материал для ргр надежность. Содержание лекций Лекция 1

• Название: Содержание лекций Лекция 1
• Анкор: материал для ргр надежность
• Дата: 15.05.2022
• Размер: 1.47 Mb.
• Имя файла: MATERIAL_DLYa_RGR_po_DIAGNOSTIKE (1).doc
• Тип: Лекция; #531012
• страница: 9 из 14

Рассмотрим метод минимальных путей для расчета вероятности безотказной работы на примере мостиковой схемы, показанной на левом рисунке.

Минимальным путем называется последовательный набор работоспособных элементов системы, который обеспечивает ее работоспособность, а отказ любого из них приводит к ее отказу.

Минимальных путей в системе может быть один или несколько.

Очевидно, система с последовательным соединением элементов:



имеет только один минимальный путь, включающий все элементы.

В системе с параллельным соединением элементов:



число минимальных путей совпадает с числом элементов и каждый путь включает один из них.

 

Для мостиковой системы из пяти элементов минимальных путей четыре:

• 
  элементы 1 и 4,
  

• 
  элементы 2 и 5,
  

• 
  элементы 1, 3 и 5,
  

• 
  элементы 2, 3 и 4.
  

 
Логическая схема такой системы:



составляется таким образом, чтобы все элементы каждого минимального пути были соединены друг с другом последовательно, а все минимальные пути параллельно.

Затем для логической схемы составляется функция алгебры логики А по общим правилам расчета вероятности безотказной работы, но вместо символов вероятностей безотказной работы элементов p _i  и системы Р используются символы события ( сохранения работоспособности элемента а _i и системы А ).

Так, “отказ” рассматриваемой логической схемы состоит в одновременном отказе всех четырех параллельных ветвей, а “безотказная работа” каждой ветви - в одновременной безотказной работе ее элементов.

Последовательное соединение элементов логической схемы соответствует логическому умножению (“И”), параллельное - логическому сложению (“ИЛИ”).

Следовательно, рассматриваемая логическая схема соответствует утверждению: система работоспособна, если работоспособны элементы 1 и 4, или 2 и 5, или 1,3 и 5, или 2,3 и 4.

 

Функция алгебры логики для рассматриваемой мостиковой системы запишется:

 A = 1 - ( 1 - a₁ a₄ )(1 - a₂ a₅ )(1 - a₁ a₃а₅ )(1 - a₂ a₃а₄ )

 В этом выражении переменные а рассматриваются как булевы, т.е. могут приниматься только два значения: 0 или 1.
Тогда при возведении в любую степень k любая переменная а сохраняет свое значение:

а_i ^k = а_i

 На основе этого свойства функция алгебры логики для рассматриваемой мостиковой системы может быть преобразована к виду:

 A = a₁ a₄ + a₂ a₅ + a₁ a₃ a₅ + a₂ a₃ a₄ - a₁ a₂ a₃ a₄ - a₁ a₂ a₃ a₅ - 2 a₁ a₂ a₄ a₅ - a₂ a₃ a₄ a₅ + 2 a₁ a₂ a₃ a₅

 Заменив в этом выражении символы событий a _i их вероятностями p _i , получим уравнение для определения вероятности безотказной работы мостиковой системы

P = p₁ p₄ + p₂ p₅ + p₁ p₃ p₅ + p₂ p₃ p₄ - p₁ p₂ p₃ p₄ - p₁ p₂ p₃ p₅ - 2 p₁ p₂ p₄ p ₅ - p₂ p₃ p₄ p₅ + 2 p₁ p₂ p₃ p₄ p₅

 Для системы равнонадёжных элементов (p_i = p) последнее выражение легко преобразуется в ранее полученную формулу

P = p⁵ + 5 p⁴ q + 8 p³ q² + 2 p² q³ = 2 p⁵ - 5 p⁴ + 2 p³ + 2 p²

 Метод минимальных путей дает точное значение только для сравнительно простых систем с небольшим числом элементов.
Для более сложных систем результат расчета является нижней границей вероятности безотказной работы.

Для расчета верхней границы вероятности безотказной работы системы служит метод минимальных сечений.

Минимальным сечением называется набор неработоспособных элементов, отказ которых приводит к отказу системы, а восстановление работоспособности любого из них - к восстановлению работоспособности системы.

Как и минимальных путей, минимальных сечений может быть несколько.
Очевидно, система с параллельным соединением элементов:



имеет только одно минимальное сечение, включающее все ее элементы (восстановление любого восстановит работоспособность системы).

 
В системе с последовательным со единением элементов:



число минимальных путей совпадает с числом элементов, и каждое сечение включает один из них.

 

В рассматриваемой мостиковой системе минимальных сечений четыре:

• 
  элементы 1 и 2,
  

• 
  элементы 4 и 5,
  

• 
  элементы 1, 3 и 5,
  

• 
  элементы 2, 3 и 4.
  

 

Логическая схема системы:



 составляется таким образом, чтобы все элементы каждого минимального сечения были соединены друг с другом параллельно, а все минимальные сечения - последовательно.
Аналогично методу минимальных путей, составляется функция алгебры логики.

“Безотказная работа” этой логической системы заключается в “безотказной работе” всех последовательных участков, а каждого из них - в одновременном “отказе” всех параллельно включенных элементов.
Как видно, поскольку схема метода минимальных сечений формулирует условия отказа системы, в ней последовательное соединение соответствует логическому «ИЛИ», а параллельное – логическому «И».

Рассматриваемая схема мостиковой системы по методу минимальных сечений соответствует формулировке: система откажет, если откажут элементы 1 и 2, или 4 и 5, или 1, 3 и 5, или 2, 3 и 4.

Функция алгебры логики для мостиковой системы запишется

A = [ 1 - ( 1 - a₁ )( 1 - a₂ )] [ 1 - ( 1 - a₄ )( 1 - a₅ )] [ 1 - ( 1 - a₁ )( 1 - a₃ )( 1 - a₅ )] [ 1 - (1 - a₂ ) ( 1 - a₃ )( 1 - a₄ )]

 После преобразований с использованием свойств булевых переменных это равенство приобретает форму

 A = a₁ a₄ + a₂ a₅ + a₁ a₃ a₅ + a₂ a₃ a₄ -  a₁ a₂ a₃ a₄ - a₁ a₂ a₃ a₅ - 2 a₁ a₂ a₄ a₅ - a₂ a₃ a₄ a₅ + 2 a₁ a₂ a₃ a₅

 а после замены событий их вероятностями переходит в выражение

P = p₁ p₂ + p₂ p₅ + p₁ p₃ p₅ + p₂ p₃ p₄ - p₁ p₂ p₃ p₄ - p₁ p₂ p₃ p₅ - 2 p₁ p₂ p₄ p ₅ - p₂ p₃ p₄ p₅ + 2 p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ 

 Таким образом, для мостиковой системы из пяти элементов верхняя и нижняя границы вероятности безотказной работы, полученные методами минимальных сечений и минимальных путей, совпали с точными значениями, полученными методом прямого перебора.

 Для сложных систем это может не произойти, поэтому методы минимальных путей и минимальных сечений следует применять совместно.

 В ряде случаев анализа надежности системы удается воспользоваться методом разложения относительно особого элемента, основанным на известной в математической логике теореме о разложении функции логики по любому аргументу. Согласно ей, можно записать:

 P = p_i P ( p_i = 1 ) + q_i P ( p_i = 0 )

 где p_i и q_i = 1 – p_i - вероятности безотказной работы и отказа i - го элемента,
Р( p_i = 1 ) и Р( p_i = 0 ) - вероятности работоспособного состояния системы при условии, что i -й элемент абсолютно надежен и что i - й элемент отказал.

 

Для мостиковой схемы, состоящей из пяти элементов, в качестве особого элемента целесообразно выбрать диагональный элемент 3.

При р₃ =1 мостиковая схема превращается в параллельно-последовательное соединение:

 



 

а при р₃ = 0 – в последовательно-параллельное:

 



Для преобразованных схем можно записать:

 P(p₃ = 1) = [ 1 - ( 1 - p₃ )( 1 - p₂ ) ] [ 1 - ( 1 - p₄ )( 1 - p₅ ) ]

P(p₃ = 0) = 1 - ( 1 - p₁ p₄ )( 1 - p₂ p₅ )

 Тогда на основании ранее рассмотренной формулы

 P = p_i P ( p_i = 1 ) + q_i P ( p_i = 0 )

 получим:  P = p₃ [ 1 - ( 1 - p₁ )( 1 - p₂ ) ] [ 1 - ( 1 - p₄)( 1 - p₅ ) ] + ( 1 - p₃ ) [ 1 - ( 1 - p₁ p₄ )( 1 - p₂ p₅ ) ]

 Легко убедится, что для равнонадежных элементов эта формула обращается в формулу

 P = p⁵ + 5 p⁴ q + 8 p³ q² + 2 p² q³ = 2 p⁵ - 5 p⁴ + 2 p³ + 2 p²

 Этим методом можно воспользоваться и при разложении относительно нескольких «особых» элементов.
Например, для двух элементов (i, j) выражение P = p_i P ( p_i = 1 ) + q_i P ( p_i = 0 )

 примет вид:

 P = p_i p_j P ( p_i = 1, p_j = 1 ) + p_i q^j P ( p_i = 1, p_j = 0) + q_i p_j P ( p_i = 0, p _j = 1 ) + q_i q_j P ( p_i = 0, p_j = 0 )

 Вероятность безотказной работы мостиковой схемы, состоящей из восьми элементов, при разложении относительно диагональных элементов 3 и 6 по приведенному выше правилу определится:

 P = p₃ p₆ P ( p₃ = 1, p₆ = 1 ) + p₃ q₆ P ( p₃ = 1, p₆ = 0 ) + q₃ p₆ P ( p₃ = 0, p₆ = 1 ) + q₃ q₆ P ( p₃ = 0, p₆ = 0 )
Лекция 7. Комбинированные схемы

Большинство реальных систем имеет сложную комбинированную структуру, часть элементов которой образует последовательное соединение, другая часть – параллельное, отдельные ветви элементов образуют мостиковые схемы или соединения типа “m из n”.

 Метод прямого перебора для таких систем оказывается, практически не реализуем из-за очень большого числа возможных комбинаций.

Целесообразно в таких случаях предварительно произвести декомпозицию системы, разбив ее на простые подсистемы – группы элементов, методика расчета надежности которых известна.
Затем эти подсистемы в структурной схеме надежности заменяются квазиэлементами с вероятностями безотказной работы, равными вычисленным вероятностям безотказной работы этих подсистем.
При необходимости такую процедуру выполняют несколько раз, до тех пор, пока оставшиеся квазиэлементы не образуют структуру, методика расчета надежности которой также известна.

 В качестве примера рассмотрим структурную схему надёжности системы, имеющей сложную комбинаторную структуру:

 



Значения интенсивности отказов даны в 10^-6  ч^-1. На схеме выделенные желтым цветом m элементов являются функционально необходимыми из n параллельных ветвей.

 

Отметим, что метод прямого перебора для исходной системы потребовал бы рассмотреть 2¹⁵  возможных состояний. Для упрощения расчетов проведем декомпозицию системы, разбив ее на простые подсистемы. При этом составим расчетные зависимости для определения показателей надежности системы для различных значений наработки t системы, чтобы графически отобразить вероятность безотказной работы P (t) системы как функцию наработки t.

 В исходной схеме элементы 2 и 3 образуют параллельное соединение . Заменяем их квазиэлементом А. Учитывая,что p₂ = p₃ получим: P_А = 1 - q₁ q₂ = 1 - q² ₂ = 1 - ( 1 - p₂ )²

 

Элементы 4 и 5 также образуют параллельное соединение, заменив которое квазиэлементом В и учитывая , что p₄ = p₅ , получим P_В = 1 - q₄ q₅ = 1 - q² ₅ = 1 - ( 1 - p₅ )²

 

Элементы 6 и 7 в исходной схеме соединены последовательно. Заменяем их квазиэлементом С, для которого при p₆ = p₇ , получим P_С = p₆ p₇ = p² ₇

 

Элементы 8 и 9 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом D, для которого при p₈ = p₉ , получим P_D = 1 - q₈ q₉ = 1 - q² ₉ = 1 - ( 1 - p₉ )²

 

Элементы 10 и 11 с параллельным соединением заменяем квазиэлементом Е , причем, так как p₁₀ = p₁₁ , то P_E = 1 - q₁₀ q₁₁ = 1 - q² ₁₁ = 1 - ( 1 - p₁₁ )²

 

Элементы 12 , 13 , 14 и 15 образуют соединение "2 из 4", которое заменяем элементом F. Так как p₁₂ = p₁₃ = p₁₄ = p₁₅ , то для определения вероятности безотказной работы элемента F можно воспользоваться комбинаторным методом:

 P_F = Σ P - Σ C ^k ₄ P^k ₁₂ ( 1 - p₁₂ )^4-k = (4! / 2!2!) p² ₁₂ ( 1 - p₁₂ )² + ( 4! / 3!1! ) p³ ₁₂ ( 1 - p₁₂ ) + ( 4! / 4!0! ) p⁴ ₁₂ = 6 p² ₁₂ ( 1 - p₁₂ )² + 4 p ³ ₁₂( 1 - p₁₂ ) + p⁴ ₁₂ = 6 p² ₁₂ - 8 p³ ₁₂ + 3 p⁴ ₁₂ 

 

После таких преобразований схема примет вид:



 Элементы A, B, C, D и E образуют мостиковую схему, которую можно заменить квазиэлементом G. Для расчета вероятности безотказной работы воспользуемся методом разложения относительно особого элемента, в качестве которого выберем элемент С.

Тогда P_G = P_C P_G = ( P_C = 1 ) + q_C P_C ( P_C = 0 )

 

где P_G ( P_C = 1 ) - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при абсолютно надежном элементе С:



где P_G ( P_C = 0 ) - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при отказавшем элементе С:



 

Учитывая, что P_A = P_B , получим