n
.
Определение 16
.Случайная величина Z имеет распределение «хи – квадрат» с k
степенями свободы, если
, где случайные величины
2 2
1
k
X
X
Z
n
i
X
i
,...,
1
,
независимы и имеют распределение N(0,1).
Определение 17
. Случайная величина Z имеет t - распределение с k степенями свободы,
если
k
Y
X
Z
/
, где случайные величины X и Y независимы, X имеет распределение N(0,1), Y -
распределение «хи – квадрат» с k степенями свободы.
Определение 18.
. Случайная величина Z имеет F распределение со степенями свободы m и
n, если
n
Y
m
X
Z
/
/
, где случайные величины X и Y независимы и имеют распределение «хи –
квадрат» соответственно с m и n степенями свободы.
1.
Функции плотности случайных величин X и Y соответственно имеют вид:
иначе
b
a
x
если
c
x
f
X
,
0
]
;
[
,
)
(
(равномерное распределение),
иначе
x
если
e
x
f
x
Y
,
0
,
0
,
)
(
(экспоненциальное распределение),
Найти с,
, MX, D(X), MY, D(Y), F
X
(x), F
Y
(y).
2.
Пусть случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение.
Найти ее третий и четвертый центральные моменты.
3.
Совместное распределение случайных величин X и Y задано с помощью таблицы
X
3 4 5 2 0.2 0.2 0.1 4 0.12 0.12 0.05
Y
6 0.08 0.08 0.05 а) Найти маргинальное распределение случайных величин X и Y, математическое ожидание и дисперсию каждой из величин. б) Найти распределение случайной величины Y при условии, что X = 4.
Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 11
в) Найти математическое ожидание случайной величины Y при условии, что X = 4. г) Найти ковариацию случайных величин X и Y. д) Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
4.
Пусть X и Y – непрерывные случайные величины с совместной функцией плотности
иначе
y
x
если
y
x
k
y
x
f
,
0 2
0
;
1 0
),
(
)
;
(
а) Найти к. б) Найти маргинальные функции плотности случайных величин X и Y. в) Найти MX, D(X), MY, D(Y), cov(X,Y). г) Являются ли случайные величины X и Y независимыми? д) Найти
)
5 0
(
Y
x
f
,
)
5 0
(
Y
X
M
5.
Какая из приведенных ниже матриц может быть ковариационной матрицей случайного вектора:
4 3
2 1
A
,
,
,
,
?
3 2
2 1
B
3 1
1 2
C
5 1
3 1
2 0
3 0
4
D
4
*
*
*
3
*
*
*
2
E
6.
Пусть
- случайный вектор с ковариационной матрицей
3 2
1
X
X
X
X
2 0
3 0
3 2
3 2
5
а) Найти дисперсию случайной величины
3 2
1 2
X
X
X
Y
б) Найти ковариационную матрицу случайного вектора
, где
2 1
Y
Y
Y
2 1
1
X
X
Y
,
3 2
1 2
X
X
X
Y
7.
Пусть
)
,
(
, где
2
,
2
MX
N
X
1
MX
5 2
2 1
Написать совместную функцию плотности случайного вектора Х.
8.
Пусть
)
,
0
(
n
N
, где
X
2 2
1 0
0
n
Написать совместную функцию плотности случайного вектора Х.
9.
Найти совместную функцию плотности случайной величины Y из задачи 6 б), если
)
,
0
(
3
N
X
10.
Случайные величины X
1
, X
2
, X
3
являются независимыми. X
1
и X
3
имеют
2
распределение с 12 степенями свободы, X
2
–
2 распределение с 6 степенями свободы. Случайные величины Y и Z определены следующим образом:
Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 12 Y = X 3 /( X 1 + X 2 ), Z = X 1 /( X 1 + X 2 ). Можно ли, используя таблицы для нормального, 2 , t , F распределений вычислить вероятности: а) P (Y < 2.247), б) P (Z > 0.4)? Если можно, то вычислите, если нельзя, то объясните, почему. 11. Случайные величины X 1 ,..., X 20 независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Случайные величины Y и Z определены следующим образом: XXXXY2 20 2 9 2 8 2 1 , XXXXZ2 12 2 1 2 8 2 1 Можно ли, используя таблицы для нормального, 2 , t , F распределений вычислить вероятности: а) P (Y < 1.9), б) P (Z > 0.222)? Если можно, то вычислите, если нельзя, то объясните, почему. Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 14 1.3. Математическая статистика. Совокупность всех мыслимых значений случайной величины называется генеральной совокупностью. Подмножество генеральной совокупности называется выборкой. Основная задача математической статистики – оценивание характеристик генеральной совокупности по выборке. Обо всей генеральной совокупности мы, как правило, ничего не знаем точно и можем строить лишь догадки - гипотезы. Для проверки своих гипотез мы исследуем независимую выборку из генеральной совокупности и строим на основании выборки выборочные оценки неизвестных теоретических параметров. Различают точечные и интервальные оценки. Примеры точечных оценок: niixnx1 1 - выборочное среднее (является оценкой для М(Х)), 2 1 2 ) ( 1 1 xxnnii - оценка для D(x). На основании этих оценок судят об истинных значениях параметров генеральной совокупности. Закон больших чисел утверждает, что для больших выборок приведенные выше оценки становятся очень близкими к оцениваемым параметрам. Существуют специальные методы получения оценок, например, метод моментов и метод максимального правдоподобия. Суть метода моментов состоит в приравнивании теоретических и выборочных моментов распределения и последующем выражении неизвестных теоретических параметров через наблюдаемые величины. Суть метода максимального правдоподобия - в отыскании значений неизвестных теоретических параметров, при которых совместная функция распределения (или функция плотности) выборочных СВ достигает максимума. Точечные оценки считаются «хорошими», если они обладают определенными свойствами: несмещенностью (в этом случае математическое ожидание оценки совпадает с оцениваемым теоретическим параметром); состоятельностью (это означает, что для больших выборок вероятность значимых отклонений величины оценки от значения оцениваемого теоретического параметра равна нулю); эффективностью (чем меньше дисперсия оценки, тем она считается эффективнее). Исследование свойств оценок – это отдельная теоретическая задача. Интервальные оценки строятся на основании точечных оценок и доверительной вероятности, которая позволяет судить, на сколько мы можем быть уверены, что построенный интервал будет содержать в себе неизвестный теоретический параметр. Примеры интервальных оценок: ntxXMntx 2 / 2 / ) ( - доверительный интервал для математического ожидания, который будет содержать в себе неизвестное математическое ожидание с вероятностью 1 ; Демидова О.А., Ратникова Т.А. Сборник задач по эконометрике-2 15 2 2 / 1 2 2 2 / 2 ) 1 ( ) ( ) 1 ( nXDn - доверительный интервал для дисперсии. (Здесь n – размер выборки, , - квантили соответствующих распределений с n-1 степенью свободы). 2 / t,2 2 / 2 2 / 1 Проверка статистических гипотез Теоретические основы для проверки гипотез предоставляет центральная предельная теорема: Пусть – независимая выборка из генеральной совокупности с произвольным законом распределения, характеризующимся параметрами . Тогда при достаточно больших значениях n nxx, , 1 ) ( XDM2 , ) ( Xвыборочное среднее ), , ( nNx 2 а ) 1 , 0 ( 2 Nnxz . Помимо стандартного нормального закона для проверки гипотез используется еще ряд производных от нормального распределений: - распределение Пирсона, t - распределение Стьюдента, F-распределение Фишера и др. 2 Таблица 1. Наиболее употребительные параметрические критерии проверки |
Скачать 1.27 Mb.